变分法/第四章

第四章：函数$F(x,y,x',y')$的性质。

• 62 函数$F$定义为其参数的函数。
• 63,64,65,66,67 必要条件和充分条件。
• 68 函数$F(x,y,x',y')$必须是$x'$和$y'$的一阶齐次函数。
• 69 函数$F(x,y,x',y')$的可积性。
• 70 积分$I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,1,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{ d}}x$，当$x$和$y$是彼此的一元函数。
• 71 引入变量$t$或$s$。
• 72 函数$F$的解析条件。
• 73 引入函数$F_{1}$。

第 62 条.
考虑第 13 条的一般积分

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

where $F$ is a given function of the four arguments, $x$, $y$, $x'$, $y'$, the quantities $x'$ and $y'$ being written for ${\text{d}}x/{\text{d}}t$ and ${\text{d}}y/{\text{d}}t$; further we must regard $F$ as a one-valued regular function of these four arguments, one-valued not in the analytical sense, but only for real values of the arguments; $x$ and $y$ are defined for the whole plane or for a connected portion of it, while $x'$ and $y'$ are to be considered as variables that are not limited, since they determine the direction of the tangent, and it is supposed that we may go in any direction from the point $x$, $y$. In our problem new assumptions are made regarding $x$ and $y$, but not regarding $x'$ and $y'$ We further assume that the functions $x$, $y$, $x'$ and $y'$, are capable of being differentiated, and that the curve is regular throughout its whole extent, or is composed of regular portions. Consequently $x$ and $y$ considered as functions of $t$ and written $x(t)$, $y(t)$ are one-valued regular functions of $t$ throughout its whole extent or throughout the regular portions; in the latter case we shall limit ourselves to one regular portion. If we did not make this assumption, the curve could not be the subject of mathematical investigation, since there is no method of treating irregular curves in their generality; and, if we wish the rules of the differential and integral calculus to be sufficient, then we must first apply our investigation to such functions, to which the rules are applicable without any limitation; that is, to functions having the above properties.

第 63 条.
如果我们找到一条满足问题条件的正则曲线，那么还需要证明它是满足问题条件的唯一曲线。

例如，我们发现，在所有周长相同的正则闭合曲线中，圆形是封闭面积最大的曲线；然而，*先验地*，我们并不知道是否存在正则曲线满足问题条件。我们知道，在所有边数相同且周长相同的正多边形中，正多边形的面积最大，因此我们得出结论，当边数增加时，正多边形所逼近的圆形将具有所有闭合曲线中最大的面积；然而，没有人会在其中看到严格的证明，事实上，要证明圆形的这种性质，还需要一种特殊的技巧。

第 64 条.
所有分析中的主要困难在于，给出一种严格的证明，即为特定性质的存在而找到的必要条件也是充分的。在分析研究中，我们以如下方式得出结论：如果存在满足所设问题的分析量，那么它们必须具有某些性质；这给出了所求函数的必要条件。仍然需要反过来证明：如果满足分析对象（曲线、曲面等）的条件，那么该分析对象就满足问题的条件。

因此，在我们的研究中，我们假定所求函数在其整个范围内是正则的，并寻求由问题给出的函数的必要条件。最后，我们将尽可能地摆脱限制，看看我们找到的函数是否也符合问题的条件。

第 65 条.
数学思想的發展，通常始于一个具体的例子。例如，我们假设自然界中存在我们称为“平面区域”的东西。我们用数学公式来表达这个区域。然后，我们扩展我们的公式，讨论曲面的面积。数学公式存在。它在自然界中对应的对象可能存在，也可能不存在。然而，我们对“面积”这个词的定义是受限于数学公式的。当公式不再有意义、不再有解释和数值时，我们对“面积”这个概念的理解也就消失了。我们必须始终假设，我们的符号中存在着允许公式有意义的限制。

第 66 条.
我们只对正则曲线比较我们的积分；只有对这些曲线，积分才有意义。在这类曲线中，我们寻找一个使积分达到最大值或最小值的曲线。当我们把理论应用到实践中时，我们假设除了理论实际比较的量之外，其他量不存在。这样做存在风险。

在一个特定的问题中，我们可能分配了一个特定的角色；根据我们的理论，我们可能也正确地假设，所有被比较的正则曲线都可能存在，并且它们之间的相对角色没有被错误地描述。但自然界可能存在除了沿着正则曲线定义的定积分以外的量，这些量在所讨论的问题中可能具有与我们的定积分相同的本质属性。自然界可能也已经将一个特定角色分配给了其中一个量，而这个角色是我们一直在寻找的，希望从我们的定积分中找到。

当我们把任何数学理论应用到客观现实时，我们对自然界允许的可能性做出了一些假设，例如连续性、可微分性等等。问题是，我们的假设是否包括所有可能性？

第 67 条.
我们强调一个事实，即在发展一个一般的理论时，它的范围通常没有预先确定。我们需要对所涉及的操作进行操作的量和函数是先验命名的，但公式是在假设所涉及的操作是可行的，并且有意义的情况下发展起来的。公式的范围之后由所有步骤都有意义的区域来定义，或者通过排除任何无法解释的领域来定义。

第 68 条.
现在我们将证明函数 $F$（第 62 条）的一些重要性质。在我们讨论的问题中，需要注意以下几点：积分的值，它应该是最小的，在所有情况下都只取决于待确定的曲线的形状，而不取决于 $x$、$y$ 被表示为量 $t$ 的函数的方式。

例如，如果在第一个问题中，我们将积分写成以下形式：

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x$,

那么 $t$ 恰好等于 $x$，并且很明显，这个积分的值与它之前形式的值相同（第 7 条）。

如果我们用另一个量的函数来表示 $t$，这个函数满足以下条件：当 $t$ 等于 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 时，$\tau$ 分别等于 $\tau _{0}$ 和 $\tau _{1}$，并且当 $\tau$ 增加时，曲线的方向与 $t$ 增加时相同，那么为了使积分与积分路径无关，积分值必须保持不变。也就是说，我们必须有以下积分关系，参见第 62 节。

$1)\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)~{\text{d}}t=\int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~{\text{d}}\tau$.

对于 $t$，我们可以写出最简单的这种函数，即 $t=k\tau$，其中 $k$ 代表任何任意但正的量。因此，考虑到 $x$，$t$ 作为 $\tau$ 的函数，在 1) 的左侧，我们有

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)~{\text{d}}t=\int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~k{\text{d}}\tau$;

因此

$:<math>2)\qquad \int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~{\text{d}}\tau =\int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~k{\text{d}}\tau$.

由于这个方程必须对任何任意正的 $k$ 值成立，但它不一定是常数，可以是任何连续正函数，因此，要积分的函数本身必须对每个正值 $k$ 相等；因此

$<F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)=kF\left(x,y,{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)$

或者，写成 $k=1/k$.

$3)\qquad F(x,y,kx',ky')=kF(x,y,x',y')$.

也就是说，如果积分 $I$ 只依赖于曲线的形式（或者换句话说，依赖于 $x$ 和 $y$ 之间的解析关系），那么 $F(x,y,x',y')$，关于 $x'$ 和 $y'$ 必须是一阶齐次函数。 这一条件也足以保证积分仅依赖于曲线的形式；因为考虑 $x$，$y$ 首先表示为量 $t$ 的函数，然后表示为量 $\tau$ 的函数，如果这些函数的性质使得当 $t$ 取从 $t_{0}$ 到 $t_{1}$ 的所有值时，曲线从起点遍历到终点，并且 $\tau$ 取所有值 $\tau _{0}$ 到 $\tau _{1}$，那么我们可以写成 ${\text{d}}t/{\text{d}}\tau =k$，如果 $t$ 与 $\tau$ 同时增加。 由于 $k$ 是一个正量，表达式 2) 的正确性由 3) 的存在得出，同时 1) 的正确性也得到了保证。

由此可知

${\frac {\partial F(x,y,kx',ky')}{\partial (kx')}}=k{\frac {\partial F(x,y,x',y')}{\partial (kx')}}={\frac {\partial F(x,y,x',y')}{\partial x'}}=F^{(1)}(x,y,x',y')$，比方说。

同理，$F$ 对其第四个参数的偏导数是不变的，可以用 $F^{(2)}(x,y,x',y')$ 表示。

第 69 条.
条件是 $F(x,y,x',y')$ 必须是关于 $x'$ 和 $y'$ 的一阶齐次函数，通常用另一种方式表达。事实上，这不过是 $F$ 可积性的条件。因为如果 $F(x,y,x',y'){\text{d}}t$ 是一个精确微分，因此，比方说，$F(x,y,x',y')={\text{d}}\phi$，则方程

$F(x,y,x',y')=(\partial \phi /\partial x)x'+(\partial \phi /\partial y)y'+(\partial \phi /\partial x')x''+(\partial \phi /\partial y')y''$

必须恒等地存在。

由于在 $F$ 中不存在二阶微商，所以有 $\partial \phi /\partial x'=0$ 和 $\partial \phi /\partial y'=0$，也就是说，$\phi$ 不显式包含 $x'$ 或 $y',$ 因此，

$F(x,y,x',y')=(\partial \phi /\partial x)x'+(\partial \phi /\partial y)y'$

但这不过意味着 $F$ 是关于 $x'$，$y'$ 的一阶齐次函数。

在第一章给出的例子中，这在所有情况下都是成立的。

第70条.
如果曲线具有这样的性质：我们可以将一个坐标视为另一个坐标的单值函数，并且在两个极限 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 之间，对于每一个 $x$ 值，都对应着唯一的 $y$ 值，并且当我们沿着曲线从起点到终点移动时，$x$ 连续增加，那么我们可以选择 $t$ 为量 $x$ 本身，因此可以将积分写成如下形式：

$4)\qquad I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,1,{\text{d}}y}{{\text{d}}x}~{\text{d}}x$,

正如通常所写的那样。

第71条.
这种表示并不总是成立，因为上述必要的条件并不总是满足；例如，在第一章的第四个问题中，我们必须将未知曲线分成几个部分，而这并不总是方便的。

另一方面，如果我们引入量 $t$，那么上面的表示总是可能的，因为我们可以将曲线从起点到终点测量的弧长 $s$ 引入为变量 $t$。此外，在形式 4) 中，有时不可避免地会发生 ${\text{d}}y/{\text{d}}x$ 以及因此 $F$ 在积分限内变为无穷大；另一方面，通常可以这样选择 $t$ 使情况并非如此。

由于这些原因，尽管许多推导变得更加繁琐，但最好以以下形式处理积分 I

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$;

因为另一方面，其高度的对称性弥补了刚刚提到的缺陷。

第 72 条.
' $F(x,y,x',y')$ 的解析条件。

在关系式（第 68 条）中

$F(x,y,kx',ky')=kF(x,y,x',y')$,

写成 $k=1+h$，那么

$F[x.y.(1+h)x',(1+h)y']=(1+h)F(x,y,x',y')$,

或者说，

$F+\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}x'+{\frac {\partial F}{\partial y'}}y'\right)h+h^{2}(\cdots )=F+hF$,

其中

$F\equiv F(x,y,x',y')$.

因此，将 $h$ 的系数等同起来

$F=x'{\frac {\partial F}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{,}}\qquad {\text{[1]}}$

这再次是齐次性的条件。

第 73 条.
首先，将上述方程 [1] 分别对 $x'$ 和 $y'$ 进行求导，这是允许的，因为 $F$ 是一个正则函数，$x'$，$y'$ 以连续的方式变化，得到如下结果：

$\alpha )\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}y'=0$,

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\text{[2]}}$

$\beta )\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}x'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}y'=0$.

因此，从 $\alpha )$ 中

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}=y':-x'=y'^{2}:-x'y'$,

而从 $\beta )$ 中

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=-y':x'=-x'y':-x'^{2}$:

所以

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=y'^{2}:-x'y':x'^{2}$;

并且，如果$F$ 表示比例因子，我们有

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}=F_{1}y'^{2}$; ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}=-F_{1}x'y'$; ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=F_{1}x'^{2}{\text{,}}\qquad {\text{[3]}}$

因此

${\frac {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}{y'^{2}}}={\frac {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}{-x'y'}}={\frac {\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}{x'^{2}}}=F_{1}$.

$F$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是一维的； ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$，${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是零维的； ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}$， ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'y'}}$， ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是 -1 维的；因此 $F_{1}$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是 -3 维的。

此函数 $F_{1}$ 在整个理论中起着极其重要的作用。