变分法/第九章

第九章：共轭点。

• 122 微分方程 $J=0$ 的二阶变分。
• 123,124 方程 $G=0$ 和 $J=0$ 的解。从一阶变分推导的二阶变分。
• 125 $G=0$ 解中的常数变分。
• 126 微分方程 $J=0$ 的解 $u_{1}$ 和 $u_{2}$。
• 127 这些解彼此独立。
• 128 函数 $\Theta (t,t')$。共轭点。
• 129 共轭点在曲线上的相对位置。
• 130 比例 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 的图形表示。
• 131 总结。
• 132 曲线 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 的交点。
• 133 当两个共轭点是积分限时，以及当一对共轭点位于这些限之间时的二阶变分。

第 122 条.
前一章给出的条件不足以证明最大值或最小值的存在。假设 $F_{1}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内既不为零也不为无穷大，假设可以找到两个函数 $\phi _{1}(t)$ 和 $\phi _{2}(t)$，它们满足上一章的微分方程 13)，因此，

$u=c_{1}\phi _{1}(t)+c_{2}\phi _{2}(t)$

是 $J=0$ 的通解。 那么，即使在积分限内可以证明 $u$ 不是无穷大，仍然可能发生，无论常数 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 如何选择，函数 $u$ 消失，因此将 $v$ 方程转换为 $u$ 方程是不可取的；因此，关于最大值或最小值的出现无法确定。 因此，我们再次必须更仔细地研究由方程 $J=0$ 定义的函数 $u$，以便我们能够确定在什么条件下该函数在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内不会消失。

可以看到，如果对于 $u$ 我们写出

$u_{1}=-F_{1}u'\qquad$ [参见第 118 条，等式 11]，

因此

$v={\frac {u_{1}}{u}}=-F_{1}{\frac {u'}{u}}$

是 $v$ 中方程的解。

那么，上一章的积分 10) 可以写成

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}w^{2}\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t+\left[R+w^{2}F_{1}{\frac {u'}{u}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

从这里我们可以看到，如果 ${\frac {w'}{w}}={\frac {u'}{u}}$，或如果 $w=Cu$，则第二变分不含积分符号；换句话说，如果我们对曲线进行任何变形（正规 [第 113 条，公式 5]），使得位移与微分方程 $J=0$ 的任何积分的取值成正比，则第二变分不含积分符号。

同样，如果我们对曲线族 $G=0$ 中的任何一条曲线进行变形，使其变为该族中的相邻曲线，我们得到一个同样不含积分符号的表达式。因为（参见第 79 条和第 81 条），如果我们写 $p={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}$，我们有

$\delta F=Gpw_{N}+\left[{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$,

因此，

$\delta ^{2}F=pw_{N}\delta G+G\delta (pw_{N})+\left[{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta \left(\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

因此，如果 $\delta G=0$，我们这里也有

$\delta ^{2}I=\left[\delta \left(\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

可以证明曲线 $\delta G=0$ 是曲线族 $G=0$ 中的一条。曲线族 $G=0$ 中的曲线由（第 90 条）给出：

$x=\phi (t,\alpha ,\beta ),\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta )$,

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意常数。当对 $\alpha$、$\beta$ 我们写成 $\alpha +\epsilon \alpha '$、$\beta +\epsilon \beta '$ 时，函数 $G$ 变为：

$G+\Delta G=G+\epsilon \delta G+\epsilon ^{2}(~~)+\ldots$

因此，当 $\epsilon$ 取非常小时，可以得出：

$x=\phi (t,\alpha +\epsilon \alpha ',\beta +\epsilon \beta '),\qquad y=\psi (t,\alpha +\epsilon \alpha ',\beta +\epsilon \beta ')$

是 $\delta G=0$ 的解，因为它同时是 $G+\Delta G=0$ 和 $G=0$ 的解。

现在，我们总是可以选择正常的位移 ${\frac {w}{p}}$，这将使我们从曲线 $G=0$ 移到相邻曲线 $\delta G=0$。由此看来，微分方程 $\delta G=0$ 和 $J=0$ 之间存在某种关系。

第 123 条.
在这方面，雅可比（Crelle's Journal，bd. 17，p. 68）的一个发现非常有用。他证明了，随着微分方程 $G=0$ 的积分，微分方程 $J=0$ 也得到了积分。然后，我们就能推导出 $u$ 的一般表达式，并能完全确定 $u=0$ 是否成立以及何时成立。接下来，我们将推导出方程 $J=0$ 的一般解，前提是微分方程 $G=0$ 存在一般解。我们以以下形式推导出第一变分

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}Gw~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

我们可以在这个表达式中只让 $G$ 发生变化，然后只让 $w$ 发生变化，然后将结果加起来，从而形成第二变分。

由此可知

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\delta Gw+G\delta w)~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$. $\qquad$ (i)

由于微分方程 $G=0$ 应该满足，我们有

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\delta Gw~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$. $\qquad$ (a)

我们有 (第 76 条)

$G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)$, $\qquad G_{2}={\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)$,

以及

$G_{1}=y'G$, $\qquad G_{2}=-x'G$.

当在 $G_{1}$ 的表达式中进行以下替换

$x\rightarrow x+\epsilon \xi$, $\qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta$

我们有

$G_{1}+\Delta G_{1}=(y'+\epsilon \eta ')(G+\Delta G)$;

并且由于

$\Delta G_{1}=\epsilon \delta G_{1}+\epsilon ^{2}(~~)+\cdots$,

$\Delta G=\epsilon \delta G+\epsilon ^{2}(~~)+\cdots$,

可以得出

$\delta G_{1}=y'\delta G=G\eta '$,

类似地

$\delta G_{2}=-x'\delta G-G\xi '$.

第 124 条.
当从最后两个表达式中消除 $G$ 时，我们有

$\delta G_{1}\xi '+\delta G_{2}\eta '=(y'\xi '-x'\eta ')\delta G$. $\qquad (ii)$

另一方面，可以看出

$\delta G_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}\eta '-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}x'}}\xi '+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y}}\eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y}}\eta '\right)$,

该表达式根据上一章的 2）、3）和 4），可以写成以下形式：

$\delta G_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\eta '-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\xi -{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\eta -L\xi '-M\eta '-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}y'{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)$;

如果我们考虑到上一章的 3）、4）、6）和 7），我们可以将上述结果写成以下形式

$\delta G_{1}=-y'{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+y'F_{2}w$.

类似地，我们有

$\delta G_{2}=x'{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)-x'F_{2}w$.

当将这些值代入$(ii)$时，我们有

$\delta G=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w$. $\qquad (b)$

因此，从 (a) 我们得到

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)w+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

通过之前的方法，我们发现二阶变分为 [参见上一章公式 8)]

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

这两个表达式在常数项上应该一致。积分的差为

$D=\int _{t_{0}}^{t_{1}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)w~{\text{d}}t-\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{2}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}~{\text{d}}t$;

但由于

$\int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)w~{\text{d}}t=wF_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-\int F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}~{\text{d}}t$,

可以看出

$D=\left[-wF_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

公式 (b) 为

$\delta G=F_{2}w-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)$.

当我们将此与前一章的 $12^{a})$ 进行比较时，<maht>u</math> 的微分方程，即

$0=F_{2}u-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)$,

可以看出，一旦我们找到一个量 $w$，使得 $\delta G=0$，我们就会得到一个对应于 $u$ 微分方程的积分。

第 125 条.
$G$$G$ 的总变化量为

$\Delta G=G\left(x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots ,y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots ,x'+\epsilon \xi '_{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi '_{2}+\cdots ,y'+\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots ,x''+\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi ''_{2}+\cdots ,y''+\epsilon \eta _{1}''+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}''+\cdots \right)-G(x,y,x',y',x'',y'')=\epsilon \delta G={\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}G+\cdots )$,

其中 $\delta G$ 如前一节所述，其值为

$\delta G=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w$.

假设方程 $G=0$ 是可积的，令

$x=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta )$

是满足它的广义表达式，其中$\alpha$，$\beta$是积分的任意常数。如果我们假设$\alpha$和$\beta$，在任意固定值后，增加了两个任意小的量$\epsilon \delta \alpha$和$\epsilon \delta \beta$；也就是说，函数

${\bar {x}}=\phi (t,\alpha +\epsilon \delta \alpha ,\beta +\epsilon \delta \beta )=\phi (t,\alpha ,\beta )+\epsilon \left({\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}\delta \beta \right)+\epsilon ^{2}(~~)$,

${\bar {y}}=\psi (t,\alpha +\epsilon \delta \alpha ,\beta +\epsilon \delta \beta )=\psi (t,\alpha ,\beta )+\epsilon \left({\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\delta \beta \right)+\epsilon ^{2}(~~)$

也是$G=0$的解。

第 126 条.
现在选择曲线的变化（第 III 条）以满足

${\bar {x}}=x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots \qquad {\bar {y}}=y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots$;

并且，无论$\delta \alpha$和$\delta \beta$的值为何，我们都可以通过以下关系式确定$\xi _{1}$，$\xi _{2}$，$\eta _{1}$，$\eta _{2}$等等，

$\xi _{1}={\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}\delta \beta \qquad \eta _{1}={\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\delta \beta$. $\qquad (iii)$

对于$\alpha$和$\beta$的所有值，微分方程$G=0$都满足；因此，当将刚才写出的$\xi _{1}$，$\eta _{1}$等等的值代入上述$\Delta G$中时，该方程的右边必须恒等为零，因此$\delta G$也必须为零。因此，相应的法向位移$w=y'\xi _{1}-x'\eta _{1}$将$G=0$曲线族中的一个曲线变换到该曲线族的另一个曲线。

由于 $\delta \alpha$ 和 $\delta \beta$ 是完全任意的，$\delta \alpha$ 和 $\delta \beta$ 的系数必须在 $\Delta G$ 的展开式中都消失。由于 (iii) $w=y'\xi _{1}-x'\eta _{1}$ 变为

$w=\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\right)\delta \alpha +\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\right)\delta \beta$.

将此 $w$ 的值代入方程 $\delta G=0$ 中，我们得到

$-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\right)\delta \alpha +\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\right)\delta \beta \right]\right)+F_{2}\left[\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\right)\delta \alpha +\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\right)\delta \beta \right]=0$.

通过分别将 $\delta \alpha$ 和 $\delta \beta$ 的系数分别设为零，我们得到两个方程

$1)\qquad -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{v}(t)\right)+F_{2}\theta _{v}(t)=0,\qquad (v=1,2)$

其中，为了简洁，我们写成

${\frac {\partial \phi (t)}{\partial t}}=\phi '(t),{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}=\phi _{1}(t),{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}=\phi _{2},\qquad {\frac {\partial \psi (t)}{\partial t}}=\psi '(t),{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}=\psi _{1}(t),{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}=\psi _{2}$

$2)\qquad \theta _{1}(t)=\phi '(t)\phi _{1}(t)-\phi '(t)\psi _{1}(t),\qquad \theta _{2}(t)=\psi '(t)\phi _{2}(t)-\phi '(t)\psi _{2}(t)$.

可以立即看出 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 是微分方程的解

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$.

因此，可以看出，对 $u$ 的微分方程的一般解，可以通过对微分方程 $G=0$ 的积分进行简单的微分得到。

第 127 条.
接下来我们要证明这两个解$\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 是相互独立的。为了使证明过程尽可能简单，我们用 $x$ 来表示任意量 $t$。

那么表达式 $x=\phi (t,\alpha ,\beta )$，$y=\psi (t,\alpha ,\beta )$ 等变为

$x=x,\qquad y=\psi (x,\alpha ,\beta ),$

$\phi '=1,\qquad \phi _{1}=0,\phi _{2}=0,\qquad \psi '={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}},$

$\theta _{1}=-\psi _{1},\theta _{2}=-\psi _{2}$.

如果 $\theta _{1}$ 和 $\theta _{2}$ 是线性相关的，那么我们必须有

$\theta _{2}={\text{constant}}\theta _{1}$,

由此立即得到

$\theta _{1}\theta _{2}'=\theta _{2}\theta _{1}'=0$,

其中撇号表示对 $x$ 的微分；或者说，

$\psi _{1}\psi _{2}'-\psi _{2}\psi _{1}'=0$.

另一方面，$y=\psi (x,\alpha ,\beta )$ 是微分方程的完全解，该方程由 $G_{2}=-x'G=0$ 推导出，当 $x$ 用 $t$ 代替；也就是说，

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}}}\right)-{\frac {\partial F}{\partial y}}=0$;

但这里 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个任意独立常数，因此 $\psi$ 和 $\psi '={\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}x}}$ 相对于 $\alpha$ 和 $\beta$ 是相互独立的，因此行列式

$\psi _{1}\psi _{2}'-\psi _{2}\psi _{1}'$

不等于零。因此，$\theta _{1}$ 和 $\theta _{2}$ 是相互独立的，因为相反的假设与刚刚建立的结果相矛盾。因此，微分方程 $J=0$ 的通解形式为

$u=c_{1}\theta _{1}(t)+c_{2}\theta _{2}(t)$,

其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意常数。

第 128 条.
遵循魏尔斯特拉斯的方法，我们刚刚证明了雅可比的断言；因为，只要我们有了 $G=0$ 的完全积分，很容易表达微分方程 $J=0$ 的完全解。

常数 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 可以这样确定，使 $u$ 在一个确定的位置 $t'$ 上消失，该位置可能位于曲线上的某个点，在我们到达 $t_{1}$ 之前。这可以通过写下以下内容来实现

$c_{1}=-\theta _{2}(t'),\qquad c_{2}=\theta _{1}(t')$.

方程 $J=0$ 的解变为

$3)\qquad u=\theta _{1}(t')\theta _{2}(t)-\theta _{2}(t')\theta _{1}(t)=\Theta (t,t')$.

可能会发现 $\Theta (t,t')$ 对于 $t$ 的其他值都为零；但也可能存在 $t'$ 以外的点，使得 $\Theta (t,t')$ 变为零。如果 $t''$ 是紧接 $t'$ 之后的 $\Theta (t,t')$ 的第一个零点，则 $t''$ 被称为 $t'$ 的 *共轭点*。

由于 $t'$ 是任意选择的，我们可以将曲线上的每个点与其共轭点相关联。根据这一前提，我们得到以下定理，同样归功于雅可比：

如果在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内不存在两个互为共轭点的点，那么就可以找到一个满足微分方程 $J=0$ 且在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内始终不为零的 u。

第 129 条.
设点 $t=t'$ 是函数的零点

$u=\Theta (t,t')$,

假设 $t''$ 是 $t'$ 的共轭点，那么 $\Theta (t,t')$ 在区间 $t'\ldots t''$ 内不会再次为零。考虑点 $t'$ 附近的点 $t'+\tau$，其中 $\tau >0$，那么与 $t'+\tau$ 共轭的点只能位于 $t''$ 的另一侧。下面将证明这一点。

如果 ${\displaystyle }$u = Θ(t,t') 是以下方程的解

$F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}-F_{2}u=0$,

那么

${\bar {u}}=\Theta (t,t'+\tau )$

也是同一个方程的解；也就是说，它是以下方程的解：

$F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}{\bar {u}}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-F_{2}{\bar {u}}=0$,

由于 ${\bar {u}}$ 与 $u$ 之间的差异仅在于任意常数 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的选择不同。

如果 $\tau$ 被选择足够小，那么 $\Theta (t'+\tau ,t')$ 不同于零，因此 $\Theta (t',t'+\tau )\neq 0$。

从上面两个方程中消去 $F_{2}$，我们得到

$4)\qquad F_{1}\left(u{\frac {{\text{d}}^{2}{\bar {u}}}{{\text{d}}t^{2}}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}\right)+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}\left(u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)=0$.

现在写下

$5)\qquad u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}=v$,

上式变为

$6){\frac {{\text{d}}v}{v}}=-{\frac {{\text{d}}F_{1}}{F_{1}}}$,

对上式积分得

$7)\qquad v=u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}=+{\frac {C}{F_{1}}}$.

在该表达式中，常数 $C$ 不能为零，因为在那种情况下，

$u={\text{const.}}{\bar {u}}$,

或

$\Theta (t,t')={\text{const.}}\Theta (t,t'+\tau )$.

然而，由于 $\Theta (t,t')$ 当 $t=t'$ 时为零，因此从上面可以得出 $\Theta (t',t'+\tau )=0$，这与假设相矛盾，因此 $C$ 不能为零。

此外，假设 $F_{1}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内不改变符号或不为零。如果 $F_{1}$ 在段 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内不从正变为负或反之亦然，那么一般来说，无法得出进一步的结论，并且需要针对每种特定情况进行专门研究。

然而，在第一种情况下，$v$ 有一个有限值，并且式 7) 除以 $u^{2}$ 之后变为

${\frac {u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}}{u^{2}}}={\frac {{\text{d}}{\frac {\bar {u}}{u}}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{F_{1}u^{2}}}$,

该表达式在积分后得到

${\bar {u}}=Cu\int _{t'+\tau }{\frac {{\text{d}}t}{F_{1}u^{2}}}$.

由于函数 $u$ 在 $t'$ 和 $t''$ 之间不为零，从最后一个表达式可以得出，${\bar {u}}$ 在 $t'+\tau$ 和 $t''$ 之间的限制内不会为零。因此，如果存在一个与 $t'+\tau$ 共轭的点，它不可能位于 $t''$ 之前。 因此，如果我们选择一个在 $t''$ 之前，并且尽可能靠近它的点 $t'''$，那么 $u'$ 当然不会在间隔 $t'+\tau \ldots t'''$ 内为零。

如果 $t'$ 是一个位于 $t_{0}$ 之前的点，如果我们确定与 $t'$ 共轭的点 $t''$，并选择一个点 $t_{1}$ 位于 $t''$ 之前，并且尽可能接近它，那么从前面可以清楚地看到，在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内（不含边界），没有相互共轭的点。然后，如上所述，我们可以找到一个函数 $u$，它满足微分方程 $J=0$，并且在边界或区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内均不为零。因此，第 117 条的变换是允许的，而 $\delta ^{2}I$ 的符号仅取决于 $F_{1}$ 的符号。

第 130 条.
我们可以更仔细地研究第 120 条的关系，其中

$u_{2}{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}-u_{1}{\frac {{\text{d}}u_{2}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{f_{1}}}$.

在所考虑的区间内（包括边界），我们假设 $F_{1}$ 不变为零或无穷大，因此保持相同的符号。此外，常数 $C$ 始终具有相同的值，并且不为零，因为 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 是线性无关的。

因此，${\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}$ 无法在 $u_{1}$ 为零时也为零；因为如果那样 $C$ 将会为零，这与我们的假设相矛盾。

由于形式

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{1}}{u_{2}}}\right)={\frac {1}{u_{2}^{2}}}{\frac {C}{F_{1}}}$,

很明显，${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{1}}{u_{2}}}\right)$ 的符号与 ${\frac {C}{F_{1}}}$ 相同。我们可以将该符号取为正，因为否则由于表达式

$u_{1}{\frac {{\text{d}}u_{2}}{{\text{d}}t}}-u_{2}{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{F_{1}}}$

我们会得到 ${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)$ 是 *正* 的。因此，我们可以假设已经对 $u$ 进行了索引，使得 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 始终随着 t 的增大而增大。

比率 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 在 $u_{2}$ 等于 0 时将变得无穷大（参见第 120 条）。由于该商始终随着 $t$ 的增大而增大，因此相应的曲线的轨迹必须穿过 $+\infty$，然后再次（如果它确实返回）从 $-\infty$ 返回。使该商具有相同值的 $t$ 的值可以称为 *同余*。

正如附图所示，很明显，这些值与两个 $t$ 值等距，例如 $t_{0}$ 和 $t_{1}$，它们使 $u_{2}=0$。横坐标是 $t$ 的值，纵坐标是对应比率 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 的值。

第 131 条.
总结：我们假设了在 $F_{1}$ 在所考虑的曲线沿其为零的情况下，排除了这些情况。如果该函数在曲线的孤立点处为零，则将是我们所考虑情况的极限情况。如果它在该曲线的一段沿其为零，我们必须考虑三阶变化，并且通常没有最大值或最小值，除非此变化也消失，导致我们研究四阶变化。我们将这些情况从目前的处理中排除，并假设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 在我们的曲线沿其处处都有限（否则，二阶变化的表达式，即“

$\int (F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})~{\text{d}}t$,

将毫无意义）。

我们还在第 124 条中推导了 $G$ 的变化形式

$\delta G=F_{2}w-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)$,

并将此与微分方程

$12^{a})\qquad 0=F_{2}u-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)\qquad$ （参见第 118 条）比较，

可以看出，如果微分方程 $12^{a})$ 的积分 $u$ 在任何 $t$ 值处消失，则方程 $\delta G=0$ 的对应积分 $w$ 在相同的 $t$ 值处消失。

在第 126 条中，我们有

$w=y'\xi _{1}-x'\eta _{1}=\delta \alpha \theta _{1}(t)+\delta \beta \theta _{2}(t)$,

其中，位移 $\xi _{1}$，$\eta _{1}$ 将我们从曲线 $G=0$ 上的一点移动到曲线 $\delta G=0$ 上的一点。因此，法向位移 $w_{N}$ 仅在曲线 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 相交的点处为零。

在这样的点上，我们必须有

$\delta \alpha \theta _{1}(t)\delta \beta \theta _{2}(t)=0$.

当选定曲线族 $G=0$ 中的一条时，两个相关的常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 是固定的。这些是在 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 中出现的常数。如果曲线还通过一个固定的点 $P_{0}$，则变量 $t$ 被确定，因此函数 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 被明确确定，因此比率 $\delta \alpha :\delta \beta$ 从上述关系中明确已知。曲线 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 可能会有第二个交点。这个点是 $P_{0}$ 的共轭点（参见第 128 条）。

第 132 条.
这些共轭点的几何意义将在第十一章中更全面地讨论。将第二变分写成以下形式

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}w^{2}\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)~{\text{d}}t$,

我们看到，当${\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}=0$ 时，即$u=Cw$。现在，$w$ 在曲线的两个端点处都为零，因为在这些点上没有变化，但是$u$ 仅当 $P_{1}$ 与 $P_{0}$ 共轭时才等于零。因此，除非两条曲线$G=0$ 和 ${\displaystyle }$\delta G = 0 在 $P_{1}$ 处再次相交，$u$ 在 $P_{1}$ 处不等于零，因此

$\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)^{2}\neq 0$.

在这种情况下，如果 $F_{1}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内始终为正，则积分 $I$ 有可能存在最小值，而当 $F_{1}$ 在该区间内始终为负时，则有可能存在最大值。

第 133 条.
接下来，令 $P_{1}$ 与 $P_{0}$ 共轭，因此在积分的两个极限处我们都有$u=0=w$。然后，我们可以在曲线的其他所有点上取 $u=w$，因此

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}w^{2}\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t=0$.

在考察更高阶的变化之前，我们不能对最大值或最小值做出任何判断。^[1]

接下来，假设一对共轭点位于 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 之间，并设这些点分别为 $P'$ 和 $p''$。我们可以对曲线进行位移，使得

$w=kw$ 从 $P_{0}$ 到 $P'$,

$w=u+kw$ 从 $P'$ 到 $P''$ 并且

$w=kw$ 从 $P''$ 到 $P_{1}$,

其中 $k$ 是一个不确定的常数。数量 $w$ 仅受以下条件约束：它必须在 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 为零，而 $u$ 必须是微分方程 $J=0$ 的解，并且在共轭点 $P'$ 和 $P''$ 为零。

第二变分采用以下形式

$\delta ^{2}I=k^{2}\int _{t_{0}}^{t'}(F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})~{\text{d}}t+\int _{t'}^{t''}[(F_{1}u'^{2}+F_{2}u^{2})+2k(F_{1}u'w'+F_{2}uw)+k^{2}(F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})]~{\text{d}}t+k\int _{t''}^{t_{1}}(F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})~{\text{d}}t$.

在上一篇文章中我们看到（参见第 117 条）

$\int _{t'}^{t''}(F_{1}u'^{2}+F_{2}u^{2})~{\text{d}}t=0$,

因此，我们可以将 $\delta ^{2}I$ 写成以下形式

$\delta ^{2}I=2k\int (F_{1}u'w'+F_{2}uw)~{\text{d}}t+k^{2}M$,

其中 $M$ 是一个有限量。

积分

$\int _{t'}^{t''}(F_{1}u'w'+F_{2}uw)~{\text{d}}t$

可以写成

$\int _{t'}^{t''}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(F_{1}u')+F_{2}u\right)w~{\text{d}}t+{\Big [}F_{1}u'w{\Big ]}_{t'}^{t''}$

并且，根据第 118 条公式 $12^{a})$，该积分符号下的表达式为零，因此得出

$\delta ^{2}I=2k{\Big [}F_{1}u'w{\Big ]}_{t'}^{t''}+k^{2}M$.

此外，根据假设，$F_{1}$ 在区间 $t'\ldots t''$ 内保持相同的符号，并且在这些极限内或在这些极限处不为零，函数 $u'$ 在极限处不为零（第 130 和 152 条），并且在这些极限处符号相反，因为 $u$ 始终保持相同的符号，在其中一个极限处离开值为零，并在另一个极限处接近它。因此，$[F_{1}u']$ 在两点 $P'$ 和 $P''$ 是有限的，并且符号相反，只需要 $w$ 被选择为有限的，并且具有相同的符号，这样 ${\Big [}F_{1}u'w{\Big ]}_{t'}^{t''}$ 不为零。因此，通过适当选择 $k$，我们可以实现位移，对于这些位移，$\delta ^{2}I$ 为正，以及那些对于它为负的位移。

因此，当我们的区间不包含（然而，既不作为极值）一对共轭点时，我们已经明确地确定，所讨论的曲线既不能产生最大值也不能产生最小值。

上述半几何证明来自 Schwarz 教授在柏林（1898-99 年）给出的一个笔记；另见 Picard 教授在巴黎（1899-1900 年）关于“偏微分方程”的一门课程的第五节课。