变分法/第五章

第五章：用解析式表示曲线变分。一阶变分。

• 74 迄今为止使用的变分的一般形式。
• 75 函数 $\xi$ 和 $\eta$。它们的连续性。
• 76 相邻曲线。一阶变分。
• 77 函数 $G$，$G_{1}$ 和 $G_{2}$。
• 78 一个重要引理的证明。
• 79 一阶变分的消失和微分方程 $G=0$。
• 80 用 $F$ 和 $F_{1}$ 表示的曲率。
• 81 沿法线和切线方向的成分 $w_{N}$ 和 $w_{T}$。
• 82 沿切线方向和沿法线方向的变分。
• 83 积分路径中的间断点。不规则曲线。
• 84，85 阐释上一篇文章的欧拉问题。
• 86 总结。

第 74 条.
在第二章中，我们考虑了特殊变分的例子。所采用的方法只考虑了曲线在一个方向上的位移，即平行于 $X$-轴的方向，因此只适用于比较通过这种变形从彼此获得的曲线上的积分。

我们现在将对所用变分给出更一般的形式，并将寻求解决第一章中提出的变分一般问题的有力方法。在推导出必要的条件之后，我们将继续讨论充分条件。为了发展积分出现最大值或最小值的条件

$1)\qquad I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

有必要更深入地研究曲线变分的概念，并将这个概念解析地确定下来。

通过用点代替曲线上的每个点$x$，$y$（假设是正则的）另一个点$x+\xi$，$y+\eta$，我们将第一条曲线转换为另一条正则曲线。如果我们将数量$\xi$和$\eta$做得足够小，它们就像$x$和$y$，我们认为它们是$t$的单值连续函数。

第75条.
以下是一种实现此结果的方法。令$\xi$和$\eta$是$t$以及一个量$k$的连续函数。我们进一步假设当$k=0$时，$\xi$和${\displaystyle }$\eta 始终为零，对于任何$t$的值，例如

$\xi =ku(t)~;~\eta =kv(t)$,

$u$和$v$是$t$的有限连续函数。

函数 $u$ 和 $v$，以及因此的 $\xi$ 和 $\eta$，都受到进一步条件的限制。一般来说，需要在两个给定点之间构建一条曲线，这两个点可以先被视为固定点。之后可以引入其可变性的条件。因此，我们只需要考虑 $t$ 的那些值，使得 $\xi$，$\eta$，以及因此的 $u$，$v$ 在边界上消失。

如果对于 $x$，$y$ 我们写成 $x+\xi$，$y+\eta$，那么对于 $x'$，$y'$ 我们必须写成 $x'+\xi '$，$y'+\eta '$。此外，函数 $F(x+\xi ,y+\eta ,x'+\xi ',y'+\eta ')$ 必须以 $\xi$，$\eta$，$\xi '$ 和 $\eta '$ 的幂展开。为了保证这个级数收敛，必须保证 $\xi$，$\eta$，$\xi '$ 和 $\eta '$ 具有有限的值。

现在，如果我们写

$\xi =k\sin {\frac {t}{k^{n}}}~;~\eta =k\cos {\frac {t}{k^{n}}}$,

那么我们有

${\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}=k^{1-n}\cos {\frac {t}{k^{n}}}~;~{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}=-k^{1-n}\sin {\frac {t}{k^{n}}}$,

因此，当 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $k$ 无限小的值时具有无限小的值，则量 ${\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}$，${\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 在 $n-1$ 之间波动 $+1$ 和 $-1$，并且在 $n>1$ 时变为无穷大。因此，我们将只考虑 $u$ 和 $v$ 仅是 $t$ 的函数的这种特殊变化，并且其导数在极限 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之间是有限的并且连续的。因此，我们在很大程度上限制了曲线无限小变化的任意性，从而排除了许多相邻曲线。然而，在所有可能的相邻曲线中也存在满足上述条件的曲线，我们将首先用这些曲线建立必要条件，然后证明这样建立的必要条件对于建立积分最大值或最小值的唯一性也是充分的。(参见第 134 节等)

第 76 条.
如果我们进行以下替换，我们将不再只有一个相邻曲线，而是有一整束这样的曲线

$x\rightarrow x+\epsilon \xi$, $y\rightarrow y+\epsilon \eta$, $x'\rightarrow x'+\epsilon \xi '$, $y'\rightarrow y'+\epsilon \eta '$,

并设 $\epsilon$ 为一个与 $F(x,y,x',y')$ 中变量无关的量，在 $+1$ 和 $-1$ 之间变化。

由此在上一篇文章的积分中引入的总变化为

$I+\Delta I=\in _{t_{0}}^{t_{1}}F(x+\epsilon \xi ,y+\epsilon \eta ,x'+\epsilon \xi ',y'+\epsilon \eta ')~{\text{d}}t$,

由麦克劳林定理展开，得

$=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F+\epsilon \left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right]+\epsilon ^{2}(\cdots )\right)~{\text{d}}t$.

此外（参见第 25 条）

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$;

因此，比较 $\epsilon$ 的系数，

$2)\qquad \delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right]~{\text{d}}t$.

但是

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi \right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\xi {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)~{\text{d}}t$;

所以 2) 变为

$2')\qquad \delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)\right]\xi +\left[{\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]\eta \right)~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{0}}^{t_{1}}$;

或者

$3)\qquad \delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(G_{1}\xi +G_{2}\eta \right)~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{0}}^{t_{1}}$,

其中

$G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)$, $G_{2}={\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)$.

第 77 条.
由于假设 $x'$，$y'$，${\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}$，${\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 随 $t$ 连续变化 [即在所考虑的曲线部分，曲线方向没有突然变化]，积分 $I$ 的第一变分可以以一种显著的方式变换。

我们有

$>G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)$

以及（第 72 条）

$F(x,y,x',y')=x'{\frac {\partial F}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}$.

因此

${\frac {\partial F}{\partial x}}=x'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial x}}+y'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x}}$;

对 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 关于 $t$ 求导，我们有

$-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)=-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}{\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}{\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}$.

因此，

$G_{1}=y'\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}\right)-\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}{\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}{\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}\right)$.

写成 ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}=y'^{2}F_{1}$，（第 73 条），以及 ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}=-x'y'F_{1}$，并定义 $G$ 为方程

$G={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}-F_{1}\left(y'{\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}-x'{\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}\right)$,

可以看到

$G_{1}=y'G$.

以类似的方式，可以证明

$G_{2}=-x'G$.

第 7 条.
引理。如果 $\phi (t)$ 和 $\psi (t)$ 是两个在 $t$ 的限制范围 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之间连续的函数，并且如果积分

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t$

始终为零，无论以何种方式选择 $\psi (t)$，则必然 $\phi (t)$ 必须对 $t$ 的所有值在 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之间消失。

以下证明，由 Schwarz 教授给出，是对 Heine 方法的一种几何解释。

假设函数 $\phi (t)$ 在位于 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之间的点 $t=t'$ 处具有有限值。 那么由于 $\phi (t)$ 的连续性，我们可以在 $t'-d\ldots t'+d$ 内找到一个区间，其中 $\phi (t)$ 也具有有限值。

我们将积分写成以下形式

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t=\int _{t_{0}}^{t'-d}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'-d}^{t'+d}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'+d}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t$.

右手边第二个积分可以写成

$M=\int _{t'-d}^{t'+d}\psi (t)~{\text{d}}t$,

其中 $M$ 是 $\phi (t)$ 在区间 $t'-d\ldots t'+d$ 内的 $t$ 值的平均值。

我们将证明，可以确定一个函数 $\psi (t)$，它将使该积分变为正值，并且大于上述表达式中第一个积分和第三个积分的总和，同时 $\psi (t_{0})=psi(t_{1})=0$。

让我们建立方程

$\left(t-1+{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)y=0$,

它表示抛物线 $y=1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}$ 和 $X$ 轴。

接下来考虑方程

$\left(t-1+{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)y=\epsilon ^{2}$,

其中 $\epsilon$ 是一个很小的量。通过取 $\epsilon$ 足够小，这条曲线可以无限接近抛物线和 $X$ 轴。

对方程求解 $y$，我们得到两个根（两个分支）

$y={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}}$.

分支

$y={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}}$

关于 $Y$-轴对称，且对于 $x$ 的值，只要满足 $-d\leq x\leq +d$，曲线上任意一点的纵坐标都大于抛物线相应点的纵坐标。

对于抛物线 $y=1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}$，积分

$\int _{-d}^{+d}y~{\text{d}}x={\frac {4}{3}}d$

因此，对于该曲线，我们必须有

$\int _{-d}^{+d}\left[frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}\right]~{\text{d}}x>{\frac {4}{3}}d$;

对于 $|x|=d$，我们有 $y=\epsilon$；从不等式

$y=-frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}<-frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon }}$,

对于 $|x|<d$，$y$ 为正且 $<\epsilon$。对于下支，$y$ 为负，曲线

$y=-frac{1}{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)-{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}$

如图形所示，它沿着抛物线延伸至无穷远。然而，我们使用的是上支，因为当 $x$ 超过 $d$ 时，$y$ 小于 $\epsilon$，无论是在原点的哪一侧。

不要使用最后一个写的积分，而是使用具有相同值的积分

$\int _{t'-d}^{t'+d}\left({\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}\right)~{\text{d}}t>{\frac {4}{3}}d$.

写成

$\chi (t)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {(t-t')^{2}}{d^{2}}}\right)^{2}+\epsilon ^{2}}}$,

我们有

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t=\int _{t_{0}}^{t'-d}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'-d}^{t'+d}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t+\int _{t'+d}^{t_{1}}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t$

$=M'\int _{t_{0}}^{t'-d}\chi (t)~{\text{d}}t+M\int _{t'-d}^{t'+d}\chi (t)~{\text{d}}t+M''\int _{t'+d}^{t_{1}}\chi (t)~{\text{d}}t$

$=M'[<\epsilon ](t'-d-t_{0})+M\left[>{\frac {4}{3}}d\right]+M''[<\epsilon ](t_{1}-t'-d)$,

其中 $M'$、$M$ 和 $M''$ 分别是 $\phi (t)$ 在各自区间上的平均值，其中 $[<\epsilon ]$ 表示括号内的量小于 $\epsilon$.

可以看出，通过取足够小的 $\epsilon$，使得积分 $\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\chi (t)~{\text{d}}t$ 的符号由 $M~{\frac {4}{3}}d$ 决定，因此该积分不等于零。

用函数 $\chi (t)$ 代替，写成

$\phi (t)=\left({\frac {t-t_{0}}{t'-t_{0}}}\right)^{m}\left({\frac {t_{1}-t}{t_{1}-t'}}\right)^{n}\chi (t)$,

其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。

我们看到 $\phi (t_{0})=0=\phi (t_{1})$，并且如上所述，它遵循

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t)\psi (t)~{\text{d}}t\neq 0$.

因此，假设 $\phi (t)\neq 0$ 对于我们积分的曲线上的一个点，它遵循一个函数 $\psi (t)$ 可以被找到，它导致上面的积分不等于零。

但是由于这个积分应该对于所有函数 $\psi (t)$ 为零，因此我们必须有 $\phi (t)=0$ 对于 $t$ 的所有值，在 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之间。

第七十九条.
在表达式中

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$,

除非 <math\delta I</math> 和 $\epsilon$ 始终保持相同的符号，有必要使 $\delta I$ 为零，以便 $\Delta I$ 连续为负或连续为正；即，为了使积分 $I$ 为最大值或最小值（参见第 26 条）。

将$G_{1}$ 和$G_{2}$ 的值用$G$ 表示，根据第 77 条，在$\delta I$ 的表达式中，第 76 条，我们有

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(t'\xi -x'\eta )~{\text{d}}t+\left[\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

如果我们假设点$P_{0}$ 和$P_{1}$ 是固定的，因此$\xi =0=\eta$，那么边界项就会消失。此外，由于$y'\xi -x'\eta$ 是$t$ 的任意连续函数，根据上面的引理，为了使$\delta t$ 为零，$G=0$ 对于区间$t_{0}\ldots t_{0}$ 内的曲线上的每个点都成立。$G$ 不能在曲线上的孤立点具有不同于零的有限值，因为为了使积分有意义，曲线的这一部分必须是连续的。

二阶微分方程$G=0$ 是$I$ 取最大值或最小值的必要条件，如果这样的曲线存在，它将提供所需的曲线。 我们注意到，它与变化的方式无关，因为量$\xi$ 和$\eta$ 没有出现在其中。

从关系式（见第 77 条）

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G_{1}\xi +G_{2}\eta )~{\text{d}}t=0$,

由此可知

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}G_{1}\xi ~{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G_{2}\eta ~{\text{d}}t=0$.

在所有可能的变分中，有一些变分满足 $\eta =0$，因此

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}G_{1}\xi ~{\text{d}}t=0$.

与上面类似，我们有

$G_{1}=0$,

类似地，我们有

$G_{2}=0$.

此外，如果我们将 $y'G=G_{1}$ 和 $-x'G=G_{2}$ 分别乘以 $v'$ 和 $-x'$，然后相加，得到

$(y'^{2}+x'^{2})G=0$,

因为 $x'$ 和 $y'$ 不能同时消失，因此 $G=0$。因此，方程 $G_{1}=0$、$G_{2}=0$ 以及 $G=0$ 是互相推导的结果。

方程 $G_{1}=0=G_{2}$ 通常比 $G=0$ 更方便；特别是当函数 $F$ 不显式包含两个量 $x$ 和 $y$ 之一。例如，如果 $x$ 不存在，则 ${\frac {\partial F}{\partial x}}=0$，从

$G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}=0$,

得出 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}=$ 常数。

第 80 条.
曲线上任意一点的曲率表示为

$\kappa ={\frac {1}{\rho }}={\frac {x'y''-y'x''}{[x'^{2}y'^{2}]^{3/2}}}$,

并且由于方程

$G=0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}-F(x'y''-x''y')$,

我们有

${\frac {1}{\rho }}={\frac {{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}}{[x'^{2}+y'^{2}]^{3/2}F_{1}}}$,

该表达式取决于 $x$、$y$、$x'$、$y'$，而与更高阶导数无关。

因此，通过方程 $G=0$，可以表达出曲线在某一点的曲率与该点坐标以及切线方向之间的明确关系。

第 81 条.
设曲线上的点 $P$ 通过一个变分变换到点 $P'$，并设位移 $pp'$ 由 $v$ 表示；此外，设该位移在 $x$ 和 $y$ 方向上的分量分别为 $\xi$ 和 $\eta$，而 $w_{N}$ 和 $w_{T}$ 表示该位移在点 $P$ 处曲线法线和切线方向上的分量。

设 $\lambda$ 表示这两个方向之间的夹角，并设法线方向的余弦为

${\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)^{2}}}}$ 和 ${\frac {{\text{d}}y}{\sqrt {\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)^{2}}}}$；也就是说，通过 ${\frac {x'}{s'}}$ 和 ${\frac {y'}{s'}}$.

然后从解析几何，

$w_{T}=\xi \cos(\lambda )+\eta \sin(\lambda )={\frac {x'\xi +y'\eta }{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$,

因此

$w_{N}=\eta \cos(\lambda )-\xi \sin(\lambda )={\frac {x'\eta -y'\xi }{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$;

和

$w_{T}^{2}+w_{N}^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}$.

这些表达式代入 $\delta I$ 的公式（第 79 条）得到

$\delta I=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}w_{N}G~{\text{d}}s+\left[{\frac {Fw_{T}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}+{\frac {x'{\frac {\partial F}{\partial y'}}-y'{\frac {\partial F}{\partial x'}}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

由此可见，只有在积分符号下才会有方向变化的法向分量。

第 82 条.
通过以下公式，我们将证明切线方向的变化只会产生一阶变分中的不含积分符号的项。

与第 76 条一样，写出

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right)~{\text{d}}t$,

然后，将该表达式中的$\xi =v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}$，$\eta =v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}$代入，我们得到

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[v\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial x'}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)\right]~{\text{d}}t$.

注意

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)~{\text{d}}t=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)~{\text{d}}t$,

可以看到

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)\right]+v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\left[{\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]\right)~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y'}}v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

$=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(y'\xi -x'\eta )~{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y'}}v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

但是

$t'\xi -x'\eta =y'v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}-x'v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}={\frac {v}{{\text{d}}s}}\left[y'{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}-x'{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right]{\text{d}}t\equiv 0$,

因此，积分符号下的所有项都消失了，只剩下

$\delta I=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}v{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}+{\frac {\partial F}{\partial y'}}v{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

因此，如果我们通过以下替换对曲线进行滑动

$x\rightarrow x+\epsilon \xi \qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta$,

并将此滑动分解为两个分量，其中一个平行于切线方向，另一个平行于法线方向，则沿切线方向滑动的结果仅体现在与极限有关的项中，所有这些项都是积分符号下的精确微分，而沿法线方向滑动的影响则体现在上一篇文章的公式中。

第 83 条.
第一个变分的表达式是在假设积分元素对于积分路径的每个点都具有单值意义的情况下得到的。如果所涉及的路径包含间断点，则可以将其分解为有限个规则曲线的片段，并且沿着每个片段 $\delta I$ 将具有与上一篇文章类似的意义。因此，假设所需的曲线，它将提供积分的最大值或最小值，在其整个轨迹中都是规则的，或者至少它由规则的曲线片段组成。在后一种情况下，我们首先将自己限制在考虑这样一个片段。在这个曲线片段内，不仅 $x$，$y$ 而且 $x'$，$y'$ 将是 $t$ 的单值函数。这个假设已经隐含地包含在假设可以将 $\Delta I$ 用泰勒定理展开；因为否则，$F$ 对 $x'$ 和 $y'$ 的导数将无法形成，而这正是需要展开的曲线。

之所以做出这些假设，是因为否则曲线将无法成为数学研究的对象，因为没有表示不规则曲线的一般性的方法。因此，如果一个人满足于微分和积分规则，他必须将这些考虑扩展到只有这些规则可以应用的函数，即具有上述性质的函数。在几何和力学中，有许多问题无法做出上述假设。

第 84 条.
欧拉提出的以下问题说明了刚才所说的内容

要求连接两个固定点的曲线，使得曲线、其渐伸线以及端点处曲率半径之间的面积为最小。

如果存在最小值，则该问题的解析解是摆线的弧。我们现在将证明情况并非如此。因为用一条直线连接两个固定点 $A$ 和 $B$，将其分成 $n$ 等份，并交替绘制

在直线 $n$ 上方和下方，以直线的 $n$ 个部分为直径的半圆。

每个半圆（即要最小化的每个曲线片段）的所有曲率半径都相交于直线 $AB$ 上，很明显

${\frac {n}{2}}\pi \left({\frac {AB}{2n}}\right)^{2}={\frac {\pi {\overline {AB}}^{2}}{8n}}$

必须是最小值。

如果我们增加数字 $n$ 足够大，我们可以使上面的表达式变得任意小；在极限 $n=\infty$ 时，曲线将趋向于成为直线 $AB$。由此可见，不存在最小表面积。

第 85 条.
如果我们不取直线 $AB$，而是取过这两点的摆线的弧线，然后画出一个小的摆线系统，它们的尖点位于大摆线上。(参见 Todhunter, 变分法研究, p. 252。) 大摆线没有给出最小值的原因是，这样的最小值是由一条不规则曲线提供的，而这条不规则曲线并不包括在我们的分析研究中。 这表明我们对曲线规律性的假设是不恰当的，并导致了一些不正确的结果。

但是，尽管满足给定命题的曲线可能是 不规则 的可能性并不小，我们还是必须假设曲线是规则的，因为我们只有通过将研究限制在这些规则曲线上来获得分析微分方程，而最一般的函数理论表明，反过来，这些微分方程定义了在整个范围内都具有现有导数的分析函数。

第 86 条.
为了避免任何误解，我们重复我们在上一章已经说过的内容：并不是说问题本身的性质能够让我们 *先验* 地推断出所求曲线必须是规则的。有了这些假设，我们确定了我们的想法并得出结论。在解决问题之后，我们还需要额外证明推导出的曲线具有所有所需的属性，并且它是唯一具有这些属性的曲线。

正如我们在上面关于逼近问题（或极限过渡）的特殊问题中所展示的那样，所有此类问题的主要困难在于证明找到的规则曲线（实际上是根据必要条件找到的）也同时满足充分条件，因此满足问题的 *所有* 要求。