变分法/第八章

第八章：二次变分；其符号由函数 $F_{1}$ 的符号决定。

• 111 引入的替换的性质和存在性。
• 112 总变分。
• 113,114 函数 $F$ 的二次变分。
• 115 积分 $I$ 的二次变分。二次变分的符号在确定最大值或最小值。
• 116 不连续性。
• 117 使二次变分的符号依赖于 $F_{1}$ 的符号。
• 118 对所做变换的可接受性。微分方程 $J=0$.
• 119 二次变分的一种简单形式。
• 120 二阶线性微分方程的一般性质。
• 121 二次变分和函数 $F_{1}$。函数 $F{1}$ 不能改变符号，并且必须不同于 $0$ 和 $\infty$，以便可能存在最大值或最小值。

第 111 条.
替换 $x+\epsilon \xi$，$y+\epsilon \eta$ 对于 $x$，$y$ 使原始曲线上的任何点沿一条直线移动，该直线与 $X$ 轴的夹角的正切为 ${\frac {\eta }{\epsilon }}$.

如果我们要求该点沿除直线以外的曲线移动，则曲线的这种变形是不够的。

为了避免这种不足，我们进行了更一般的替换（通过该替换，规则曲线保持规则）

$x\rightarrow x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots$, $\qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots$

其中，类似于我们之前开发的 $\xi$ 和 $\eta$（第 75 条），数量 $\xi _{1}$、$\eta _{1}$、$\xi _{2}$、$\eta _{2}\ldots$ 是关于 $t$ 的函数，在极限 $t_{0}\ldots t_{1}$ 之间是有限的、连续的单值的，并且可以被微分（只要需要）。这些级数假设在 $\epsilon$ 的值范围内收敛，使得 $|\epsilon |<1$。

这样的替代的存在可以通过以下方式看到：

由于曲线是规则的，因此可以由级数表示连续点到 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 的坐标，例如：

$({\text{A}})\qquad x_{0}+\epsilon a_{0}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}a_{0}^{(2)}+\cdots$, $\qquad y_{0}+\epsilon b_{0}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}b_{0}^{(2)}+\cdots$

$({\text{B}})\qquad x_{1}+\epsilon a_{1}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}a_{1}^{(2)}+\cdots$, $\qquad y_{1}+\epsilon b_{1}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}b_{1}^{(2)}+\cdots$

其中，$\epsilon$ 幂的系数为常数，级数是收敛的。

现在，假设我们要确定 $t$ 的函数

$({\text{C}})\qquad x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots$, $\qquad y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots$

使得当 $t=t_{0}$ 和 $t=t_{1}$ 时，表达式 (C) 与 (A) 和 (B) 相同。

例如，这可以通过编写以下内容来完成

$\xi _{1}=t^{2}+\alpha _{1}t+\alpha _{2}$,

$\eta _{1}=t^{2}+\beta _{1}t+\beta _{2}$,

然后确定$\alpha _{1}$，$\alpha _{2}$，$\beta _{1}$，$\beta _{2}$，以使

$t_{0}^{2}+\alpha _{1}t_{0}+\alpha _{2}=a_{0}^{(1)}$；$\qquad t_{0}^{2}+\beta _{1}t_{0}+\beta _{2}=b_{0}^{(1)}$

$t_{1}^{2}+\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}=a_{1}^{(1)}$；$\qquad t_{1}^{2}+\beta _{1}t_{1}+\beta _{2}=b_{1}^{(1)}$

由此可见

$\alpha _{1}=-(t_{1}+t_{0})+{\frac {a_{1}^{(1)}-a_{0}^{(1)}}{t_{1}-t_{0}}}$，等等。

同样地，我们可以确定$t$的二次表达式，用于$\xi _{2}$，$\eta _{2}$，等等。

因此获得的替换与我们假设存在的替换性质相同，并且显然可以以无限多种不同的方式构造。

第 112 条.
在积分中进行上述替换

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

可以看出

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F\left(x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots ,y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots ,x'+\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots ,y'+\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right)-F(x,y,x',y')\right]~{\text{d}}t$

$=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\delta ^{3}I+\cdots$.

根据泰勒定理，我们有

$F\left(x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots ,y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots ,x'+\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots ,y'+\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right)-F(x,y,x',y')$

$=\left[\left(\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x}}+\left(\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y}}+\left(\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x'}}+\left(\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y'}}\right]F$

$+{\frac {1}{2!}}\left[\left(\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x}}+\left(\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y}}+\left(\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x'}}+\left(\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y'}}\right]^{2}F$

$+{\frac {1}{3!}}\left[\cdots \right]^{3}F+\cdots$.

表达式中 $\epsilon$ 的系数是 $\delta I$ 的被积函数，为零；而 ${\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}$ 的系数包含了 $F$ 的一阶偏导数项，以及 $F$ 的二阶偏导数项。

属于该系数的 $F$ 的一阶偏导数项，在积分符号下可以写成如下形式：

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\xi _{2}+{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi _{2}'+{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta _{2}+{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta _{2}'\right]~{\text{d}}t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(y'\xi _{2}-x'\eta _{2})~{\text{d}}t+\left[\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

(参见第 79 条)，如果假设端点保持固定，则该表达式也为零。

第 113 条.
在前面用泰勒定理对 $\epsilon ^{2}$ 展开 $F$ 中，忽略因子 ${\frac {1}{2!}}$，由 $\delta ^{2}F$ 表示。

然后我们有

$1)\qquad \delta ^{2}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi _{1}^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\xi _{1}\eta _{1}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\eta _{1}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}\xi _{1}'^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}\xi _{1}'\eta _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}\eta _{1}'^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi _{1}\xi _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}\eta _{1}\eta _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}\xi _{1}\eta _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}\eta _{1}\xi _{1}'\right)$.

现在可以省略下标，并通过引入函数 $F_{1}$ 来简化公式，该函数（第 73 条）由以下关系定义：

$2)\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}=y'^{2}F_{1}$, $\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}=-x'y'F_{1}$, $\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=x'^{2}F_{1}$;

并引入新的记号

$3)\qquad L={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}-y'y''F_{1}$, $\qquad M={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}+x'y''F_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y}}+y'x''F_{1}$ （由于方程 $G=0$），$\qquad N={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}-x'x''F_{1}$;

其中 $x''$, $y''$ 分别表示 ${\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}$,${\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}$.

然后我们有

$\delta ^{2}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi ^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\xi \eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\eta ^{2}+F_{1}(y'^{2}\xi '^{2}-2x'y'\xi '\eta '+x'^{2}\eta '^{2})+2F_{1}(y'y''\xi \xi '+x'x''\eta \eta '-x'y''\xi \eta '-y'x''\eta \xi ')+2(L\xi \xi '+M(\xi \eta '+\eta \xi ')+N\eta \eta ')$.

为了使此公式的右边成员的一部分成为精确微分，我们写

$4)\qquad R=L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}$,

这个表达式关于 $t$ 微分后变为

$2[L\xi \xi '+M(\xi \eta '+\eta \xi ')+N\eta \eta ']={\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\xi ^{2}-2{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\xi \eta -{\frac {{\text{d}}N}{{\text{d}}t}}\eta ^{2}$.

我们进一步写

$5)\qquad w=y'\xi -\eta x'$,

其中 (见第 81 条) $w$ 是，忽略因子 ${\frac {1}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$，曲线上的一个点沿法线方向的滑动量。

关于 $t$ 微分，我们有

${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}=y''\xi -x''\eta +y'\xi '-x'\eta '$,

由此可知

$c=(y''\xi -x''\eta )^{2}+(y'\xi '-x'\eta ')^{2}+2(y'y''\xi \xi '+x'x''\eta \eta '-x'y''\xi \eta '-y'x''\eta \xi ')$.

那么，二阶变分的表达式变为

$\delta ^{2}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi ^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\xi \eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\eta ^{2}+F_{1}\left[\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}-(y''\xi -x''\eta )^{2}\right]+{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}-\left({\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\xi ^{2}+2{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\xi \eta +{\frac {{\text{d}}N}{{\text{d}}t}}\eta ^{2}\right)$.

如果我们进一步在这个表达式中写

$6)\qquad L_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}-F_{1}y''^{2}-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}$, $\qquad M_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+F_{1}x''y''-{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}$, $\qquad N_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-F_{1}x''^{2}-{\frac {{\text{d}}N}{{\text{d}}t}}$,

我们最终得到

$\delta ^{2}F=F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+L_{1}\xi ^{2}+2M_{1}\xi \eta +N_{1}\eta ^{2}+{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}$.

第 114 条.
由 3) 可知

$Lx'+My'=x'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}+y'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}$.

由于函数 $F$ （第 IV 章）的同质性，从欧拉定理可以看出

$F=x'{\frac {\partial F}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}$,

因此，

${\frac {\partial F}{\partial x}}=x'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}+y'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}$;

因此

${\frac {\partial F}{\partial x}}=Lx'+My'$.

类似地，我们有

${\frac {\partial F}{\partial y}}=Mx'+Ny'$.

对 $t$ 微分，上面的表达式变为

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}x''+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}y''={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}x'+{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}y'+Lx''+My''$,

由于 3)，它为

$x'\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}-F_{1}y''^{2}-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\right)+y'\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+F_{1}y''x''-{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\right)=0$;

或从 6)

$x'L_{1}+y'M_{2}=0$.

以类似的方式，可以证明

$x'M_{1}+y'N_{1}=0$.

从这些表达式中，我们立刻得到

${\frac {L_{1}}{y'^{2}}}=-{\frac {M_{1}}{x'y'}}={\frac {N_{1}}{x'^{2}}}=F_{2}$,

其中 $F_{2}$ 是比例因子。

由此可知

$7)L_{1}=y'^{2}F_{2},\qquad M_{1}=-x'y'F_{2},\qquad N_{1}=x'^{2}F_{2}$.

量 $F_{2}$ 由这三个等式定义，在第二变分的处理中起着至关重要的作用。

由于关系式7)，

$L_{1}\xi ^{2}+2M_{1}\xi \eta +N_{!}\eta ^{2}$ 变为 $F_{2}w^{2}$，

因此，

$\delta ^{2}F=F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w^{2}+{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}$.

第115条.
因此，积分的第二变分形式为

$8)\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t$.

我们假设端点是固定的，因此在这些点上 $\xi =0=\eta$，并且我们进一步假设所变分的曲线包含一条正则轨迹，沿着这条轨迹则

$R=L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}$

在任何地方都是连续的，因此

${\Big [}R{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}=0$.

因此，上面的积分可以写成

$8^{*})\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t$.

如果积分 $I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$ 对于曲线 $G=0$ 来说要取最大值或最小值，则当曲线经受无限小的变化时，由此产生的变化 $\Delta I$ 必须始终具有相同的符号，无论以何种方式选择 $\xi$，$eta$；因此，二阶变分 $\delta ^{2}I$ 必须连续地与 $\Delta I$ 具有相同的符号。

我们已经多次看到

$\Delta I={\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\delta ^{3}I+\cdots$,

以及对于任何其他值 $\epsilon _{1}$，例如 $\epsilon _{1}$

$\Delta _{1}I={\frac {\epsilon _{1}^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+{\frac {\epsilon _{1}^{3}}{3!}}\delta ^{3}I+\cdots$.

此外，如果 $\delta ^{2}I$ 为负数，而 $\Delta I$ 为正数，则我们可以取 $\epsilon _{1}$ 足够小，使 $\Delta _{1}I$ 的符号仅取决于上述展开式中右侧的第一项，因此为负数。因此，积分 $I$ 不能取得最大值或最小值，因为它的变化先是正数，然后是负数。

因此，暂且不考虑 $\delta ^{2}I=0$ 的情况，我们有以下定理：

如果积分 $I$ 要取最大值或最小值，则它的二阶变分必须连续为负数或连续为正数。

当 $\delta ^{2}I$ 对 $\xi$ 和 $\eta$ 的所有可能值都消失时，也必须 $\delta ^{2}I$ 消失，因为积分 $I$ 应该是一个最大值或最小值，并且像在极值理论中一样，我们必须研究第四阶变分。在这种情况下，需要满足的条件非常多，以至于数学处理非常复杂和困难。

因此，可以看出，在条件 $\delta I=0$ 满足后，它得出：

对于最大值的可能性，$\delta ^{2}I$ 必须是负的，并且

对于最小值的可能性，$\delta ^{2}I$ 必须是正的。

这些条件是必要的，但不是充分的。

第 116 条.
在第 75 条中，我们假设 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 是 $t$ 在 $t_{0}\ldots t_{1}$ 限制内的连续函数。由于假设 $\xi '$，$\eta '$ 存在，我们必须预先假设 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 的二阶导数（参见第 23 条）。由此也推出曲率半径必须以连续的方式变化。在上一篇文章中推导方程 8) 时，已经默契地做出了这些假设。现在，我们将从 $\xi '$ 和 $\eta '$ 是 $t$ 的连续函数的限制中解放出来，但保留关于 $x,y,\xi ,\eta ,x',y',x'',y''$ 的连续性的假设。

定理表明，${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 在整个曲线（第97条）上以连续的方式变化，在大多数情况下提供了一种方便的方法来确定关于 $x'$ 和 $y'$ 连续性的假设的可接受性。如果在曲线 $G=0$ 的某些点，$x'$ 和 $y'$ 不连续，则始终可以将曲线划分为这样的部分，使得 $x'$ 和 $y'$ 在每个部分中都是连续的。然而，我们甚至不能说 $x''$ 和 $y''$ 在这样的部分内是连续的，正如上面发展中假设的那样。然而，如果 $x''$ 和 $y''$ 在这样的曲线部分内是不连续的，我们只需要将曲线划分为其他部分，以便在这些新部分内 $x''$ 和 $y''$ 不再发生任何突然的跳跃。在这些曲线部分中的每一个，都可以得出与整个曲线相同的结论，因此，关于 $x''$，$y''$ 在整个曲线上的连续变化的假设是不必要的。但是，如果我们局限于考虑曲线的一部分，其中 $x,y,x',y',x'',y''$ 以连续的方式变化，那么 $\xi '$，$\eta '$ 在积分的积分中是连续的。

$\int {\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t$

会被假设。这些假设不一定需要满足，因为曲线的变化是任意的，并且很可能引入这样的变化，其中$\xi '$，$\eta '$ 变成不连续的，只要我们愿意就可以。然而，如果只有第一个命名条件得到满足，我们可以放弃这些假设而不会改变最终结果。由于量$L$，$M$，$N$ 仅依赖于$x,y,x',y',x'',y''$，并且由于这些量是连续的，所以引入积分$\int {\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t$ 以上给出的形式始终是允许的。因为如果$\xi '$，$\eta '$ 在曲线的整个轨迹中不连续，曲线已经经历了变化，我们可以假设这条曲线被分成几部分，在这些部分内，上述导数以连续的方式变化，然后积分将变成形式为

$\int _{t_{\beta }}^{t_{\beta +1}}{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t=\left[L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}\right]_{t_{\beta }}^{t_{\beta +1}}$,

其中$t_{\beta },t_{\beta +1},\ldots$ 是对应$t$ 值的分割点的坐标。但由于$\xi$，$\eta$ 以连续的方式变化，我们通过对这些量的求和得到了完全相同的表达式

$\left[L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

与之前一样。数量 $\xi '$，$\eta '$ 也在 8) 右侧积分符号下找到；但由于定积分的概念，即使这些量以不连续的方式变化，我们仍然可以以这种形式写它；然而，在进行积分时，我们必须将对应于不连续性进入部分积分的位置的积分进行划分。因此，我们看到 $\xi '$，$\eta '$ 的可能不连续性对结果没有影响，只要 $x,y,x',y',x'',y'',\xi ,\eta$ 是连续的。因此，关于 $\xi '$，$\eta '$ 连续性的任何假设都是多余的；然而，在曲线被变化的任意小部分中，数量 $\xi '$ 和 $\eta '$ 不能在无限次内变得不连续，因为这种曲线的变化必然已经全部排除。

第 117 条.
遵循勒让德、雅可比等早期数学家的方法，我们可以将第二变分赋予一种形式，其中积分符号下出现的所有项都具有相同的符号（正号或负号）。

为了实现这一点，我们在 8) 的积分符号下添加一个精确微分 ${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(w^{2}v)$，并从 $R$ 中减去它，积分变为

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+2vw{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+\left(F_{2}+{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\right)w^{2}\right)~{\text{d}}t+{\Big [}R-vw^{2}{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{!}}$.

积分符号下的表达式是关于 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 的一个齐次二次型。我们选择量 $v$ 使得这个表达式成为一个完全平方，即：

$9)\qquad v^{2}-F_{1}\left(F_{2}+{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\right)=0$,

${\displaystyle }$

因此，

$10)\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+w{\frac {v}{F_{1}}}\right)^{2}~{\text{d}}t+{\Big [}R-vw^{2}{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

我们将看到，可以确定一个函数 $v$，它在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内是有限单值且连续的，并且满足方程 9）。如果端点保持固定，则积分 10）相应地变为：

$10^{a}\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+w{\frac {v}{F_{1}}}\right)^{2}~{\text{d}}t$

因此，第二变分与 $F_{1}$ 有相同的符号，很明显，*为了存在最大值，$F_{1}$ 必须为负，而对于最小值，这个函数在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内必须为正，如果存在最大值或最小值，$F_{1}$ 不能在这个区间内改变符号。*

这个条件是由雅可比提出的。勒让德之前得出结论，当一个与 $F_{1}$ 相对应的表达式为负时，我们有一个最大值，而当它为正时，我们有一个最小值。关于 $v$ 的微分方程是否总是可积的，这是一个值得探讨的问题。在雅可比之后，我们将证明情况确实如此。

第 118 条.
在我们继续之前，我们还没有证明我们所介绍的变换是允许的。尽管方程式 9）很简单，但我们无法对函数 v 的连续性做出结论，而这对于上述变换是必要的。¢ 因此，必须证明方程式 9）可以简化为两个线性微分方程组，该方程组可以还原为二阶线性微分方程，因为对于该方程，我们有明确的标准来确定满足该方程的函数是否保持有限且连续。

写

$v={\frac {u_{1}}{u}}$,

其中 $u_{1}$ 和 $u$ 是 $t$ 的连续函数，并且 $u\neq 0$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内。

方程式 9）然后变为

$<{\frac {u_{1}^{2}}{u^{2}}}-F_{1}\left(F_{2}+{\frac {u{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}-u_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}}{u^{2}}}\right)=0/math>,or:<math>F_{1}u\left({\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}+F_{2}u\right)-u_{1}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+u_{1}\right)=0$.

由于函数 $u$，$u_{1}$ 之一可以任意选择，我们取 $u$ 使得

$11)\qquad F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+u_{1}=0$;

那么，由于 $u\neq 0$，我们有

$12)\qquad {\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}+F_{2}u=0$.

从 11）和 12）可以看出

$12^{a})\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$,

或者

$13)\qquad F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}-F_{2}u=0$,

其中 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 被认为是 $t$ 的已知函数。我们将此微分方程记为 $J=0$。在 $u$ 由此方程确定后， $u_{1}$ 可以由 11）确定，并且由 ${\frac {u_{1}}{u}}=v$ 我们得到 $v$ 作为 $t$ 的一个确定函数。

第 119 条.
为 $v$ 推导出的表达式似乎包含两个任意常数，而方程 9）只有一个。然而，两种情况下，两个常数可以被一个常数替换，因为 13）的一般解为

$u=c_{1}\phi _{1}(t)+c_{2}\phi _{2}(t)$,

因此，由 11）

$v={\frac {u_{1}}{u}}=-F_{1}{\frac {c_{1}\phi _{1}'(t)+c_{2}\phi _{2}'(t)}{c_{1}\phi _{1}(t)+c_{2}\phi _{2}(t)}}$,

此表达式仅依赖于两个常数的比率。

从上述变换可以得出，

$14)\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {w}{u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)~{\text{d}}t$;

但这种变换只有在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内找到一个非零函数 $u$ 才能有意义，这个函数需要满足微分方程 $J=0$ 时才成立。

第 120 条.
如果我们有一个二阶线性微分方程

${\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}=P(x){\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}+Q(x)y=0$,

如果 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是这个方程的基本积分系统，那么根据阿贝尔的关系（见福赛斯《微分方程》第 99 页），我们有：

$y_{1}{\frac {{\text{d}}y_{2}}{{\text{d}}x}}-y_{2}{\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}x}}=Ce^{-\int P(x){\text{d}}x}$,

或者

$\Delta ={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\{\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}x}}&{\frac {{\text{d}}y_{2}}{{\text{d}}x}}\end{vmatrix}}=Ce^{-\int P(x){\text{d}}x}$.

如果 $\Delta =0$，那么我们将有 $y_{1}=cy_{2}$，系统不再是基本积分系统。这个行列式只有在 $P(x)$ 变成无穷大时才会变成零；或者这个行列式的符号变化只能在 $P(x)$ 变成无穷大时才会发生。

在微分方程 y $J=0$ 中，我们有 $P={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\ln(F_{1})$，如果 $u_{1}$，$u_{2}$ 构成该微分方程的基本积分体系，那么

$\Delta =u_{1}{\frac {{\text{d}}u_{2}}{{\text{d}}t}}-u_{2}{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{F_{1}}}$.

由此得出，$F_{1}$ 在所考虑的区间内或该区间的边界上不能变成无穷大或零。因此，我们再次看到，$F_{1}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内不能改变符号。

如果 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内连续，那么通过对等式 $J=0$ 进行微分，我们可以用 $u$ 和 ${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$ 来表示 $u$ 的所有高阶导数。因此，如果对于一个确定的 $t$ 值，例如 $t'$，给出了 $u$ 和 ${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$ 的值，那么我们得到了 $u$ 的幂级数 $P(t-t')$（参见第 79 条），它满足等式 $J=0$。

第 121 条.
假设 $F_{1}$ 在 $t$ 的某个特定值 $t'$ 有一个确定的正值或负值，这个特定值 $t'$ 位于区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内，那么由于它的连续性，它在 $t'$ 的某个邻域内也将会是正值或负值，比如 $t'-\tau _{1}\ldots t'+\tau _{2}$ 。我们可以改变曲线的形状，使它在区间 $t'-\tau _{1}\ldots t'+\tau _{2}$ 内取任何形状，而在该区域之外保持不变。

因此，$I$ 的总变分，因此也 $I$ 的二阶变分，仅取决于上述区域内的变分，根据上面的结论，我们可以找到一个关于变量 $t$ 的函数 $u$ ，它在给定区域内是连续的，满足微分方程 $J=0$ ，并且 $u$ 和 ${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$ 在 $t=t'$ 处有给定的值，由此可知引入的变换是可接受的，我们有

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t$.

当 $F_{1}$ 为正值时，这个值显然是正值；当 $F_{1}$ 为负值时，这个值是负值，只要

${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{u}}\neq 0\qquad$ (第 132 条).

然后，我们得到总变化

$\Delta I={\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\xi ,\eta ,\xi ',\eta ')~{\text{d}}t$,

其中 $(\xi ,\eta ,\xi ',\eta ')$ 表示括号中包含的量的三维表达式。

对于 $\epsilon$ 的小值，可以看出 $\Delta I$ 与上述等式右侧第一项具有相同的符号。因此，我们得到以下定理：

积分 $I$ 的总变化 $\Delta I$ 当 $F_{1}$ 为正时为正，当 $F_{1}$ 在整个区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内为负时为负。

如果 $F_{1}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内的任意位置都可能改变符号，那么就会存在曲线变化，使得 $\Delta I$ 为正，而其他变化则使得 $\Delta I$ 为负。因此，为了使 $I$ 存在最大值或最小值，我们有以下必要条件：

为了使在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内的曲线 $G=0$ 上存在积分 $I$ 的最大值或最小值，有必要 $F_{1}$ 在该区间内始终保持相同的符号；在最大值的情况下，$F_{1}$ 必须持续为负，而在最小值的情况下，该函数必须持续为正。

在这方面，值得注意的是，W. F. Osgood 教授在美国数学会刊（第二卷，第 273 页）上发表了一篇论文，题目为：

"变分法的最小值的基本性质以及对魏尔斯特拉斯定理的证明"

这篇论文非常重要，可以大大简化。