变分法/第 X 章

第 X 章：在特定特殊变分假设下推导出的判据也足以建立迄今为止使用的公式。

• 134 使用的过程是逐步排除。
• 135 推导出的三个必要条件的总结。
• 136,137 特殊变分。总变分。
• 138 二次形式中的一个定理。
• 139 建立从第二变分推导出的条件。
• 140,141,142,143,144 应用于第一章的前四个问题。

第 134 条.
我们遵循的方法表明，变分法的整个过程是一个逐步排除的过程。我们首先排除 $G$ 不为零的曲线，并限制自己考虑满足微分方程 $G=0$ 的曲线。从这些后来的曲线中，我们排除所有 $F_{1}$ 未保持相同符号的曲线。如果对于任何尚未排除的曲线，$F_{1}=O$ 在孤立点处，我们只是属于结论适用的曲线的一种极限情况。如果 $F_{1}=0$ 对于一段未被上述条件排除的曲线，我们必须对曲线进行额外的考虑，其中必须研究第三变分和更高变分。我们进一步排除所有在积分限之间存在共轭点的曲线，因为它们不可能产生最大值或最小值。不存在这样的点对的情况，或这样的点是积分限的情况，需要进一步研究。这导致了第四个条件，一个由魏尔斯特拉斯提出的条件，将在第 XII 章中讨论。在这个排除过程中，让我们接下来看看所允许的变分是否足以用于所考虑的一般处理。

第 135 条.
作为最大值或最小值出现的必要条件，已经建立了以下定理

1) $x,y$ 作为 $t$ 的函数必须以这样的方式确定，使得它们满足微分方程 $G=0$。

2) 沿着如此确定的曲线，函数 $F_{1}$ 对于最大值不能为正，对于最小值不能为负；此外，$F=0$ 在孤立点或沿一定范围内的曲线的情况，在一般情况下不能进行处理，但是由此产生的问题必须进行特殊研究。

3) 积分最多可以从一个点延伸到它的共轭点，但不能超过这个点。

从对第二变分的考虑中推导出的最后两个条件需要一定的限制。一方面，必须证明 $\Delta I$ 的符号实际上与 $\delta ^{2}I$ 的符号相同，如果我们为 $\xi$，$\eta$ 等选择所有特殊变分中最一般的变分，对于这些特殊变分，迄今为止的展开是正确的；然后，剩下的问题是研究为曲线完全任意变化的情况，已建立的判据是否以及在多大程度上仍然成立。

第 136 条.
我们回到上一篇文章中提出的定理的证明。在迄今为止进行的研究中，我们始终假设 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 是足够小的量，因为只有在这种假设下，我们才能将

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}[F(x+\xi ,y+\eta ,x'+\xi ',y'+\eta ')-F(x,y,x',y')]{\text{d}}t$

展开成这些量的幂级数。这意味着不仅要对曲线进行变化，而且要使曲线无限接近原始曲线，而且两条曲线的方向在对应点上也只有微小的差异。我们保持相同的假设，并且始终局限于特殊的变分。

我们将首先证明，对于所有这些变分，$\Delta I$ 和 $\delta ^{2}I$ 的符号一致，因此对于这些变分，已经找到的准则也是充分的。但是，我们不再假设变分可以表示为 $\epsilon \xi$，$\epsilon \eta$，其中 $\epsilon$ 表示一个足够小的量。

由于原始曲线的曲率在任何点都不会变得无限大（参见第 95 节），并且由于原始曲线和经过变化的曲线在对应点上它们的位置和切线方向上的偏差都很小，因此在原始曲线的每个点上都与经过变化的曲线的点相关联，在该点上，后者曲线被穿过第一个曲线上的点的法线所切割。

点 $x,y$ 处的法线方程为

$(X-x)x'+(Y-y)y'=0$;

从刚刚的评论来看，点 $x+\xi$，$y+\eta$ 应该位于这条法线上，因此

$\xi x'+\eta y'=0$.

如果我们结合 $w$ 的定义来考虑这个方程

$w=\xi y'-\eta x'$,

那么变分可以表示为

$1)\qquad \xi ={\frac {w}{x'^{2}+y'^{2}}}y',\qquad \eta =-{\frac {w}{x'^{2}+y'^{2}}}x'$.

在这些表达式中，${\frac {w}{x'^{2}+y'^{2}}}$ 是一个无穷小的量，因为 $x'$ 和 $y'$ 不可能同时消失 (第 95 条)，并且它随着 $t$ 连续变化。同样，这个量相对于 $t$ 的导数也是一个无穷小的量，但它可能并非处处连续。

假设 $\xi$，$\eta$，$\xi '={\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}$，$\eta '={\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 都是足够小的量，我们可以将积分的总变分展开为 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 的幂；并且，如果我们使用泰勒定理的形式

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}[F(x+\xi ,y+\eta ,x'+\xi ',y'+\eta ')-F(x,y,x',y')]{\text{d}}t$

关于 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$；并且，如果我们使用泰勒定理的形式

$F(x_{1}+\xi _{1},\ldots ,x_{n}+\xi _{n})=F(x_{1},\ldots ,\xi _{n})+\sum _{i}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\xi _{i}+\int _{0}^{1}(1-\epsilon ){\text{d}}\epsilon \sum _{i,j}[F_{i,j}(x_{1}+\epsilon \xi _{1},\ldots ,x_{n}+\epsilon \xi _{n})\xi _{i}\xi _{j}]$,

其中，$F_{i,j}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$，我们有，由于第一维的项消失了，因此展开形式为

$2)\qquad \Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\int _{0}^{1}(1-\epsilon )[F_{1,1}(x+\epsilon \xi ,y+\epsilon \eta ,x'+\epsilon \xi ',y'+\epsilon \eta ')\xi ^{2}+\cdots ]{\text{d}}\epsilon {\text{d}}t$.

第 137 条.
如果我们进一步展开 $F_{1,1}$ 等，关于 $\epsilon$ 的幂，会发现不包含 $\epsilon$ 的项的总和与在第八章中获得的 $\delta ^{2}F$ 相同。

关于 $\epsilon$ 进行积分，我们可以将其他项表示为 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 的二次形式，其系数也包含这些量，并且以一种随着这些量无限变小的方式。

接下来，在 $\Delta I$ 中写入 $\xi$，$\eta$ 的值，这些值在 1) 中给出，以及 $\xi '$，$\eta '$ 的以下值，这些值也是从 1) 推导出来的

$3)\qquad \xi '={\frac {y'}{x'^{2}+y'^{2}}}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+w{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {y'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right)\qquad \eta '=-{\frac {x'}{x'^{2}+y'^{2}}}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-w{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right)$,

我们有

$4)\qquad \Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+F_{2}w^{2}\right)^{2}\right]{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[fw^{2}+2gw{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+h\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right]{\text{d}}t$,

其中 $f$、$g$、$h$ 代表仍然包含 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 的函数，并且随着这些量的无限缩小而无限缩小。

第 138 条.
根据二次型中的一个已知定理，

$fw^{2}+2gw{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+h\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}$,

始终可以通过不涉及虚数的线性代换，转化为

$f_{1}u_{1}^{2}+f_{2}u_{2}^{2}$,

的形式，同时满足

$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=w^{2}+\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}$

为真，其中$f_{1}$ 和 $f_{2}$ 是关于 $x$ 的二次方程的根

$(f-x)(h-x)=g^{2}\equiv x^{2}-x(f+h)+fh-g^{2}=0$.

由于该方程中的系数随 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 同时变小，该方程的根 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 也必须如此。

如果 $l$ 是 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 之间的平均值，它也随 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 无限变小，我们可以把表达式

$f_{1}u_{1}^{2}+f_{2}u_{2}^{2}$

写成如下形式

$f_{1}u_{1}^{2}+f_{2}u_{2}^{2}=l(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})=l\left(w^{2}+\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right)$,

因此，我们有 $\Delta I$ 的表达式

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right]{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}l\left[w^{2}+\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right]{\text{d}}t$,

或者最终

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[(F_{1}+l)\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}+l)w^{2}\right]{\text{d}}t$;

因此，我们对于 $\Delta I$ 具有与之前 $\delta ^{2}I$ （第 115 条）相同的形式。

第 139 条.
我们现在假设存在最大值或最小值的必要条件得到满足；因此，在整个曲线 $G=0$ 上，函数 $F_{1}$ 不同于零或无穷大，并且始终保持相同的符号；可以确定一个函数 $u$ 满足以下方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$,

并且在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内或在该区间的边界上均不消失。

因此，如果我们将 $k$ 理解为一个正量，并写出

$l=-k+l+k$,

那么上述 $\Delta I$ 的表达式变为

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[(F_{1}-k)\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}-k)w^{2}\right]{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}(l+k)\left[\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+w^{2}\right]{\text{d}}t$.

如果 $k$ 被赋予一个固定值，那么我们可以选择 $\xi$，$\eta$ 足够小，以至于依赖于它们的量 $l$ 的绝对值小于 $k$。因此，量 $k+l$ 为正，因此上述表达式的第二个积分也为正。我们还需要证明，如果 $F_{1}>0$，则第一个积分也为正。

根据微分方程中的一个已知定理，只要方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$

通过 $t$ 的一个连续函数 $u$ 积分，该函数在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内及边界上均不为零，那么也可以积分微分方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[(F_{1}-k)){\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}\right]-(F_{2}-k){\bar {u}}=0$

通过一个关于 $t$ 的连续函数，如果 $k$ 不超过一定的限制，则在整个轨迹中无限地偏离 $u$ 非常少，因此可以用以下形式表示

${\bar {u}}=u+(t,k)$,

其中 $(t,k)$ 与 $k$ 同时无限地变小，对于所有需要考虑的 $t$ 值都是如此。

因此，函数 ${\bar {u}}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内不会消失。以这种方式，也为 $k$ 设定了一个确定的界限，它不能超过这个界限。但如果还加上条件，即 $k$ 必须足够小，使得 $F_{1}-k$ 与 $F_{1}$ 符号相同，则 $\xi$，$\eta$ 始终可以选取得足够小，使得 $|l|<k$。

然后，第一个积分可以以类似于第 115 条中将积分 8) 变换为第 119 条中 14) 的方式进行变换，因此我们有

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(F_{1}-k)\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{\bar {u}}}\right)^{2}{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}(l+k)\left(\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+w^{2}\right){\text{d}}t$,

这表明，对于在给定假设下产生的曲线的任何无限小的变化，$\Delta I$ 如果 $F_{1}$ 为正，则为正。如果 $F_{1}$ 为负，则关于 $k$ 的相同结论仍然成立；只是 $k$ 必须选择为负数，并且 $|l|<-k$。上式右边两个积分都是负的，因此 $\Delta I$ 本身也是负的。

因此，我们证明了上述断言：如果在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 中满足从积分的二阶变分考虑得出的最大值或最小值存在的必要条件，则总变分的符号将与曲线的所有变分（这些变分是这样选择的：不仅原始曲线和变分曲线上的对应点之间的距离任意小，而且对应点处的两条曲线的方向也彼此相差任意小的量）的二阶变分的符号相同。

因此，已经证明了在第 135 条中给出的三个条件是最大值或最小值存在的必要条件。进一步的检验将给出第四个条件（魏尔斯特拉斯条件，见第十二章），该条件的满足也是充分的。如果满足该条件，则在确保其他三个条件都满足后，该条件将是决定性的。

将所建立的准则应用于第一章中提出的问题 I、II、III 和 IV，并在第七章中进一步讨论。

第 140 条.
问题 I. 旋转极小曲面的问题。

作为方程 $G=0$ 的解，我们得到了（第 100 条）悬链线的两个联立方程：

$1)\qquad x=\alpha +\beta t=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y={\frac {\beta }{2}}(e^{t}+e^{-t})=\psi (t,\alpha ,\beta )$.

因此，我们有（第 125 条），

$2)$

$\phi '(t)=\beta \quad \phi _{1}(t)=1\quad \phi _{2}(t)$

$\psi '(t)={\frac {\beta }{2}}(e^{t}-e^{-t})\quad \psi _{1}(t)=0\quad \psi _{2}(t)={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})$;

因此，

$\theta _{1}(t)=\psi '(t)\phi _{1}(t)-\phi '(t)\psi _{1}(t)={\frac {\beta }{2}}(e^{t}-e^{-t})=y'\quad \theta _{2}(t)=\psi '(t)\phi _{2}(t)-\phi '(t)\psi _{2}(t)=ty'-y$.

如果现在，$x_{0},y_{0},x_{0}',y_{0}'$ 是对应于值 $t_{0}$ 的 $x,y,x',y'$ 的值，那么

$3)\qquad \Theta (t,t_{0})=\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}(t)-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}(t)=y_{0}'(ty'-y)-(t_{0}y_{0}'-y_{0})t'$;

或者，因为

$t={\frac {x-\alpha }{\beta }}\qquad t_{0}={\frac {x_{0}-\alpha }{\beta }}\qquad \beta =x'=x_{0}'\qquad$ [参见 2)]，

我们有

$4)\qquad \Theta (t,t_{0})={\frac {1}{\beta }}[y_{0}'(xy'-yx')-y'(x_{0}y_{0}'-y_{0}x_{0}')]$.

为了找到与 $t_{0}$ 共轭的点，我们必须用 $t$ 来表示这个表达式中的 $x,y,x',y'$ 的值，然后解方程 $\Theta (t,t_{0})=0$。

然而，为了避免这种比较复杂的计算，我们可以利用几何解释（第 58 条）。过悬链线 $x_{0},y_{0}$ 点的切线方程为

$y_{0}'(X-x_{0})-x_{0}'(Y-y_{0})=0$.

因此，该切线与 $X$ 轴相交于由以下方程确定的点

$y_{0}'X=xy'-yx'$.

过悬链线上任意点的切线与 $X$ 轴相交于由以下方程确定的点

$y'X=xy'-yx'$.

现在，如果点 $x,y$ 与 $x_{0},y_{0}$ 互为共轭点，则它的坐标必须满足式 4），该式变为

$y_{0}y'(X-X_{0})=0$.

因此，由于 $y_{0}'$ 和 $y'$ 不为零（第 101 条），我们有

$X=X_{0}$;

也就是说，悬链线的共轭点具有这样的性质：过它们所作的切线在 $X$ 轴上相交。因此，我们有了一个简单的几何方法来确定悬链线上任何点对应的共轭点。

此外，我们有

$F_{1}={\frac {y}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}$,

并且由于 $y$ 始终为正，并且 $x',y'$ 不能同时为零，因此可知 $F_{1}$ 始终为正，且不等于零或无穷大。因此，悬链线在两个共轭点之间的那部分，绕 $X$ 轴旋转，会生成一个表面积最小的曲面（参见第 167 条）。

同时，在这个问题中，我们也看到了关于 $F_{1}$ 的条件在关于最小值存在的严格证明中起着多么小的作用。

第 141 条.
问题二。最速降线问题。

在本问题中，表达式 $F_{1}$ 被发现为

$1)\qquad F_{1}={\frac {1}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}}$.

我们从某些先验原因假设，在曲线上的点 $A$ 和 $B$ 之间可能不存在尖点（参见第 104 条）；也就是说，不存在 $x'$ 和 $y'$ 同时等于零的点。对于曲线的这样的弧线，$F_{1}$ 始终为正且不同于零和无穷大，因为平方根符号下的量始终是有限且不同于零的（参见第 95 条）。

我们获得了（第 103 条）方程 $G=0$ 的解形式为

$2)\qquad x=\alpha +\beta (t-\sin t)=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y+a=\beta (1-\cos t)=\psi (t,\alpha ,\beta )$,

这里 $t$ 代替了 $\phi$，$\alpha$ 代替了 $-x_{0}$，$\beta$ 代替了 $1/(2c^{2})$；$a$ 是一个给定的量，它通过初始速度确定。

因此，我们有

$3)$

$\phi '(t)=\beta (1-\cos t)\quad \phi _{1}(t)=1\quad \phi _{2}(t)=t-\sin t$;

$\psi '(t)=\beta \sin t\qquad \phi _{1}(t)=0\qquad \psi _{2}(t)=1-\cos t$;

$\theta _{1}(t)=\beta \sin t$,

$\theta _{2}(t)=\beta \sin t(t-\sin t)-\beta (1-\cos t)^{2}=2\beta \sin(t/2)[t\cos(t/2)-2\sin(t/2)]$;

因此

$\Theta (t,t_{0})=4\beta ^{2}\sin {\frac {t_{0}}{2}}\sin {\frac {t}{2}}\left[\cos {\frac {t_{0}}{2}}\left(t\cos {\frac {t}{2}}-2\sin {\frac {t}{2}}\right)-\cos {\frac {t}{2}}\left(t_{0}\cos {\frac {t_{0}}{2}}-2\sin {\frac {t_{0}}{2}}\right)\right]$.

我们已经假定 $A$ 和 $B$ 的位置，那么 $t_{0}$ 和 $t$ 都不同于 $0$ 和 $2\pi$ ，因此，确定与 $t_{0}$ 共轭的点的方程具有以下形式

$\cos {\frac {t_{0}}{2}}\left(t\cos {\frac {t}{2}}-2\sin {\frac {t}{2}}\right)-\cos {\frac {t}{2}}\left(t_{0}\cos {\frac {t_{0}}{2}}-2\sin {\frac {t_{0}}{2}}\right)=0$,

或者

$4)\qquad t-2\tan {\frac {t}{2}}=t_{0}-2\tan {\frac {t_{0}}{2}}$,

这是一个确定 $t$ 的超越方程。

我们很容易看到，在区间 $0\ldots 2\pi$ 内，除了 $t=t_{0}$ 外，没有其他实根，因为 $t-2\tan(t/2)$ 的导数，即 $1-{\frac {1}{\cos ^{2}(t/2)}}$ 是负数，所以 $t-2\tan(t/2)$ 连续递减，如果 $t$ 偏离 $t_{0}$，并且永远不会再取值 $t_{0}-2\tan(t_{0}/2)$。

因此，在摆线弧线上，与点 $t_{0}$ 共轭的点不存在，因此，摆线任何两个尖点之间的弧线都具有这样的性质：一个沿着该弧线从点 $A$ 滑动到曲线上的另一个点 $B$ 的物质点，在最短的时间内到达（第 168 条）。

在这个问题中，我们看到条件 $F_{1}>0$ 足以确定最小值的存在。初始速度为零且点 $A$ 位于一个尖点的情况将在后面讨论（第 169 条）。

第 142 条.
问题 III. 球面上最短线的长度

在这个问题中，我们发现

$1)\qquad F_{1}={\frac {\sin ^{2}u}{({\sqrt {u'^{2}+v'^{2}\sin ^{2}u}})^{3}}}$.

此表达式不会无限大，因为 $u'$ 和 $v'$ 不会同时消失。

然而，函数 $F_{1}$ 当 $\sin u=0$ 时会消失；也就是说，当 $u=0$ 或 $\pi$ 时。因此，在这种情况下，我们必须选择坐标系，使 $u$ 在曲线的轨迹上不等于零或 $\pi$。如果做到了这一点，那么 $F_{1}$ 在从 $A$ 到 $B$ 的整个范围内都是正数，并且不会变为零或无限大。

方程 $G=0$ 提供了一个大圆的弧，其方程为（参见第 106 条）

$2)$

$\cos u=\cos c\cos(s-b)$

$\cot(v-\beta )=\sin c\cot(s-b)$;

或者，

$u=\arccos(\cos c\cos(s-b))=\phi (s,\alpha ,\beta )$

$v=\beta +\operatorname {arccot}(\sin c\cot(s-b))=\psi (s,\alpha ,\beta )$.

因此，我们有

$\phi '(s)={\frac {\cos c\sin(s-b)}{\sqrt {1-cos^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}\qquad \phi _{1}(s)={\frac {\sin s\cos(s-b)}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}\qquad \phi _{2}(s)=0$

$\psi '(s)={\frac {\sin c}{1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}\qquad \psi _{1}(s)={\frac {-\cos c\sin(s-b)\cos(s-b)}{1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}\qquad \psi _{2}(s)=1$

因此

$\theta _{1}(s)={\frac {\cos(s-b)}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}\qquad \theta _{2}(s)={\frac {-\cos c\sin(s-b)}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}$.

因此，对于点 $A$，有$s=s_{0}=0$，可以得出

$3)\qquad \Theta (s,s_{0})=-{\frac {\cos c\sin s}{{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}b}}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}}$.

因此，为了找到点 $s_{0}=0$ 的共轭点，我们需要求解关于 $s$ 的方程 $\Theta (s,s_{0})=0$。

由于 3) 的分母不可能变为无穷大，所以共轭点需要从方程 $\sin s=0$ 中确定。因此，我们有 $s=\pi$ 作为 $s=0$ 的共轭点；也就是说，$A$ 的共轭点是通过 $A$ 所画圆的直径的另一端。

因此，通过点 $A$ 和 $B$ 的大圆弧，在固定为正方向测量时，只有当这两个点之间的距离不超过 $180^{\circ }$ 或更大时，才是球面上最短的距离，这本身在几何上是显而易见的。

我们可以注意到，$F_{1}$ 不能消失的条件在这种情况下显然是不必要的；因为大圆弧的最小值属性独立于坐标系的选取，无论在曲线的某个点上 $F_{1}$（假设）在某个点上消失。

第 143 条.
从第 107 条中的图形可以清楚地看到，当 $A$ 是球面的极点时，通过 $A$ 且满足微分方程 $G=0$（即大圆弧）的曲线族只在另一个极点处再次相交。在下一章中，将会显示出两个极点是共轭点。这与前一条文中给出的内容一起，可以作为大圆弧只能在对立极点处相交的证明。

第 144 条.
问题 IV：提供最小阻力的表面问题。

在这个问题中，让我们写（第 110 条）

$\alpha =-C/2\qquad \beta =-C_{1}$

因此

$x=\alpha [t+2t^{-1}+t^{-3}]=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y=\alpha \left[\ln t+t^{-2}+{\frac {3}{4}}t^{-4}\right]-\beta =\psi (t,\alpha ,\beta )$.

因此

$\phi '(t)=x'\qquad \phi _{1}(t)={\frac {x}{\alpha }}\qquad \phi _{2}(t)=0$

$\psi '(t)=y'\qquad \psi _{1}(t)={\frac {y+\beta }{\alpha }}\qquad \psi _{2}(t)=-1$

$\theta _{1}(t)=y'{\frac {x}{\alpha }}-x'{\frac {y+\beta }{\alpha }}\qquad \theta _{2}(t)=x'$

以及

$\Theta (t,t_{0})={\frac {x'(y_{0}'x_{0}-x_{0}'y_{0})-x_{0}'(y'x-x'y)}{\alpha }}$.

现在曲线在任意点 $x_{0},y_{0}$ 的切线为

$y_{0}'(X-x_{0})-x_{0}'(Y-y_{0}))=0$,

其在 $Y$ 轴上的截距为

$x_{0}'Y_{0}=x_{0}'y_{0}-y_{0}'x_{0}$.

曲线在任意点 $x,y$ 的切线与 $Y$ 轴相交于

$x'Y=x'y-y'x$.

因此，我们有关于与 $x_{0},y_{0}$ 共轭的点的确定方程

$x'x_{0}'Y_{0}=x_{0}x'Y\quad$ 或 $\quad Y_{0}=Y$。

正如第 140 条所述，这为共轭点提供了一种简单的几何构造。