变分法/第十二章

第十二章：存在最大值或最小值的第四个也是最后一个条件，以及证明给定条件的充分性。

• 153 从前一章继续讨论场的概念。
• 154 函数${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$。
• 155 函数${\mathcal {E}}$ 必须对曲线的每个点都具有相同的符号。
• 156 上述条件的充分性。
• 157 函数${\mathcal {E}}$ 的另一种形式。
• 158 另一种形式。
• 159，160 函数${\mathcal {E}}$ 和$F_{1}$ 的符号。
• 161 对第 156 条中给定条件的充分性的另一个证明。
• 162 函数${\mathcal {E}}$ 不能在给定场中的整条曲线上为零。
• 163 共轭点的包络线。
• 164 曲线可以由有限数量的规则轨迹组成。
• 165 轨迹不规则的情况。
• 166 积分学中的推广。
• 167，168，169，170，171，172 应用于前面已经考虑过的四个问题。
• 173 当$F(x,y,x',y')$ 是$x'$ 和$y'$ 的有理函数时，积分既不存在最大值也不存在最小值。
• 174 总体概述。
• 175 扩展和推广：除了在两个变量的域中确定第一类结构外，可能还需要在$n$ 个量的域中确定第一类结构。
• 176 当变量之间存在条件方程时。
• 177 当出现二阶及更高阶导数时。
• 178 变分法应用于更高阶结构的确定。极小曲面。

第 153 条.
在前一章中，我们考虑了具有相同初始点$A$并满足微分方程$G=0$ 的曲线族。它们在初始方向上彼此偏差很小。我们看到，这些曲线再次相交，仅在与$A$ 共轭的点的邻域附近。在与$A$ 共轭的点之前，位于这些曲线上的所有点都形成一个连通的表面部分；也就是说，如果$P_{1}$ 是属于这组点的点，则可以在$P_{1}$ 周围描述一个边界，使得该边界内的所有点也属于这组点。

因为，设

$x=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta )$

是给定曲线方程，满足$G=0$，且该曲线上一点的坐标为

$x_{1}=\phi (t_{1},\alpha ,\beta )\qquad y_{1}=\psi (t_{1},\alpha ,\beta )$

此外，设$x_{1}+\xi ,y_{1}+\eta$ 为另一点的坐标$P_{2}$，该点位于$P_{1},$ 的邻域内，因此 $\xi ,\eta$ 是任意小的量。

然后我们可以在$A$和$P_{2}$之间画一条满足微分方程$G=0$的曲线（第151条），如果我们可以确定四个量$\tau ,\tau ',\alpha ',\beta '$ 作为$\xi ,\eta$ 的幂级数，使得以下方程成立

${\begin{aligned}0&=\phi '(t_{0})\tau '+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+(\tau ',\alpha ',\beta ')_{2}\\0&=\psi '(t_{0})\tau '+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+(\tau ',\alpha ',\beta ')_{2}\\\xi &=\phi '(t_{1})\tau '+\phi _{1}(t_{1})\alpha '+\phi _{2}(t_{1})\beta '+(\tau ,\alpha ',\beta ')_{2}\\\eta &=\psi '(t_{1})\tau '+\psi _{1}(t_{1})\alpha '+\psi _{2}(t_{1})\beta '+(\tau ,\alpha ',\beta ')_{2}\end{aligned}}$

由于这些方程式的行列式（第151条）为 $-\Theta (t_{1},t_{0})$ 且不等于零，点 $t_{1}$ 与 $t_{0}$ 不是共轭的，因此，量 $\tau ,\tau ',\alpha ',\beta '$ 可以展开成关于 $\xi ,\eta$ 的幂级数，这些级数在这些量的较小值时收敛。

因此，可以画出一条通过 $A$ 和 $P_{2}$ 的曲线，该曲线满足微分方程 $G=0$，并且这条曲线将邻近第一条曲线，并且如果 $\xi ,\eta$，因此 $\tau ,\tau ',\alpha ',\beta '$ 也足够小，在方向上尽可能地偏离其初始方向。

如果我们对曲线$AP_{2}$形成行列式，当该行列式等于零时，就是确定与$A$共轭点的方程，可以看出，这个行列式也可以展开成$\xi ,\eta$的幂级数，当$\xi =\eta =0$时，它变为$-\Theta (t_{1},t_{0})$。函数$\Theta (t_{1},t_{0})$当对$\xi ,\eta$赋予足够小的值时，不等于零。因此，在区间$AP_{2}$内，不存在与$A$共轭的点。

因此，我们可以用一个狭窄的表面区域包围原始曲线两个共轭点之间的区间，这个表面区域的性质是，可以从点$A$到其中的任何一点画出一条且仅有一条曲线，这条曲线满足微分方程$G=0$，并且邻近第一条曲线，其初始方向仅略微偏离第一条曲线。

第154条

.
设曲线$P_{0}P_{1}$的一段满足微分方程$G=0$，其性质为，在其上任何一点都不满足$F_{1}=0$或$\infty$，并假设与$P_{0}$共轭的点不位于$P_{1}$之前。在$P_{0}$和$P_{1}$之间取任意一点$P_{2}$，并过$P_{2}$作一条正则曲线。 在这条曲线上，我们选择一个点$P_{3}$，使其非常接近$P_{2}$，以便可以过$P_{0}$和$P_{3}$作一条满足微分方程$G=0$的曲线，并且完全位于上述定义的曲面带内。让我们考虑当积分沿着$P_{0}P_{3}+P_{3}P_{2}$而不是沿着$P_{0}P_{2}$时积分的变化。我们可以用$I$表示沿着满足微分方程的曲线进行的积分，用${\bar {I}}$表示沿着任意曲线进行的积分，并通过添加下标来表示积分的方向。因此，我们必须计算表达式

$\Delta I=I_{03}+{\bar {I}}_{32}-I_{02}$

或者

$\Delta I=\left(\int _{\overline {P_{0}P_{3}}}F{\text{d}}t-\int _{\overline {P_{0}P_{2}}}F{\text{d}}t\right)+\int _{\overline {P_{0}P_{2}}}F{\text{d}}t$

一个表达式（第79条）

$=\epsilon \left(\int _{\overline {P_{0}P_{2}}}Gw{\text{d}}s+\left[\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]^{t_{2}}\right)+(\epsilon ^{2})+\int _{\overline {P_{0}P_{2}}}F{\text{d}}t$

其中$\xi ,\eta$是在从$P_{2}$到$P_{3}$的方向上测量的。

在点$P_{2}$以及沿着曲线$P_{3}P_{2}$的方向$P_{3}P_{2}$，我们有

$\epsilon \xi =-{\bar {x}}_{2}'{\text{d}}{\bar {t}}+({\text{d}}{\bar {t}})^{2}\qquad \epsilon \eta =-{\bar {y}}_{2}'{\text{d}}{\bar {t}}+({\text{d}}{\bar {t}})^{2}$

${\text{d}}{\bar {t}}$ 表示该微分是相对于曲线 $P_{3}P_{2}$ 进行的。

如果我们考虑 $F$ 中的参数表示为沿曲线 $P_{3}P_{2}$ 上 ${\bar {t}}$ 的函数，则可以得出

$\int _{\overline {P_{0}P_{2}}}F{\text{d}}t=F(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}'){\text{d}}{\bar {t}}+({\text{d}}{\bar {t}})^{2}$

因此，在点 $P_{2}$ 处，它是曲线 $P_{0}P_{1}$ 上的任意一点，我们有

$\Delta I=\left(F(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}')-\left[{\bar {x}}_{2}'{\frac {\partial }{\partial x_{2}'}}F(x_{2},y_{2},x_{2}',y_{2}')+{\bar {y}}_{2}'{\frac {\partial }{\partial y_{2}'}}F(x_{2},y_{2},x_{2}',y_{2}')\right]\right){\text{d}}{\bar {t}}+({\text{d}}{\bar {t}})^{2}\qquad$(a)

函数 $F$ 关于其第三和第四个参数是一阶齐次的（第 68 条），因此（参见第 72 条）

$F(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}')={\bar {x}}_{2}'F^{(1)}(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}')+{\bar {y}}_{2}'F^{(2)}(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}')$

我们用 ${\mathcal {E}}(x,y,x',y',{\bar {x}}',{\bar {y}}')$ 表示以下表达式。

$1)\qquad {\mathcal {E}}(x,y,x',y',{\bar {x}}',{\bar {y}}')={\bar {x}}'{\big (}F^{(1)}(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}')-F^{(1)}(x_{2},y_{2},x_{2}',y_{2}'){\big )}+{\bar {y}}'{\big (}F^{(2)}(x_{2},y_{2},{\bar {x}}_{2}',{\bar {y}}_{2}')-F^{(2)}(x_{2},y_{2},x_{2}',y_{2}'){\big )}$

因此，在点 $P2$，可以得出

$\Delta I={\mathcal {E}}(x,y,x',y',{\bar {x}}',{\bar {y}}'){\text{d}}{\bar {t}}+({\text{d}}{\bar {t}})^{2}$

当在函数${\mathcal {E}}$中，我们已经将属于点$P_{2}$的那些值代入了参数。曲线$P_{0}P_{2}$在$P$处的方向余弦用

$p_{2}={\frac {x_{2}'}{\sqrt {x_{2}'^{2}+x_{2}'^{2}}}}\qquad {\text{and}}\qquad q_{2}={\frac {y_{2}'}{\sqrt {x_{2}'^{2}+x_{2}'^{2}}}}$

而曲线$P_{3}P_{2}$在$P_{2}$处的方向余弦用${\bar {p}}_{2}$和${\bar {q}}_{2}$表示。从定义${\mathcal {E}}$的公式的右侧（参见第68条）可以明显看出

${\frac {{\mathcal {E}}(x,y,x',y',{\bar {x}}',{\bar {y}}')}{\sqrt {{\bar {x}}_{2}'^{2}+{\bar {y}}_{2}'^{2}}}}={\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {q}},{\bar {q}})$

第155条.
如果我们进一步用$\sigma$表示弧$P_{3}P_{2}$的微分，那么我们最终得到

$2)\qquad \Delta I={\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}}',{\bar {q}})\sigma +(\sigma )^{2}$

因此，如果我们取$\sigma$ 足够小；也就是说，如果我们选择点$P_{3}$ 非常接近$P_{2}$，那么我们总是可以使积分的变化与函数${\mathcal {E}}$的变化具有相同的符号。

点$P_{2}$ 是曲线$P_{0}P_{1}$ 上的任意一点，而$P_{2}P_{3}$ 也表示任意方向。

由此可见，如果对于任何一点$P_{2}$ 和$P_{2}$ 处的任何方向，函数${\mathcal {E}}$ 均为负，而对于任何其他点和方向均为正，则给定曲线可以以积分变化有时为正，有时为负的方式变化。因此，我们有以下定理：

如果在满足微分方程$G=0$的曲线$P_{0}P_{1}$ 上的积分要取得最大值或最小值，则函数${\mathcal {E}}$ 必须对曲线的每个点以及曲线每个点的任何方向都具有相同的符号，并且对于最大值此符号必须为负，对于最小值必须为正。

第 156 条.
上述条件足以确保最大值或最小值的存在，可以如下证明：令$P_{0}(I)P_{1}$ 为满足已建立的四个条件（并在第 174 条中概括）的曲线，并令$P_{0}(II)P_{1}$ 为位于曲线$P_{0}(I)P_{1}$ 周围场的任何任意曲线。它仅受以下条件的约束：它必须是一条规则曲线，并且完全位于给定场中。

通过改变参数$\alpha$和$\beta$，我们可以构建一个曲线系统，使其彼此无限接近，所有曲线都满足微分方程$G=0$。这些曲线与曲线$P_{0}(II)P_{1}$相交于两点（或可能更多）。它们不与曲线$P_{0}(I)P_{1}$相交，也不在所讨论的域内彼此相交。函数${\mathcal {E}}$必须在这些曲线上的每个点上都具有与它在曲线$P_{0}(I)P_{1}$上相同的符号。因为，取任意一点$P$在这些曲线中的任意一条上。那么在曲线$P_{0}(I)P_{1}$上存在一个点，对于该点，量$x,y,p,q$仅略微不同于属于点$P$的量，因此${\mathcal {E}}$对这两个点具有相同的符号。

现在考虑当我们从$P_{0}(I)P_{1}$ 变到 $P_{0}P_{2}P_{3}P_{1}$，以及从 $P_{0}P_{2}P_{3}P_{1}$ 变到 $P_{0}P_{4}P_{5}P_{1}$ 等积分的变化。正如我们在前一篇文章中所看到的，从 $P_{0}(I)P_{1}$ 变到 $P_{0}P_{2}P_{3}P_{1}$ 引起的变分。

$=\int _{t_{0}}^{t_{2}}F{\text{d}}t+\epsilon \left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{2}}^{t_{3}}+\int _{t_{3}}^{t_{1}}F{\text{d}}t$

$=\int _{t_{0}}^{t_{2}}F{\text{d}}t-\left[{\bar {p}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}+{\bar {q}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]^{t_{2}}\sigma +\int _{t_{3}}^{t_{1}}F{\text{d}}t-\left[{\bar {p}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}+{\bar {q}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]^{t_{3}}\sigma$

${\bar {p}},{\bar {q}}$ 是曲线 $P_{0}(II)P_{1}$ 在点 $P_{2}$ 和 $P_{3}$ 处的切线的方向余弦，我们注意到，在这些点上，它们具有相反的符号。

如果我们用曲线本身表示沿曲线的积分，则可以立即看出这些积分的变化可以用以下公式表示：

$P_{0}P_{2}P_{3}1P_{1}-P_{0}(I)P_{1}=[{\mathcal {E}}]^{t_{0}}\sigma +[{\mathcal {E}}]^{t_{1}}\sigma +(\sigma )^{2}$

其中，第一个是$P_{0}$到$P_{2}$的长度，第二个是$P_{3}$到$P_{1}$的长度。

类似地，沿以下路径积分的差异为：

$P_{0}P_{4}P_{5}1P_{1}-P_{0}P_{2}P_{3}P_{1}=[{\mathcal {E}}]^{t_{2}}\sigma +[{\mathcal {E}}]^{t_{3}}\sigma +(\sigma )^{2}$

$P_{0}P_{6}P_{7}1P_{1}-P_{0}P_{4}P_{5}P_{1}=[{\mathcal {E}}]^{t_{4}}\sigma +[{\mathcal {E}}]^{t_{5}}\sigma +(\sigma )^{2}$

$...................................$

$P_{0}P_{2\nu }P_{2\nu +1}1P_{1}-P_{0}P_{2\nu -2}P_{2\nu -1}P_{1}=[{\mathcal {E}}]^{t_{2\nu -2}}\sigma +[{\mathcal {E}}]^{t_{2\nu -1}}\sigma +(\sigma )^{2}$

$P_{0}(II)P_{1}-P_{0}P_{2\nu }P_{2\nu +1}P_{1}=[{\mathcal {E}}]^{t_{2\nu }}\sigma +[{\mathcal {E}}]^{t_{2\nu +1}}\sigma +(\sigma )^{2}$

将这些结果加在一起，我们得到了沿着以下路径积分的差值：

$P_{0}(II)P_{1}-P_{0}(II)P_{1}=\int _{P_{0}(II)P_{1}}{\mathcal {E}}\sigma +(\sigma )^{2}$

$\sigma$ 是沿着曲线 $P_{0}(I)P_{1}$ 的弧微分。这验证了上一节末尾陈述的定理。

我们还看到，如果我们没有确保没有中间曲线相交，则 $\sigma$ 的符号不会都相同，因此所有这些 $\sigma$ 的总和将不会构成曲线 $P_{)}(II)P_{1}$。

第 157 条.
函数 ${\mathcal {E}}$的另一种形式。

我们在积分学中看到过

$f(p_{1},q_{1})-f(p_{0},q_{0})=\int _{p_{0},q_{0}}^{p_{1},q_{1}}{\text{d}}f(p,q)$

$\qquad =\int _{p_{0},q_{0}}^{p_{1},q_{1}}\left({\frac {\partial f(p,q)}{\partial p}}{\text{d}}p+{\frac {\partial f(p,q)}{\partial q}}{\text{d}}q\right)$

$\qquad =\int _{k=0}^{k=1}{\big (}f^{(1)}[p_{0}+k(p_{1}-p_{0}),q_{0}+k(q_{1}-q_{0})](p_{1}-p_{0})+f^{(2)}[p_{0}+k(p_{1}-p_{0}),q_{0}+k(q_{1}-q_{0})](q_{1}-q_{0}){\big )}{\text{d}}k$

因此，如果我们写成

$p_{k}=p+k({\bar {p}}-p)=(1-k)p+k{\bar {p}}$

$q_{k}=q+k({\bar {q}}-q)=(1-k)q+k{\bar {q}}$

可以看出

$F^{(1)}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-F^{(1)}(x,y,p,q)=\int _{k=0}^{k=1}{\big (}F^{(11)}(x,y,p_{k},q_{k})({\bar {p}}-p)+F^{(12)}(x,y,p_{k},q_{k})({\bar {q}}-q){\big )}{\text{d}}k$

$F^{(2)}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-F^{(2)}(x,y,p,q)=\int _{k=0}^{k=1}{\big (}F^{(21)}(x,y,p_{k},q_{k})({\bar {p}}-p)+F^{(22)}(x,y,p_{k},q_{k})({\bar {q}}-q){\big )}{\text{d}}k$

注意（参见第73条）

$F^{(11)}=q_{k}^{2}F_{1}\qquad F^{(12)}=-p_{k}q_{k}F_{1}\qquad F^{(22)}=p_{k}^{2}F_{1}$

并且进一步地，$F^{(12)}=F^{(21)}$。

通过将这些值代入上述表达式，进而将所得结果代入${\mathcal {E}}$的表达式中，我们得到

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}}{\bar {q}})={\bar {p}}[F^{(1)}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-F^{(1)}(x,y,p,q)]+{\bar {q}}[F^{(2)}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-F^{(2)}(x,y,p,q)]$

$\qquad =\int _{k=0}^{k=1}F_{1}(x,y,p_{k},q_{k}){\big (}[q_{k}({\bar {p}}-p)-p_{k}({\bar {q}}-q)]q_{k}{\bar {p}}+[-q_{k}({\bar {p}}-p)+p_{k}({\bar {q}}-q)]p_{k}{\bar {q}}{\big )}{\text{d}}k$

方括号中的表达式为

$(q_{k}{\bar {p}}-p_{k}{\bar {q}})[q_{k}({\bar {p}}-p)-p_{k}({\bar {q}}-q)]=(1-k)(q{\bar {p}}-p{\bar {q}})^{2}$

因此

$3)\qquad {\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(q{\bar {p}}-p{\bar {q}})^{2}\int _{k=0}^{k=1}F_{1}(x,y,p_{k},q_{k}){\text{d}}k$

以定积分形式表达${\mathcal {E}}$的表达式是有缺陷的，因为它只有当$F_{1}$对于$p_{k}$和$q_{k}$的所有取值都保持有限，且$k$在0到1之间变化时才具有意义。例如，如果$k=1/2$，则$p_{1/2}=p+({\bar {p}}-p)/2=(p+{\bar {p}})/2$，并且如果${\bar {p}}=-p$，则$p_{1/2}=0$；同理，对于$k=1/2$和${\bar {q}}=-q$，则也有$q_{1/2}=0$。这两个参数都为零时，$F_{1}$变为无穷大（参见第73条）。此外，如果两个方向$p,q$和${\bar {p}},{\bar {q}}$重合，则${\mathcal {E}}$变为二阶零。

如果$OP$ 和 $O{\bar {P}}$ 是分量分别为 $p,q$ 和 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 的单位长度向量，则当 $P'$沿着直线 $P{\bar {P}}$ 运动时，$OP'$ 的分量为 $p_{k},q_{k},k$，其中k在0到1之间变化。

第158条.
魏尔斯特拉斯给出了表达式 ${\mathcal {E}}$ 的另一种形式，他通过沿着圆弧而不是沿着直线 $P{\bar {P}}$ 进行积分，避免了上述缺陷。如果我们沿着半径为1的圆弧从点 $P$ 积分到点 ${\bar {P}}$，我们就得到了 ${\mathcal {E}}$ 的一个普遍适用的表达式。

我们像以前一样，如果 $POX=\tau$，${\bar {P}}OX={\bar {\tau }}$，$\omega ={\bar {\tau }}-\tau ({\text{mod }}2\pi )$，并且 $-\pi \leq \omega \leq =\pi$。

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})={\bar {p}}[F^{(1)}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-F^{(1)}(x,y,p,q)]+{\bar {q}}[F^{(2)}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-F^{(2)}(x,y,p,q)]$

$=\cos {\bar {\tau }}[F^{(1)}(x,y,\cos {\bar {\tau }},\sin {\bar {\tau }})-F^{(1)}(x,y,\cos \tau ,\sin \tau )]+\sin {\bar {\tau }}[F^{(2)}(x,y,\cos {\bar {\tau }},\sin {\bar {\tau }})-F^{(2)}(x,y,\cos \tau ,\sin \tau )]$

$=\cos {\bar {\tau }}\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }{\text{d}}_{\lambda }F^{(1)}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]+\sin {\bar {\tau }}\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }{\text{d}}_{\lambda }F^{(2)}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]$

但是，如果$F^{(1)}$表示$F$对其第三个参数的导数，等等，

${\text{d}}_{\lambda }F^{(1)}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]$

$\qquad =[F_{\cos ,\cos }^{(11)}\sin(\tau +\lambda )+F_{\cos ,\sin }^{(12)}\cos(\tau +\lambda )]{\text{d}}\lambda$

$\qquad =[-\sin ^{3}(\tau +\lambda )-\sin(\tau +\lambda )\cos ^{2}(\tau +\lambda )]F_{1}{\text{d}}\lambda$

$\qquad =-\sin(\tau +\lambda )F_{1}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]{\text{d}}\lambda$

类似地，

${\text{d}}_{\lambda }F^{(2)}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]=\cos(\tau +\lambda )F_{1}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]{\text{d}}\lambda$

因此，可以得出

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }[-\cos {\bar {\tau }}\sin(\tau +\lambda )+\sin {\bar {\tau }}\cos(\tau +\lambda )]F_{1}{\text{d}}\lambda$

$\qquad =\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }\sin({\bar {\tau }}-\tau -\lambda )F_{1}{\text{d}}\lambda =\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }\sin(\omega -\lambda )F_{1}[x,t,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]{\text{d}}\lambda$

如果我们写

$\omega -\lambda =\lambda '$

刚才写的积分是

$\int _{\lambda '=0}^{\lambda '=\omega }\sin \lambda 'F_{1}[x,y,\cos({\bar {\tau }}-\lambda '),\sin({\bar {\tau }}-\lambda ')]{\text{d}}\lambda '=F_{1}[x,y,\cos({\bar {\tau }}-\lambda _{2}'),\sin({\bar {\tau }}-\lambda _{2}')]\int _{\lambda '=0}^{\lambda '=\omega }{\text{d}}~\cos \lambda '$

其中$\lambda _{2}'$ 是 0 和 $\omega$ 之间的中间值。

因此，我们最终得到

$4)\qquad {\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(1-\cos \omega )F_{1}[x,y,cos({\bar {\tau }}-\lambda _{2}'),\sin({\bar {\tau }}\lambda _{2}')]$

如果 $F_{1}[x,y,cos({\bar {\tau }}-\lambda '),\sin({\bar {\tau }}\lambda _{'})]$ 在 0 到 $\omega$ 之间具有恒定的符号，则 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 也具有此符号，因为 $\lambda _{2}'$ 是此区间内 $\lambda '$ 的值之一。

上述公式对于介于 $-\pi$ 和 $+\pi$ 之间的所有 $\omega$ 值都成立，并且由于 $\cos({\bar {\tau }}-\lambda _{2}')$ 和 $\sin({\bar {\tau }}-\lambda _{2}')$ 不会同时为零，因此可以看出

$F_{1}[x,y,\cos({\bar {\tau }}-\lambda _{2}'),\sin({\bar {\tau }}-\lambda _{2}')]\neq \infty$

因此，${\mathcal {E}}$ 的表达式 4 并不存在与前一篇文章中给出的表达式相同的缺陷。

第 159 条

.
对于曲线$\omega \neq 0$的任何位移，因此$1-\cos \omega$是一个正量。因此${\mathcal {E}}$与$F_{1}$具有相同的符号。如果经检验发现$F_{1}[x,y,\cos({\bar {\tau }}-\lambda ),\sin({\bar {\tau }}-\lambda )]$与$\cos({\bar {\tau }}-\lambda )$、$\sin({\bar {\tau }}-\lambda )$无关，在所讨论的区间内曲线的每个点上始终具有相同的符号，那么我们就可以确信积分存在最大值或最小值，而无需推导和检查函数${\mathcal {E}}$。但是，通过这个过程，我们已经在没有使用二次变分的情况下证明了函数$F_{1}(x,y,p,q)$在曲线上任何点上以及在该点曲线的切线的任何方向上都不会改变其符号。

第 160 条.
显然，如果将$F_{1}$视为其第三和第四个自变量的函数，具有确定的符号，则${\mathcal {E}}$也具有相同的符号；但是，如果${\mathcal {E}}$保持确定的符号，$p$和$q$固定，而${\bar {p}}$和${\bar {q}}$发生变化，则$F_{1}$始终具有确定的符号并不一定成立。施瓦茨给出了以下示例来说明这一点。

令

$F(x,y,x',y')=\alpha {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}+beta{\frac {x'y'^{2}}{x'^{2}+y'^{2}}}=(\alpha +\beta \cos \tau \sin ^{2}\tau ){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

由此可得

$F_{1}(x,y,x',y')={\frac {\alpha }{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}+2\beta {\frac {x'(x'^{2}-3y'^{2})}{(x'^{2}+y'^{2})^{3}}}=(\alpha +2\beta \cos 3\tau ){\frac {1}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}$

并且，由于 $x'^{2}+y'^{2}=\cos ^{2}\lambda +\sin ^{2}\lambda =1$,

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }\sin(\omega -\lambda )F_{1}[x,y,\cos(\tau +\lambda ),\sin(\tau +\lambda )]{\text{d}}\lambda$

$\qquad =\int _{\lambda =0}^{\lambda =\omega }\sin(\omega -\lambda )(\alpha +2\beta \cos 3\lambda ){\text{d}}\lambda$

这里我们写成 $\tau +\lambda =\lambda$ 或 $\tau =0$；也就是说，我们取 $X$-轴作为初始方向，由此测量 $\omega$。

注意到

$\sin(\omega +2\lambda )+\sin(\omega -4\lambda )=2\sin(\omega -\lambda )\cos 3\lambda$

可以看出

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(1-\cos \omega )[\alpha +\beta (\cos \omega +\cos ^{2}\omega )]$

$\cos \omega +\cos ^{2}\omega$ 的最大值和最小值分别为 2 和 $-1/4$，对应的 $\omega$ 值分别为 0 和 $2\pi /3$。因此，如果我们令 $\alpha =l$ 且 $/beta=1$，则函数 ${\mathcal {E}}$ 的值介于

${\frac {3}{4}}(1-\cos \omega )~{\text{and}}~3(1-\cos \omega )$

之间，因此它仅当 $\omega =0$ 时才可能为零，并且永不为负。另一方面，$1+2\cos 3\tau$ 会反复改变符号，例如，当 $\tau =40^{\circ }$ 时。

第 161 条.
第 155 条末尾给出的证明对于确定是否存在真正的最大值或最小值至关重要。第 156 条说明的该定理充分性的证明，由施瓦茨教授以稍微不同的形式给出。由于其重要性，我们补充另一个证明，摘自魏尔斯特拉斯的讲义。

设$OO_{1}1$ 为满足微分方程$G=0$ 的曲线，并设$0_{1}31$ 为场中任意曲线，如第 156 条所定义。设 3 为任意曲线上的任意一点，我们将其坐标视为弧长$s$（而不是像以前一样用$t$）的函数。点$O_{1}$ 取在 0 和 1 之间，以便曲线$0_{1}31$ 可以完全位于场内，因为场可能在 0 处终止于一点。从点 0 我们画一条满足微分方程$G=0$ 的曲线到 3。我们将积分和$I_{03}+{\bar {I}}_{31}$ 视为$s$ 的函数。我们将此函数记为$\int (s)$。此外，在任意曲线上取一点 2，位于点 3 的邻域且在其之前。用一条满足微分方程$G=0$ 的曲线连接点 0 和 2。那么，如果我们将$s$ 的增量记为$\sigma$，可以看出

$5)\qquad \int (s-\sigma )-\int (s)=I_{02}+{\bar {I}}_{21}-I_{03}-{\bar {I}}_{31}=I_{02}-I_{03}+{\bar {I}}_{23}={\mathcal {E}}(x_{3},y_{3},p_{3},q_{3},{\bar {p}}_{3},{\bar {q}}_{3})\sigma +(\sigma )^{2}$

以同样的方式，在任意曲线上取一点 4，紧接在点 3 之后，并用一条满足微分方程$G=0$ 的曲线连接此点与点 0。那么我们有

$6)\qquad \int (s-\sigma )-\int (s)=I_{04}-I_{03}-{\bar {I}}_{34}=-{\mathcal {E}}(x_{3},y_{3},p_{3},q_{3},{\bar {p}}_{3},{\bar {q}}_{3})\sigma +(\sigma )^{2}$

因此可以得出

$7)\qquad \lim _{\sigma =0}{\frac {\int (s-\sigma )-\int (s)}{-\sigma }}=\lim _{\sigma =0}{\frac {\int (s+\sigma )-\int (s)}{\sigma }}=-{\mathcal {E}}(x_{3},y_{3},p_{3},q_{3},{\bar {p}}_{3},{\bar {q}}_{3})$

也就是说，量$-{\mathcal {E}}(x_{3},y_{3},p_{3},q_{3},{\bar {p}}_{3},{\bar {q}}_{3})$是函数$\int (s)$在点3处的微商。

如果，那么沿着曲线$O_{1}31$，函数${\mathcal {E}}$处处不为正，则当点3从$O_{1}$向点1滑动时，函数$\int (s)$连续减小。

现在，设取在点0附近的很靠近0的点$O_{1}$与该点重合；那么我们可以说

如果函数${\mathcal {E}}$在任意曲线上都不为正，且在任意曲线031的每一点都不为零，则沿原曲线积分总是大于沿曲线031的积分；如果函数${\mathcal {E}}$不为负，且在曲线031的每一点都不为零，则沿原曲线01的积分总是小于沿任意曲线031的积分。

第162条.
现在我们还要看看函数${\mathcal {E}}$是否可能沿整个曲线031都等于零。从公式3)可以看出，只有当沿整个曲线满足以下条件时，才有可能：

$(p{\bar {q}}-q{\bar {p}})^{2}=0{\text{ or }}p{\bar {q}}-q{\bar {p}}=0$

在这种情况下，每条满足微分方程$G=0$的曲线03，在点3处与曲线031具有共同的切线。

我们将证明，由与点0共轭的点组成的曲线$MN$具有此性质，并且在由$MN$包围的区域内，无法从0画出具有此性质的任何其他曲线。换句话说，${\mathcal {E}}$沿曲线$MN$等于零，但对于在$MN$所包围的区域内能够画出的任何其他曲线的全部点，都不等于零。

所有满足微分方程$G=0$，且通过同一点，其初始方向彼此之间相差很小的曲线，可以用（第148条）以下形式表示：

$x=\phi (t,k)\qquad y=\psi (t,k)$

其中$k$的值在一定的范围内。

每条曲线对应一个不同的$k$值。因此，如果我们固定一个$k$的值，并取第二个值$k+k'$，则对应于该值的曲线可以用以下方程表示。

$x+\xi =\phi (t+\tau ',k+k')\qquad y+\eta =\psi (t+\tau ',k+k')$

其中，相同的$t$值对应于两条曲线的初始方向。

如果后一条曲线与前一条曲线相交，则必须有

$0=\phi '(t)\tau '+{\frac {\partial \phi }{\partial k}}k'+(\tau ',k')_{2}\qquad 0=\psi '(t)\tau '+{\frac {\partial \psi }{\partial k}}k'+(\tau ',k')_{2}$

刚刚写出的方程中线性项的行列式，当等于零时，给出了确定与初始点共轭点的方程，即

$\phi '(t){\frac {\partial \psi }{\partial k}}-\psi '(t){\frac {\partial \phi }{\partial k}}=0$ \qquad (A)

该方程中大于$t$的值$t_{0}$的最小根，给出了属于共轭点的$t$值。如果这个值是$t_{1}$，则该点的坐标为

${\bar {x}}=\phi (t_{1},k)\qquad {\bar {y}}=\psi (t_{1},k)$

如果我们将$t_{1}$视为$k$的函数，该函数由方程(A)定义，并且如果我们给$k$一系列的值，则刚刚写出的这两个方程表示由与0共轭的点构成的曲线。

此曲线的切线的方向余弦与下列量成比例 ${\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial k}},{\frac {\partial {\bar {y}}}{\partial k}}$。但是我们也有

${\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial k}}={\frac {\partial \phi (t_{1},k)}{\partial t_{1}}}{\frac {{\text{d}}t_{1}}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial \phi (t_{1},k)}{\partial k}}\qquad {\frac {\partial {\bar {y}}}{\partial k}}={\frac {\partial \psi (t_{1},k)}{\partial t_{1}}}{\frac {{\text{d}}t_{1}}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial \psi (t_{1},k)}{\partial k}}$

将第一个方程乘以 ${\frac {\partial \psi (t_{1},k)}{\partial t_{1}}}=\psi '(t_{1})$，然后从中减去第二个方程，在减之前将第二个方程乘以 ${\frac {\partial \phi (t_{1},k)}{\partial t_{1}}}=\phi '(t_{1})$。然后，借助 (A)，我们有

$\phi '(t_{1}){\frac {{\text{d}}{\bar {y}}}{{\text{d}}k}}-\psi '(t_{1}){\frac {{\text{d}}{\bar {x}}}{{\text{d}}k}}=0$

由于 $\phi '(t_{1}),\psi '(t_{1})$ 与通过点 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 的曲线上一点 $t_{1}$ 的切线的方向余弦成比例，且满足微分方程 $G=0$，因此，根据上述方程，两条曲线在点 $t_{1}$ 处的切线重合。 *因此，共轭点的轨迹是通过 0 且满足微分方程 $G=0$ 的曲线的包络。*

第 163 条

.
设${\bar {x}}=f(u)$ 和 ${\bar {y}}=g(u)$ 为任意曲线 031，该曲线通过点 0，且完全位于包络线所包围的区域内。此外，假设 031 在其整个范围内不与任何通过 0 并满足微分方程 $G=0$ 的曲线重合。然而，假设 031 被通过 0 并满足微分方程 $G=0$ 的曲线所接触。在接触点，我们必须有

$\phi (t,k)=f(u)\qquad \psi (t,k)=g(u)$

以及

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}u}}-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}{\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}u}}=0$ \qquad (B)

属于接触点的 $t$ 和 $u$ 的值通过前两个方程确定为 $k$ 的函数。

这些方程对于 $k$ 的足够小的值成立，可以对 $k$ 求导，因此我们有

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {{\text{d}}t}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial \phi }{\partial k}}={\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}k}}\qquad {\frac {\partial \psi }{\partial t}}{\frac {{\text{d}}t}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial \psi }{\partial k}}={\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}k}}$

如果我们将第一个方程乘以 ${\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}u}}$，第二个方程乘以 $-{\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}u}}$，然后相加，利用 (B)，我们得到

${\frac {\partial \phi }{\partial k}}{\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}u}}-{\frac {\partial \psi }{\partial k}}{\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}u}}=0$

如果在这个方程和方程(B)之间消去 ${\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}u}}$ 和 ${\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}u}}$，我们得到

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial \psi }{\partial k}}-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}{\frac {\partial \phi }{\partial k}}=0$

一个方程，它用于确定与初始点共轭的点。因此，通过0并满足微分方程 $G=0$ 的曲线的接触点，必须是与0共轭的点。

但这只有在曲线 ${\bar {x}}=f(u),{\bar {y}}=g(u)$ 与包络线重合时才有可能；而根据我们的假设，曲线031应该完全位于包络线所包围的区域内。由此可见，在该区域内不可能存在这样的曲线031，使得满足微分方程 $G=0$ 并连接点0与031上一点的每条曲线都同时与031相切。

因此，量 $q{\bar {p}}-p{\bar {q}}$ 只有当0和1之间的任意曲线在其整个范围内始终与通过0并满足微分方程 $G=0$ 的曲线之一重合时，才能处处为零。但由于在我们定义的范围内，在包围场的表面带内，只能画出一条通过0和1并满足微分方程 $G=0$ 的曲线，因此，任意曲线031只能与原始曲线01重合，然后它就不是该曲线的变分。因此，可以得出结论：函数 ${\mathcal {E}}$ 不能对所有经过变分的曲线点都为零。

第164条.
曲线031不必在其整个范围内都是一条规则曲线的单一轨迹。如果我们假设031由任意数量的规则曲线段组成，则积分可以看作是各个曲线段上的积分之和，并且上述结论也适用。

可能会出现曲线的一部分在其整个范围内与通过0点并满足微分方程$G=O$的其中一条曲线的某一部分重合。如果这种情况发生在23上，例如，使得${\mathcal {E}}$沿着23为零，那么我们可以用曲线$2'3$的任意一部分来替换这部分曲线，该曲线非常靠近23。然后，上面证明的定理对于曲线$02'31$成立，即

$I_{03}{\overset {>}{<}}I_{02'}+{\bar {I}}_{2'3}$

根据函数${\mathcal {E}}$在曲线$02'31$上是否处处非正或处处非负而定。现在，如果我们将曲线$2'3$尽可能靠近曲线23，则差$I_{03}-I_{02'}-{\bar {I}}_{2'3}$的绝对值可以小于任意小的量$\delta$；并且，根据上面证明的内容，在第一种情况下，差$I_{03}-I_{02'}-{\bar {I}}_{2'3}$肯定不负，而在第二种情况下它不正。

如果我们将点3沿着任意曲线进一步推向1，那么当3到达4的邻域时，再次得出$I_{04}-I_{03}-{\bar {I}}_{34}$大于或小于零，并且，如上所述，我们看到积分$I_{01}$（在满足微分方程$G=0$的曲线上扩展）大于或小于在任意曲线0231上取的积分，根据函数${\mathcal {E}}$是否处处非负或处处非正而定。

第165条.
此外，为了得出我们的结论，不需要使经过变分的曲线的部分是规则的，只要坐标可以表示为某个量的函数，并且这些函数具有导数即可。最后，如果我们认为所做的变分是完全任意的，以至于只给出了点的位 置，而不知道它们的坐标是否具有导数，那么确实在这条曲线上取的积分不再有任何意义。但是，积分的含义可以扩展，使其即使在这种情况下也具有意义。因为如果我们首先假设经过变分的曲线的坐标可以通过具有导数的函数来表示，那么在曲线上取的积分是

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}F[f(t),g(t),f'(t),g'(t)]{\text{d}}t$

该积分被分解成多个积分的和（对应于区间 $t_{0}\ldots \tau _{1},\tau _{1}\ldots \tau _{2},\ldots ,\tau _{n}\ldots t_{1}$），等于

$\int _{t_{0}}^{\tau _{1}}F{\text{d}}t+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}F{\text{d}}t+\cdots +\int _{\tau _{n}}^{t_{1}}F{\text{d}}t$ \qquad (C)

我们假设点 $x_{0},y_{0};x_{1},y_{1};\ldots x_{n},y_{n};x_{n+1},y_{n+1}$分别对应于值 $t_{0}m\tau _{1},\ldots \tau _{n},t_{1}$。

然后我们有

$x_{1}-x_{0}=f'(t_{0})(\tau _{1}-t_{0})+(\tau _{1}-t_{0})[\tau _{1}-t_{0}]$

$..........................................$

$x_{n+1}-x_{n}=f'(\tau _{n})(t_{1}-\tau _{n})+(t_{1}-\tau _{n})[t_{1}-\tau _{n}]$

$y_{1}-y_{0}=g'(t_{0})(\tau _{1}-t_{0})+(\tau _{1}-t_{0})[\tau _{1}-t_{0}]$

$..........................................$

$y_{n+1}-y_{n}=g'(\tau _{n})(t_{1}-\tau _{n})+(t_{1}-\tau _{n})[t_{1}-\tau _{n}]$

其中$[\tau _{v}-\tau _{v-1}]$表示一个量，它与$\tau _{v}-\tau _{v-1}$同时变为无限小。

对于表达式（C）中的第一个积分，我们写成

$x=x_{0}+x_{0}'(t-t_{0})+(t-t_{0})[t-t_{0}]$

$y=y_{0}+y_{0}'(t-t_{0})+(t-t_{0})[t-t_{0}]$

$x'=x_{0}'+x_{0}''(t-t_{0})+(t-t_{0})[t-t_{0}]$

$y'=y_{0}'+y_{0}''(t-t_{0})+(t-t_{0})[t-t_{0}]$

对于第二个积分，我们写成

$x=x_{1}+x_{1}'(t-\tau _{1})+(t-\tau _{1})[t-\tau _{1}]$

$y=y_{1}+y_{1}'(t-\tau _{1})+(t-\tau _{1})[t-\tau _{1}]$

其他积分也类似。

我们将这些表达式写到积分和（C）中，并展开成幂级数，通过积分得到

$(\tau _{1}-t_{0})F(x_{0},y_{0},x_{0}',y_{0}')+(\tau _{2}-\tau _{1})F(x_{1},y_{1},x_{1}',y_{1}')+\cdots +(t_{1}-\tau _{n})F(x_{n},y_{n},x_{n}',y_{n}')\ldots$

加上相同数量的项，这些项相对于量$\tau _{v}-\tau _{v-1}$而言，变为无限小的二阶量。

因此，我们可以将积分写成以下形式

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{v=1}^{n+1}F(x_{v-1},y_{v-1},x_{v-1}',y_{v-1}')\right)$

其中，我们必须理解$\tau _{0}$ 表示值为 $t_{0}$，而 $t_{n+1}$ 表示值为 $t_{1}$。

由于 $\tau _{v}-\tau _{v-1}$ 是正数，并且函数 $F$ 关于 $x_{1}',y_{1}'\ldots$ 是齐次的一阶函数，我们可以将上述极限写成如下形式：

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{v=1}^{n+1}F(x_{v-1},y_{v-1},(\tau _{v}-\tau _{v-1})x_{v-1}',(\tau _{v}-\tau _{v-1})y_{v-1}')\right)$

或者，由于

$x_{v}-x_{v-1}=(\tau _{v}-\tau _{v-1})x_{v-1}'+(\tau _{v}-\tau _{v-1})[\tau _{v}-\tau _{v-1}]$

上述表达式为

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\big (}F(x_{0},y_{0},x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0})+\cdots +F(x_{n},y_{n},x_{n+1}-x_{n},y_{n+1}-y_{n}){\big )}$

第 166 条

.
上述形式的积分比迄今为止使用的积分具有更一般的意义，但它在后者有意义的任何特定情况下都与后者重合。关于任意变分，我们可以假设一系列点$x_{0},y_{0};x_{1},y_{1};\ldots x_{n},y_{n};x_{n+1},y_{n+1}$，其性质是任意两个相邻点之间的距离不超过某个量$\delta$。

然后我们形成和

$F(x_{0},y_{0},x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0})+\cdots +F(x_{n},y_{n},x_{n+1}-x_{n},y_{n+1}-y_{n})$

如果我们使$\delta$越来越小，通过增加点的数量，可能会发生这种情况，即这个和接近一个确定的极限。我们称此极限为沿曲线取的积分的值。也可能发生极限不接近一个确定的值；例如，它可能在两个值之间摆动。然后我们说沿此曲线取的积分没有意义。

如果我们想到在曲线上取的一系列点，依次用折线连接起来，那么沿着这条折线取的积分将接近与沿着曲线取的积分相同的极限，如果积分有意义。

因此，如果给定一条曲线01，它满足迄今为止为最大值或最小值所做的所有条件，并且如果这条曲线以任意方式变化，那么如果沿着已进行变分的曲线的积分如上所定义具有意义，那么我们可能会画一条折线，沿着它取的积分与沿着已导致变化的曲线的积分的偏差可以任意小，并且第161条的定理适用于该曲线。因此，我们可以说， *在最大值的情况下，沿着已进行变分的曲线的积分不能大于沿着原始曲线的积分，而在最小值的情况下，它不能小于沿着原始曲线的积分。*

由于我们可以在所有变分都存在的区域内使其尽可能窄，因此我们可以假设在已进行变分的曲线上存在一个点3，它非常靠近01（但不在其上），使得可以在点0和3之间以及3和1之间画出两条曲线03、31，它们也满足问题的全部条件。

为了简洁起见，让我们假设我们必须处理最大值。那么，正如我们刚才看到的，沿着03和31的积分绝不小于沿着已进行变分的曲线的相应部分的积分；但是，根据前面的定理，沿着01取的积分大于沿着03和31取的积分之和，因此也大于沿着已进行变分的曲线的积分。因此，实际上存在最大值。

第167条.
我们现在可以研究函数${\mathcal {E}}$在最后在第140-144条中考虑的四个问题的情况下的行为。

旋转曲面面积最小的曲线问题。

我们看到，在没有一对共轭点存在的范围内，悬链线是当绕半平面轴旋转时描述最小面积曲面的曲线。从点$P_{0}$开始，我们可以朝任何方向画一条满足微分方程$G=0$（悬链线）的曲线；函数$F_{1}$对于这些曲线中的每一條都是正的，只要我们将自己限制在$y$为正的半平面中。因此，实际上将进入一个真正的最小值。因为如果$p,q$是悬链线上任意一点的切线的方向余弦，${\bar {p}},{\bar {q}}$是通过同一点的任意曲线的切线的方向余弦，那么，由于关系

$F^{(1)}(x,y,x',y')={\frac {yx'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\qquad F^{(2)}(x,y,x',y')={\frac {yy'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

由此可得

$F^{(1)}(x,y,x',y')=yp\qquad F^{(2)}(x,y,x',y')=yq$

因为

$p^{2}+q^{2}=1$

因此

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=y{\big (}({\bar {p}}-p){\bar {p}}+{\bar {q}}-q){\bar {q}}{\big )}=y{\big (}1-(p{\bar {p}}+q{\bar {q}}){\big )}$

表达式$p{\bar {p}}+q{\bar {q}}$ 是两条切线之间夹角的余弦。因此，我们看到函数${\mathcal {E}}$对于我们考虑的任何点都不是负数，并且对于任何两个方向$p,q$ 和 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 都是如此。

因此，如果曲线上的任何一点都没有$y=0$，则我们之前的结论适用，并且积分的最小值实际上已经找到。

第 168 条.
最速降线。我们看到这条曲线是摆线

$x=g+r(1-\sin t)\qquad y+a=r(1-\cos t)$

我们假设运动点开始的点$A$是坐标原点，并且该点具有与量${\sqrt {a}}$成正比的初速度；$Y$轴是重力方向。我们已经看到，摆线可以通过一个在直线$y=-a$上滚动的圆上的一个点来生成。如果$a$不等于零，则可以通过$A$在任意方向上构造摆线的一段弧。如果曲线通过一个奇异点，那么它不会使积分最小化，如第 104 节所示。如果$A$和$B$不是奇异点，则函数$F_{1}$在这条曲线上以及其周围各个方向上的邻域内都具有一个不为零的正值。

在任意两个点之间（参见第 105 节），当量$a$给出时，总是可以且只能画出一段摆线弧，在这两个点之间没有奇异点。因此，如果$a$不等于零，并且因此$A$和$B$不是奇异点，那么（参见第 159 节）由此可知，该曲线实际上使积分具有最小值。假设$A$或$B$是奇异点；那么在这一点上$F_{1}$变为无穷大，这种情况将在下一节中讨论。

第 169 节

.
假设$A$ 是一个奇点，且$a=0$。在$A$ 和 $B$ 之间画一条任意曲线。在这条曲线上，在$A$ 附近取一点$A_{1}$，并过$A_{1}$ 和 $B$ 作一条摆线，该摆线与$X$轴交于$A_{1}'$。质点在重力作用下通过$A_{1}$时的速度，与它如果沿着过$A$ 和 $B$ 作出的摆线上，在$X$轴下方相同距离处具有的速度相同。

可以引入以下符号：

用$I_{01}$ 表示质点沿摆线$A_{1}'B$ 从$A_{1}'$ 跌落到$B$ 的时间。

用$I_{01}'$表示在任意曲线$AB$上，从$A$到$A_{1}$下落的 时间。

用$I$表示在摆线$A_{1}B$上，从$A_{1}$到$B$下落的 时间。

用$I'$表示在任意曲线$A_{1}B$上，从$A_{1}$到$B$下落的 时间。

我们已经证明了

$I'>I$

因此，如果我们写

${\bar {I}}=I_{01}'+I'$

由此可得

${\bar {I}}>I+I_{01}'$

现在，让点$A_{1}$越来越靠近点$A$，使得积分$I$接近极限$I_{01}$，而$I_{01}'$变得无限小。那么我们必须有

${\bar {I}}\geq I_{01}$

可以看出，${\bar {I}}$大于$I_{01}$，如下所示：只要曲线的一部分上$G\neq 0$，我们就可以以这样的方式改变它，使得相应积分的增量可以具有任何符号。因此，如果整个曲线$AA_{1}B$上$G\neq 0$，我们可以用另一条曲线代替它，如果$I''$是属于它的积分的值，

$I''<{\bar {I}}$

但是，我们也有

$I''\geq I_{01}$

由此可得

${\bar {I}}>I_{01}$

另一方面，如果整个曲线$AA_{1}B$上$G=0$，则这条曲线必须由几个摆线弧组成；因为，如果它只有一条，曲线$AA_{1}B$和$AB$将是相同的。这些弧在它们连接处的切线必须不同；因为，由于该点不可能位于$X$轴上，具有相同方向的连续点必须位于相同的摆线弧上。但是，如果存在角，则可以将它们圆滑，以便这两点之间存在更短的路径，因此，如果速度相同，则下落时间将更短。

因此，在$A$和$B$之间，摆线弧也使下落时间最短，在这种情况下$A$是一个奇点；也就是说，当质点从$A$开始，初始速度为零。

先前得出的结论，如果$B$ 是一个奇点，也同样适用；因为物质点是从$B$ 上升到$A$ 还是从$A$ 下降到$B$ 并没有什么区别，如果我们允许物质点以到达$B$时相同的初速度返回。在返回途中，它将以其原始速度到达$A$。在这两种情况下，它在曲线上所有点的速度都相同，但方向相反。两种情况下曲线上的积分值相同；因此，使积分取最小值的曲线在第二种情况下也将使积分最小。

第 170 条.
球面上测地线的求解问题在此没有特别的兴趣。可以发现函数${\mathcal {E}}$ 在位于两个极点之间的大圆弧上保持正号。

第 171 条.
阻力最小的旋转曲面问题。

在这个问题中

$F()x,y,x',y')={\frac {xx'^{3}}{x'^{2}+y'^{2}}}$

并且由于

$p^{2}+q^{2}=1$

由此可得

$F(x,y,p,q)={\frac {xp^{3}}{p^{2}+q^{2}}}=xp^{3}$

${\frac {\partial F}{\partial p}}=x(p^{4}+3p^{2}q^{2})\qquad {\frac {\partial F}{\partial q}}=-2xp^{3}q$

将这些值代入

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=F(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-{\bar {p}}{\frac {\partial F}{\partial p}}-{\bar {q}}{\frac {\partial F}{\partial q}}$

我们有

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=x[{\bar {p}}^{3}-{\bar {p}}p^{2}-2{\bar {p}}p^{2}q^{2}+2{\bar {q}}p^{3}q]$

$\qquad =x[{\bar {p}}({\bar {p}}^{2}-p^{2})+2p^{2}q(p{\bar {q}}-{\bar {p}}q)]$

$\qquad =x[{\bar {p}}({\bar {p}}^{2}(p^{2}+q^{2})+2p^{2}q(p{\bar {q}}-{\bar {p}}q))+2p^{2}q(p{\bar {q}}-{\bar {p}}q)]$

$\qquad =x({\bar {p}}q-p{\bar {q}})[{\bar {p}}({\bar {p}}q+p{\bar {q}})-2p^{2}q]$

$\qquad =x({\bar {p}}q-p{\bar {q}})[{\bar {q}}({\bar {q}}q-p{\bar {q}})(p^{2}+q^{2})+2p{\bar {p}}{\bar {q}}(p^{2}+q^{2})-2p^{2}q({\bar {p}}^{2}+{\bar {q}}^{2})]$

$\qquad =x({\bar {p}}q-p{\bar {q}})[{\bar {p}}({\bar {p}}q-p{\bar {q}})(p^{2}+q^{2})-2p^{2}{\bar {p}}({\bar {p}}q-p{\bar {q}})+2pq{\bar {q}}({\bar {p}}q-p{\bar {q}})]$

$\qquad =x({\bar {p}}q-p{\bar {q}})[{\bar {p}}(p^{2}+q^{2})-2p^{2}{\bar {p}}+2pq{\bar {q}}]$

$\qquad =x({\bar {p}}q-p{\bar {q}})[{\bar {p}}(q^{2}-p^{2})+2pq{\bar {q}}]$

写作

$\cos {\bar {\tau }}={\bar {p}}\qquad \sin {\bar {\tau }}={\bar {q}}\qquad \cos \tau =p\qquad \sin \tau =q$

我们有

${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=-x\sin({\bar {\tau }}-\tau )^{2}\cos({\bar {\tau }}+2\tau )$

因此，${\mathcal {E}}$ 的符号与 $-\cos({\bar {\tau }}+2\tau )$ 的符号相同，并且可以通过适当选择 ${\bar {\tau }}$（一个取决于 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 的角度）使其为正或负。

在曲线的每个 $x\neq 0$ 的点上，函数 ${\mathcal {E}}$ 可以具有不同的符号，因此积分的最大值或最小值不存在。我们在第 109 节中看到，对于弧的所有点，$x$ 必须不等于零。

第 172 节.
勒让德 *（关于在变分法中区分最大值和最小值的方法的回忆录）* 指出，通过采用锯齿线作为生成曲线，阻力可以任意小。

假设弧 $P_{1}P_{2}$ 具有生成最小阻力表面的所需特性，并且假设该曲线的切线在任何地方都不平行于 $X$ 轴。写成 $p={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}y}}$，则可知沿弧 $P_{1}P_{2}$，$p\neq 0$。

然后我们有（第 108 节）

$I_{1,2}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {xx'^{3}}{x'^{2}+y'^{2}}}{\text{d}}t=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {p^{2}x}{1+p^{2}}}{\text{d}}x$

由于 $p$ 在所讨论的弧线上是有限且连续的，因此 ${\frac {p^{2}}{1+p^{2}}}$ 在该弧线上具有相同的特性，因此

$I_{1,2}={\frac {p_{0}^{2}x}{1+p_{0}^{2}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}x~{\text{d}}x={\frac {p_{0}^{2}x}{1+p_{0}^{2}}}{\frac {x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{2}}$

其中，$p_{0}$ 是 $p$ 的平均值，位于曲线上的点 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 之间。

在$P_{1}$和$P_{2}$的纵坐标之间作一条平行于$Y$轴的直线，并在该直线上取一点$P_{3}$，其纵坐标大于点$P_{1}$和$P_{2}$的纵坐标。作直线$P_{1}P_{3}$和$P_{2}P_{3}$，并设$p_{1}$和$p_{2}$分别为这些直线的${\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}y}}$的值。沿折线$P_{1}P_{3}P_{2}$的积分$\int F{\text{d}}t$可以表示为$I_{13}+I_{32}$，其中

$I_{13}=\int _{x_{1}}^{x_{3}}{\frac {p_{1}^{2}x}{1+p_{1}^{2}}}{\text{d}}x={\frac {p_{1}^{2}}{1+p_{1}^{2}}}{\frac {x_{3}^{2}-x_{1}^{2}}{2}}$

以及

$I_{32}=\int _{x_{3}}^{x_{2}}{\frac {p_{2}^{2}x}{1+p_{2}^{2}}}{\text{d}}x={\frac {p_{2}^{2}}{1+p_{2}^{2}}}{\frac {x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}{2}}$

然后我们有

$I_{132}-I_{12}=I_{13}+I_{32}-I_{12}={\frac {p_{1}^{2}(x_{3}^{2}-x_{1}^{2})}{2(1+p_{1}^{2})}}+{\frac {p_{2}^{2}(x_{2}^{2}-x_{3}^{2})}{2(1+p_{2}^{2})}}-{\frac {p_{0}^{2}(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})}{2(1+p_{0}^{2})}}$

该表达式的前面两项可以通过充分减小量$p_{1}$ 和 $p_{2}$ 来任意地减小，这可以通过沿着其纵坐标无限地移除点$P_{3}$ 来实现。因此，它们的和小于第三项，因此，

$I_{132}<I_{12}$

此结果也可以如下推导：

${\frac {I_{13}+I_{32}}{I_{12}}}={\frac {p_{1}^{2}(1+p_{0}^{2})}{p_{0}^{2}(1+p_{1}^{2})}}{\frac {x_{3}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}+{\frac {p_{2}^{2}(1+p_{0}^{2})}{p_{0}^{2}(1+p_{2}^{2})}}{\frac {x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}<{\frac {p_{1}^{2}(1+p_{0}^{2})}{p_{0}^{2}(1+p_{1}^{2})}}+{\frac {p_{2}^{2}(1+p_{0}^{2})}{p_{0}^{2}(1+p_{2}^{2})}}$

因为 $x_{1}<x_{3}<x_{2}$。

因此，更进一步地

${\frac {I_{13}+I_{32}}{I_{12}}}=<(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}){\frac {1+p_{0}^{2}}{p_{0}^{2}}}$

由此可见，比率 ${\frac {I_{13}+I_{32}}{I_{12}}}$ 可以通过适当选择 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 而无限减小。因此，阻力的最小值没有限制。

上述方法并没有取代 ${\mathcal {E}}$判据，该判据表明不存在最小阻力表面。它仅仅表明不存在旋转面，该旋转面给出阻力的绝对最小值——小于任何其他邻近表面的阻力。 ${\mathcal {E}}$判据表明，在有限邻域内，不存在给出小于任何邻近曲线给出的阻力的最小值。

第173条

.
一般情况下，当$F(x,y,x',y')$ 是 $x'$ 和 $y'$ 的有理函数时，则不存在最大值或最小值。因为在这种情况下

${\mathcal {E}}=F(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})-{\bar {p}}{\frac {\partial F}{\partial p}}-{\bar {q}}{\frac {\partial F}{\partial q}}$

也是 ${\bar {p}}$ 和 ${\bar {q}}$ 的有理函数，并且对于这些量是一次齐次的。因此

${\mathcal {E}}(x,y,k{\bar {p}},k{\bar {q}})=k{\mathcal {E}}(x,y,{\bar {x}},{\bar {y}})$

因此

${\mathcal {E}}(x,y,-{\bar {p}},-{\bar {q}})=-{\mathcal {E}}(x,y,{\bar {p}},{\bar {q}})$

因此可以看出，我们只需要反转位移的方向，就可以使函数 ${\mathcal {E}}$ 的符号发生变化。

第 174 条.
我们现在已经完全解决了第一章提出的四个问题，同时也完成了变分法的核心部分之一。在简要陈述已经确立的四个判据之后，我们将开始第二部分，其目的是对问题的理论和实践解决方案进行探讨，这类问题的典型代表是第一章中的问题 V 和 VI。

这些判据可以概括如下（参见第 125 条）：积分

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y'){\text{d}}t$

其中$F$是其四个自变量的单值正则函数，并且关于$x'$和$y'$是一次齐次函数，如果

1) *曲线上的每一点都满足微分方程$G=0$；*

2) $F_{1}$*在整个区间$t_{0}\ldots t_{1}$内始终为正或始终为负；*

3) *在区间$t_{0}\ldots t_{1}$（包括端点）内不存在曲线的共轭点；*

4) *函数${\mathcal {E}}$在整个区间$t_{0}\ldots t_{1}$内始终为正或始终为负；*

在本讨论中，我们排除了以下情况：

1) *曲线的端点是共轭点；*

2) $F_{1}=0$*对于曲线上的某一点成立；*

3) $F_{1}=0$*对于曲线上的某一段成立；*

4) ${\mathcal {E}}=0$*对于曲线上的某一点或某一段成立。

对前三种情况进行一般性处理需要将理论扩展到更高阶的变分。否则，在遇到上述任何一种特殊情况时，必须在每个例子中采用特定的方法。

第175条.
在我们开始考虑*相对极大值和极小值*之前，我们至少可以指出该理论的自然扩展和推广：与其确定*第一类结构**在两个量域中的情况，不如要求确定*第一类结构*在$n$个量域中的情况。*

如果在$n$个量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2}$的域中确定了一个第一类结构，则其中$n-1$个量可以表示为剩余一个量的函数，例如，$x_{1}$。

写作

$u=\int F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},{\frac {{\text{d}}x_{2}}{{\text{d}}x_{1}}},{\frac {{\text{d}}x_{3}}{{\text{d}}x_{1}}},\ldots ,{\frac {{\text{d}}x_{n}}{{\text{d}}x_{1}}}\right){\text{d}}x_{1}$

可以看出，$u$ 与 $n-1$ 个函数相关联，

${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}x_{1}}}=F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},{\frac {{\text{d}}x_{2}}{{\text{d}}x_{1}}},{\frac {{\text{d}}x_{3}}{{\text{d}}x_{1}}},\ldots ,{\frac {{\text{d}}x_{n}}{{\text{d}}x_{1}}}\right)$

$u$ 在结构初始点和终点的值的差由一个定积分表示。

当我们将 $x$ 表示为 $t$ 的函数，例如 $x_{1}=x_{1}(t),x_{2}=x_{2}(t),\ldots ,x_{n}=x_{n}(t)$时，该积分的形式为：

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'){\text{d}}t$

函数 $F$ 必须在其自变量的整个固定域或固定域的一部分内是一个单值、正则函数。

积分$I$的值与变量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$如何表示为$t$的函数无关。因此，根据第68条的类似内容，函数$F$受到进一步的限制：

$kF(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}')=F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},kx_{1}',kx_{2}',\ldots ,kx_{n}')$

其中$k$是一个正常数。

因此，第13条中给出的问题的推广可以表述如下：

需要确定$n$个量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$作为量$t$的函数，使得通过以下方程定义的分析结构

$x_{1}-x_{1}(t),x_{2}=x_{2}(t),\ldots ,x_{n}=x_{n}(t)$

积分的值

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'){\text{d}}t$

达到最大值或最小值；换句话说，如果使上述分析结构发生无限小的变化，则由此产生的积分的变化在最大值的情况下必须始终为负，在最小值的情况下必须始终为正。此外，函数$F$应被视为其自变量的单值正则函数，并且关于$x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'$而言，是一个一阶齐次函数。

第176条.
发现上述问题的处理与第13条中给出的问题完全类似。当变量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$之间存在条件方程时，会产生更大的复杂性。我们在第一章的第三题中遇到过这种类型的例子。

这个问题可以这样表述：在属于曲面

$f(x,y,z)=0$

的所有空间曲线中，确定一条使积分

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}{\text{d}}t$

是最小值。

一般问题可以表述如下：在量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$的定义域中的一类结构中，对于其$m$个方程

$f_{\mu }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0\qquad \mu =1,2,\ldots ,m;~~m<n-1$

存在，需要确定的是使得积分

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'){\text{d}}t$

达到最大值或最小值的那个结构。

这个问题可以通过类似于第10条中关于曲面上最短线的处理方法，简化为上一条中的问题。这$m$个条件方程可以通过将变量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$表示为$n-m$个新变量的函数来满足，方法是在《最大值与最小值理论讲义》等，第一章第15条中给出的。这些新变量彼此独立，因此上述积分可以用一个变量不受外部条件约束的积分来代替；或者我们可以像在最大值与最小值理论中处理变量受辅助条件约束的情况一样进行处理（同上，第54页）。

第177条.
变分法的更一般的问题，就其与一类结构相关的部分而言，可以表述如下

在$n$个量$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$的定义域中的一类结构中，不仅在这些$n$个量本身之间，而且还在其一阶导数之间存在确定条件方程的情况下，需要确定的是使得积分

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'){\text{d}}t$

达到最大值或最小值的那个结构。

很容易证明，$F$是$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$以及这些量的二阶及更高阶导数的函数的看似更一般的情况包含在刚才陈述的问题中。为了简单起见，我们考虑只有两个变量的情况，并写成

$u=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}},{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}},\ldots \right){\text{d}}x$

如果在这个积分中我们将$x$和$y$表示为$t$的函数，则有

${\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}x'\qquad {\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}x'^{2}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}x''$

因此，我们可以将积分$u$改为

$u=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y',x'',y'',\ldots ){\text{d}}t$

我们还有

${\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}-x''=0\qquad {\frac {{\text{d}}y'}{{\text{d}}t}}-y''=0$

因此，我们可以写成

$u=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F\left(x,y,x_{1},y_{1},{\frac {{\text{d}}x_{1}}{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}t}}\right){\text{d}}t$

以及条件方程

${\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=x_{1}\qquad {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=y_{1}$

如果在$F$中只出现一阶和二阶导数，则可以看出$F$取决于需要确定的四个函数$x,y,x_{1},y_{1}$，同时必须满足刚才写出的两个条件方程。属于刚刚陈述的广义问题的一类问题是第17节中提出的问题，将在后续章节中进行讨论。

第178节.
最后可以提到，如果我们要求确定更高类型的结构，则变分法的这个问题可以进一步推广。例如，在最简单的情况下，三个量$x,y,z$可以被确定为两个独立变量$u$和$v$的函数。然后，我们不是只有一个积分，而是有二重积分

$\int \int F\left(x,y,z,{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}},{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}\right){\text{d}}u{\text{d}}v$

它必须是最大值或最小值。

对这个问题的研究将给出极小曲面理论。