变分法/第十三章

第十三章：问题的陈述。必要条件的推导。

• 179 问题的陈述。
• 180 存在一种替换方法，使得一个积分保持不变，而另一个积分发生变化。一个特殊情况。
• 181 两个变量的情况。出现的级数的收敛性。
• 182 引入的替换方法的本质。
• 183 形成一些只依赖于曲线性质的商。
• 184 泛化，其中多个积分需要保持固定值。
• 185 两个定积分的商用 $\lambda$ 表示，它表明 $\lambda$ 对整条曲线具有相同的常数值。
• 186 微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$.
• 187 第 97 条定理的推广。
• 188 不连续性等。
• 189 二阶变分：第 135 条中提出的三个条件在这里也是必要的。

第 179 条.
在变分法中出现的许多问题的性质，呈现出限制了我们在分析结构的无限小变化中所使用的任意性的辅助条件。这类问题是其中最困难，同时也是最有趣的问题。这些最后进入最大值或最小值要求的条件，一般来说具有双重性质。一方面，可以提出在变量之间存在条件方程，如第 176 条和第 177 条所述。另一方面，我们可以要求所讨论的最大值或最小值满足进一步的条件，即它必须使另一个给定积分具有规定的值。此类情况通常被称为 *相对极值*。

如果我们将讨论限制在两个变量的区域，那么我们要考虑的问题可以表述如下（参见第 17 条）：

设 $F^{(0)}(x,y,x',y')$ 和 $F^{(1)}(x,y,x',y')$ 是与函数 $F(x,y,x',y')$ 同样的性质，迄今为止已经讨论过了。变量 $x$ 和 $y$ 应该被确定为 $t$ 的单值函数，使得通过方程 $x=x(t),y=y(t)$ 定义的曲线将积分

$1)\qquad I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

达到最大值或最小值，同时对于相同的方程，积分

$2)\qquad I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

将具有规定值；也就是说，对于曲线的每一个无限小的变化，其中第二个积分保持其符号不变，第一个积分，根据最大值或最小值要进入，必须连续小于或连续大于它对于曲线$x=x(t),y=y(t)$.

第 180 条.
我们必须首先证明，可以解析地表示曲线的变化，对于这些变化，积分$I^{(1)}$ 保持恒定值。

在变量$x,y$ 的位置，让我们进行替换$x+{\bar {\xi }},y+{\bar {\eta }}$。因此，第二个积分的变化为

$3)\qquad \Delta I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}{\bar {w}}{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}({\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}')_{2}{\text{d}}t$

其中$({\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}')_{2}$ 表示括号内的项是关于${\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}'$ 的二阶和更高阶。

我们必须这样确定${\bar {\xi }}$ 和 ${\bar {\eta }}$；即$\Delta I^{(1)}=0$。为此，我们写

$4)\qquad {\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}+\epsilon _{2}\xi _{2}+cdots\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}+\epsilon _{2}\eta _{2}$

其中 $\epsilon ,\epsilon _{1},\ldots$ 是任意常数，函数 $\xi ,\xi _{1},\ldots ,\eta ,\eta _{1},\ldots$ 是类似于前面各章中量 ${\displaystyle }$ 的函数，并且在 $t=t_{0}$ 和 $t=t_{1}$ 时为零。现在写

$w_{i}=y'\xi _{i}-x'\eta _{i}$

和

${\bar {w}}=y'{\bar {\xi }}-x'{\bar {\eta }}=\epsilon w+\epsilon _{1}w_{1}+\epsilon _{2}w_{2}+\cdots$

因此，从 3) 我们有

$\Delta I^{(1)}=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots )_{2}$

如果我们写

$5)\qquad W_{i}^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{i}{\text{d}}t$

则可以得到

$\Delta I^{(1)}=\epsilon W^{(1)}+\epsilon _{1}W_{1}^{(1)}+\epsilon _{2}W_{2}^{(1)}+\cdots +(\epsilon ,\epsilon _{1},\epsilon _{2},\ldots )_{2}$

函数 $W_{i}^{(i)}$ 一旦对 $\xi ,\xi _{1},\ldots$ 给出确定值后，就被完全确定了；为了让 $\Delta I^{(1)}=0$，有必要满足以下条件。

$(A)\qquad \epsilon W^{(1)}+\epsilon _{1}W_{1}^{(1)}+\epsilon _{2}W_{2}^{(1)}+\cdots +(\epsilon ,\epsilon _{1},\epsilon _{2},\ldots )_{2}=0$

如果其中任何一个量 $W_{i}^{(1)}$，例如 $W_{\lambda }^{(1)}$，不等于零，我们能够用剩余的 $\epsilon$ 的幂级数来表示 $\epsilon _{\lambda }$，当这些量被选择得足够小时。 因此，方程 $\Delta I^{(1)}=0$ 对于足够小的 $\epsilon$ 值的系统可以得到满足。

将这些值系统中的一个代入 4) 中，可以看出，曲线 $x=x(t),y=y(t)$ 存在无限小的变动，使得积分 $I^{(1)}$ 保持不变。这些变动可以用解析式表示（见下一节）。

当所有量 $W^{(1)},W_{1}^{(1)},\ldots$ 对所有 $\xi _{i},\eta _{i}$ 值为零时，此证明存在缺陷，然而 $\xi _{i},\eta _{i}$ 可能已经被选择。在这种情况下，$G^{(1)}$ 必须沿着整个曲线为零。但这正是积分 $I^{(1)}$ 具有最大值或最小值的必要条件之一。

因此，如果通过求解微分方程 $G^{(0)}=0$ 获得的曲线也包含积分 $I^{(1)}$ 的最大值或最小值，从而导致 $G^{(1)}=0$，一般来说，不可能使曲线发生变化，使第二个积分保持不变。

这种情况从本次讨论中排除，并留待在每个具体问题中进行特殊研究。

第 181 条.
让我们目前仅限于最简单的情况，其中

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

如果我们将 $\Delta I^{(1)}$ 展开中与系数 $e^{i}e_{1}^{j}$ 相关的积分记为 $W_{ij}^{(1)}$，则对应于上一篇文章中的 (A) 的方程为

$(A^{a})\qquad 0=W_{10}^{(1)}+\epsilon _{1}W_{01}^{(1)}+\epsilon ^{2}W_{20}^{(1)}+\epsilon \epsilon _{1}W_{11}^{(1)}+\epsilon _{1}^{2}W_{02}^{(1)}+\cdots$

对于足够小的 $\epsilon$ 和 $\epsilon _{1}$，我们假定哪个级数收敛。

接下来，我们用级数表示 $\epsilon _{1}$ 作为 $\epsilon$ 的函数:

$\epsilon _{1}=h_{1}\epsilon +h_{2}\epsilon ^{2}+h_{3}\epsilon ^{3}+\cdots$

然后，当我们将此 $\epsilon _{1}$ 的值代入 $A^{a}$ 后，通过将 $\epsilon$ 的不同幂次的系数设为零，我们得到

$W_{10}^{(1)}+h_{1}W_{01}^{(1)}=0$

$W_{20}^{(1)}+h_{1}W_{11}^{(1)}+h_{1}^{2}W_{02}^{(1)}+h_{2}W_{01}^{(1)}=0$

.....................................

因此，将商 $-{\frac {W_{ij}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}$ 记为 $V_{ij}$，其中 $W_{01}^{(1)}\neq 0$，我们有

$h_{1}=V_{10}$

$h_{2}=V_{20}+h_{1}V_{11}+h_{1}^{2}V_{02}$

.............................

此外，等式 $(A^{a})$ 可以写成

$(A^{b})\qquad \epsilon _{1}=\epsilon V_{10}+\epsilon ^{2}V_{20}+\epsilon \epsilon _{1}V_{11}+\epsilon _{1}^{2}V_{02}+\cdots$

让我们将这个级数与级数

$(C)\qquad \epsilon _{1}={\frac {g}{1-\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)}}-g-g{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}$

$\qquad =g\left[{\frac {\epsilon }{r}}+\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)^{3}+\cdots \right]$

假设从这个级数中，我们得到了用 $\epsilon$ 表示的 $\epsilon _{1}$，形式为

$(B^{b})\qquad \epsilon _{1}=h_{1}'\epsilon +h_{2}'\epsilon ^{2}+h_{3}'\epsilon ^{3}+\cdots$

其中，$h'$ 是从 $\epsilon$ 和 $\epsilon _{1}$ 幂的系数中推导出来的，$h$ 在 $(B)$ 中是从 $(A^{b})$ 中的系数 $V$ 形成的。

级数 $(B^{b})$ 在以下情况下是收敛的

$\left|{\frac {\epsilon }{r}}\right|+\left|{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right|<1$

因此，如果 $(A^{b})$ 中的系数 $V$ 的绝对值小于 $(C)$ 中的对应系数，那么 $(B)$ 中的系数 $h$ 的绝对值小于 $(B^{b})$ 中的系数 $h'$，因此级数 $(B)$ 是收敛的。

现在，$(A^{b})$ 和 $(C)$ 中 $\epsilon ^{k}\epsilon _{1}^{\mu }$ 的系数分别为

$V_{k,\mu }$ 和 ${\binom {k+\mu }{k}}{\frac {g}{r^{k}r_{1}^{\mu }}}$

其中符号 ${\binom {m}{n}}$ 表示 ${\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}}$。因此，对于足够小的 $r$ 和 $r_{1}$ 的值，如果

$\left|{\frac {\epsilon }{r}}\right|+\left|{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right|<1$

和

$V_{k,\mu }<{\binom {k+\mu }{k}}{\frac {g}{r^{k}r_{1}^{\mu }}}$

级数 $(B)$ 是收敛的，当将其代入 $\Delta I^{(1)}$ 的表达式时，会使该表达式消失。

第 182 条.
$\epsilon _{1}$ 作为 $\epsilon$ 的函数的表达式可以从以下关系式中得到

$\epsilon _{1}={\frac {g}{1-\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)}}-g-g{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}$

因此，可以得出

$\left({\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon }{r}}-{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}\right){\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}+{\frac {g\epsilon }{r(r_{1}+g)}}=0$

或者

${\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon }{r}}-{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}\right)^{2}-{\frac {4g\epsilon }{r(r_{1}+g)}}}}\right]$

在两个根中，我们选择符号较低的那个，以便$\epsilon _{1}$ 当$\epsilon$ 等于零时等于零。这个根可以写成

${\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}-\left({\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\right){\sqrt {1-\left({\frac {4g\epsilon }{r(r_{1}+g)}}\right)\left({\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\right)^{-2}}}\right]$

可以看到，根式下的表达式对于$\epsilon$ 的值是有限的、连续的和单值的，满足

${\frac {\epsilon }{r}}<{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}$ 并且 ${\frac {rg\epsilon }{r(r_{1}+g)}}<\left({\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\right)^{2}$

第 183 条.
回到替换

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

我们假设函数$\xi ,\xi _{1},\eta ,\eta _{1}$ 在曲线的端点（或极限）处变为零，并且被选择使得$W_{01}^{(1)}$ 在积分范围内不消失。我们有，从$(A^{a})$ 中立即得到幂级数

$\epsilon _{1}=-{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}\epsilon +\epsilon P(\epsilon )$

其中，幂级数 $P(\epsilon )$ 随 $\epsilon$ 消失。

由此可得

$6)\qquad {\bar {\xi }}=\epsilon \left(\xi -{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}\xi _{1}\right)+\epsilon \xi _{1}P(\epsilon )\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \left(\eta -{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}\eta _{1}\right)+\epsilon \eta _{1}P(\epsilon )$

如果我们将积分 $I^{(0)}$ 施以相同的变分，我们有 [参见公式 $(A^{a})$]

$\Delta I^{(0)}=\epsilon W_{10}^{(0)}+\epsilon _{1}W_{01}^{(0)}+(\epsilon ,\epsilon _{1})_{2}$

因此

$\Delta I^{(0)}=\epsilon \left(W_{10}^{(0)}-{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}W_{01}^{(0)}\right)+(\epsilon )_{2}$

因此，如果积分 $I^{(0)}$ 要取得最大值或最小值，则必须

$W_{10}^{(0)}-{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}W_{01}^{(0)}$

等于零。

因此，我们得到了必要的条件

${\frac {W_{10}^{(0)}}{W_{10}^{(1)}}}={\frac {W_{01}^{(0)}}{W_{01}^{(1)}}}$

由此可见，商${\frac {W_{10}^{(0)}}{W_{10}^{(1)}}}$与任意函数$\xi ,\eta$无关，因为它在我们将$\xi ,\eta$写成$t$的其它函数$\xi _{1},\eta _{1}$时不会改变。因此，可以得出结论：**上述商的值仅取决于曲线$x=x(t),y=y(t)$的性质。**

第 184 条.
我们可能会通过**要求曲线$x=x(t),y=y(t)$使积分**

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

**最小或最大化，同时以下积分具有规定值**

$I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

$I^{(2)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(2)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

...............................................

$I^{(\mu )}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(\mu )}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

**函数$F^{(0)},F^{(1)},\ldots ,F^{(\mu )},$与第一章中定义的函数${\displaystyle }$具有相同的性质。**

现在我们必须考虑由变分引起的曲线的变形

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}+\epsilon _{2}\xi _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\xi _{\mu }\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}+\epsilon _{2}\eta _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\eta _{\mu }$

那么，如果我们写 $w_{i}=y'\xi _{i}-x'\eta _{i}~~(i=1,2,\ldots ,\mu )$，并假设 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $\Delta I^{(0)}=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

$\Delta I^{(1)}=0=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

$\Delta I^{(2)}=0=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

.................................................

$\Delta I^{(\mu )}=0=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

利用最后 $\mu$ 个方程，如果行列式

$\left|\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(i)}w_{j}{\text{d}}t\right|_{i,j=1,2,\cdots ,\mu }$

不等于零，那么对于足够小的 $\epsilon _{1},\epsilon _{2},\ldots ,\epsilon _{\mu }$，我们可以将这些量表示为 $\epsilon$ 的收敛幂级数。

将这些幂级数代入 $\Delta I^{(0)}$ 后，使其具有以下形式

$\Delta I^{(0)}=\epsilon D+(\epsilon )_{2}$

其中

$D=\left|\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(i)}w_{j}{\text{d}}t\right|_{i,j=0,1,\cdots ,\mu ~{\text{and}}~w_{0}=w}$

为了使积分 $I^{(1)}$ 具有最大值或最小值，因此有必要

$D=$

此行列式展开后，可以写成以下形式

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}[\lambda _{0}G^{(0)}+\lambda _{1}G^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }G^{(\mu )}]w{\text{d}}t=0$

其中 $\lambda _{i}$ 是 $\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(i)}w{\text{d}}t$ 在行列式 $D$ 中的第一子式。

因此，如同之前（参见第 79 条，那里我们有 $G=0$），我们这里有

$\lambda _{0}G^{(0)}+\lambda _{1}G^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }G^{(\mu )}=0$

第 185 条.
类似地，如果在第 183 条中，我们将商 ${\frac {W_{10}^{(0)}}{W_{10}^{(1)}}}$ 表示为 $\lambda$，然后将 $W_{01}^{(0)}$ 和 $W_{01}^{(1)}$ 赋予其值，我们有

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G^{(0)}-\lambda G^{(1)})w{\text{d}}t=0$

由此得出

$G^{(0)}-\lambda G^{(1)}$

我们可以证明一个关于常数 $\lambda$ 的非常重要的定理，即：- 它在整个曲线中具有相同的值；也就是说，我们始终具有相同的值 $\lambda$，无论我们可能改变曲线的哪一部分 $x=x(t),y=y(t)$。 考虑在一条直线上标出的 $t$ 的值，并假设常数 $\lambda$ 对于例如区间 $t_{2}\ldots t_{3}$ 具有确定的值，该区间也对应于曲线的某一部分。此值（见第 183 条）与曲线部分 $t_{2}\ldots t_{3}$ 变化的方式无关。接下来考虑一个包含区间 $t_{2}\ldots t_{3}$ 的区间 $t'\ldots t''$；那么，对于区间 $t'\ldots t''$ 所有可能的变动，也包括使 $t'\ldots t_{2}$ 和 $t_{3}\ldots t''$ 保持不变，而只有 $t_{2}\ldots t_{3}$ 发生变化。由于 $\lambda$ 对于此区间具有确定的值，并且与曲线变化的方式无关，因此它必须在 $t'\ldots t''$ 具有相同的值。

第 186 条.
微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$ 与我们要求积分

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}f(x,y,x',y'){\text{d}}t$

具有最大值或最小值时相同，其中用 $F$ 表示函数

$F^{(0)}-\lambda F^{(1)}$

通过该微分方程 (参见第 90 条) ;$x$ 和 $y$ 可以用 $t$ 和 $\lambda$ 以及两个积分常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 表示，形式如下

$x=\phi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )$

当解确实存在时，由这些方程表示的曲线就是该问题的解。

第 187 条.
接下来，我们证明一个非常重要的定理，该定理通常可以作为判断在一个变化不受限制的范围内是否会发生方向突然变化的判据 (参见第 97 条)。假设在一个位置 $t=t'$，其中变化不受限制，发生了方向的突然变化。在 $t'$ 两侧取两个点 $t_{1}$ 和 $t_{2}$，它们与 $t'$ 足够接近，以至于在区间 $t_{1}\ldots t'$ 和 $t'\ldots t_{2}$ 中没有类似的方向变化的不连续性。在所有可能的变化中，有一种变化使得整个曲线保持不变，除了区间 $t_{1}\ldots t_{2}$，当然，该区间以这样一种方式变化，使得积分 $I^{(1)}$ 保持其值。积分 $I^{(0)}$ 的变化仅取决于积分和的变化

$\int _{t_{1}}^{t'}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t+\int _{t_{'}}^{t_{2}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

我们通过编写来改变拉伸 $t_{1}\ldots t_{2}$ 的变化

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

我们假设

(A)

$\xi ,\xi _{1},\eta ,\eta _{1}$ 当 $t=t_{1}$ 和 $t=t_{2}$ 时均为零

$\xi ,\xi _{1},\eta _{1}$ 当 $t=t_{1}$ 时为零

$\eta \neq 0$ 当 $t=t_{1}$

然后我们总是可以确定 $\epsilon _{1}$ 作为 $\epsilon$ 的幂级数，使得 $\Delta I^{(1)}=0$.

如果用 $\phi$ 表示形式为 $\phi ^{(0)}-\lambda \phi ^{(1)}$ 的表达式，则有 (Art. 79)

$\Delta I^{(0)}=\epsilon \int _{t_{1}}^{t'}Gw{\text{d}}t+epsilon\int _{t'}^{t_{2}}Gw{\text{d}}t+\epsilon \left[(\xi -\lambda \xi _{1}){\frac {\partial F}{\partial x'}}+(\eta -\lambda \eta _{1}){\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{t_{1}}^{t'}+\epsilon \left[(\xi -\lambda \xi _{1}){\frac {\partial F}{\partial x'}}+(\eta -\lambda \eta _{1}){\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{t'}^{t_{2}}+\epsilon (\epsilon )$

如果曲线 $x=x(t),y=y(t)$ 使积分 $I^{(0)}$ 最小化或最大化，则上述表达式右侧 $\epsilon$ 的系数必须为零。由于 $G=0$ 对于无约束变分，从假设 (A) 可得出

$\eta _{t'}\left[\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)_{t'}^{-}-\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)_{t'}^{+}\right]=0$

如果在假设 (A) 中，我们假设对于 $t=t_{1}$，$\eta =0$ 且 $\xi \neq 0$，对于 $x'$，我们有类似的方程。

因此可得（参见第 97 条）

$\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial x'}}\right]_{t'}^{-}=\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial x'}}\right]_{t'}^{+}$

$\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial y'}}\right]_{t'}^{-}=\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial y'}}\right]_{t'}^{+}$

因此，我们有以下定理： *沿着满足微分方程 $G=0$ 的曲线的自由变化位置，量 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 在任何地方以连续的方式变化，即使是在曲线的方向发生突然变化的位置也是如此。*

第 188 条.
显然，如果我们假设 $\xi ,\eta ,\xi _{1},\eta _{1}$ 在这些点处消失，就可以避免所有这些不连续性。我们可以假设已经这样做了。我们还可以对曲线施加许多其他限制；例如，曲线必须通过某些固定点，或者它必须包含某些给定的曲线部分，或者它必须穿过某个有限区域。在所有这些情况下，曲线上都存在一些点无法自由变化。但是，无论对曲线施加什么条件，以下定理都是成立的。

所有可以自由变化的点，并且这样的点总是存在的，必须满足微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，并且对于所有这些点，常数 $\lambda$ 具有相同的值。

第 189 条.
*第二次变分。* 我们假设在极限和曲线上方向发生不连续的所有点的变分都消失。我们还假设变分 ${\bar {\xi }},{\bar {\eta }}$ 已被如此选择，以使 $\Delta I^{(1)}=0$。

那么我们有（参见第 115 条）

$\Delta I^{(0)}=\epsilon \delta I^{(0)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}^{(0)}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}^{(0)}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

$0=\epsilon \delta I^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}^{(1)}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}^{(1)}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

因此

$\Delta I^{(0)}=\epsilon [\delta I^{(0)}-\lambda \delta I^{(1)}]+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

由于

$\delta I^{(0)}-\lambda \delta I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G^{(0)}-\lambda G^{(1)})w{\text{d}}t=0$

则可以得到

$\Delta I^{(0)}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

最后一个积分可以立即写成以下形式（第 119 节）

$\Delta I^{(0)}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {w}{u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)^{2}{\text{d}}t$

其中 $u$ 由微分方程（第 118 节）确定

$J=F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}-F_{2}u=0$

以下是一个最大值或最小值存在的必要条件：对于曲线中所有自由变化的部分，$F_{1}$ 在第一种情况下必须处处为负，在第二种情况下必须处处为正，并且必须不同于 0 和 $\infty$。为了使积分的这种变换成为可能，方程 $J=0$ 必须能够以一种方式积分，使得 $u$ 在所有自由变化的曲线部分上都不为零（第 128 条）。

在第十七章中，我们将确定这些三个必要条件是否也足以使积分 $I^{(1)}$ 具有最大值或最小值。通过下一章中的例子，我们还将证明，如果存在一条曲线，使得第一个积分具有最大值或最小值，而第二个积分保持一个给定的值，那么这条曲线将通过三个条件来确定，这些条件与第 135 条中所述的条件相同。然后，${\mathcal {E}}$-函数的行为对于判断实际上是否存在最大值或最小值至关重要。