变分法/第十四章

第十四章：等周问题。

• 190 问题的陈述。
• 191 出现的积分的简化形式。
• 192 此问题的函数 $F_{1}$。
• 193 出现的微分方程的积分。
• 194 一个直接的结果是施泰纳定理：那些可以自由变化的曲线部分，是半径相等的圆弧。
• 195 如果存在一条曲线，它在给定的周长下包含最大的表面积，那么这条曲线就是一个圆。
• 196 圆形具有该性质的可接受性。

第 190 条.
等周问题可以简要地表述如下：

确定在给定长度下最大化或最小化某个定积分的曲线。

例如，可以问：在连接两点的所有给定长度的曲线中，哪一条曲线绕某个特定轴旋转产生的旋转曲面最小？或者，在给定长度的连接两点的弧线上，受重力影响的粒子在最短时间内下降的弧线是什么？

我们将在本章的第一部分考虑问题 V，它可以再次表述如下：假设平面上任何部分都以这样一种方式界定，即可以从其中的任何一点到另一点而不越过边界。在这个平面部分中，要构造一条自相交的线，使其具有给定的长度并包含最大的表面积。

设 $x$ 和 $y$ 是 $t$ 的函数，对于两个确定的值 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 对应的点重合，并且当 $t$ 从较小的值 $t_{0}$ 到较大的值 $t_{1}$，点 $x,y$ 以正方向遍历整个曲线，从起点到终点。

曲线所包围的表面积由积分表示

$1)\qquad I^{(0)}={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(xy'-yx'){\text{d}}t$

它的周长由下式给出

$2)\qquad I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}{\text{d}}t$

所提问题在于，以这样的方式将 $x$ 和 $y$ 表达为 $t$ 的函数，使得第一个积分的值最大，同时第二个积分保持给定的值。

坐标原点选择的位置无关紧要；因为通过原点的变换，第二个积分保持不变，而第一个积分只改变一个常数。这不会改变积分的最大值性质。

也可以添加其他条件；例如：曲线以给定的顺序通过一定数量的固定点，或者曲线包含一定数量的曲线段以给定的顺序，等等。 然后曲线将包含沿其变化不受限制的部分。

第 191 条.
函数 $F$ 在这里

$F={\frac {1}{2}}(xy'-yx')-\lambda {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

我们可以用另一个函数代替这个函数，因为

${\frac {{\text{d}}(xy)}{{\text{d}}t}}=xy'+yx'$

因此。

${\frac {1}{2}}(xy'-yx')={\frac {1}{2}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(xy)-yx'$

现在，如果我们在极限 $t_{0}\ldots t_{1}$ 之间积分，上述等式右边的第一项消失，因为曲线的终点和起点重合。因此，

${\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(xy'-yx'){\text{d}}t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}yx'{\text{d}}t$

因此我们可以将函数 $F$ 的值赋为

$3)\qquad F=-x'y-\lambda {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

由此得到

${\frac {\partial F}{\partial x'}}=-y-{\frac {\lambda x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\qquad {\frac {\partial F}{\partial y'}}=-{\frac {\lambda y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

但由于 (第 187 条) ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 沿着自由变化的曲线段以连续的方式变化，因为 $\lambda$ 对整条曲线具有相同的常数值 (第 185 条)，并且由于与 $\lambda$ 相乘的量只是曲线切线的方向余弦，因此曲线在变化自由的每个点都以连续的方式改变其方向。

第 192 条.
函数 $F_{1}$ 的值为

$4)\qquad F_{1}={\frac {-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}$

很明显，$F_{1}$ 不改变符号，并且由于最大值要进入，因此 $F_{1}$ 必须连续为负，由此得出 $\lambda$ 必须是一个正常数。

第 193 条.
为了找到曲线本身，我们必须对微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$ 进行积分。这个方程等价于（第 79 条）这两个方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}-{\frac {\partial F}{\partial x}}=0\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}-{\frac {\partial F}{\partial y}}=0$

由于 $F$ 不显式包含 $x$，因此第一个方程给出

$5)\qquad {\frac {\partial F}{\partial x'}}=~{\text{constant}}~~~{\text{or}}~~~y+{\frac {\lambda x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=b$

其中 $b$ 是一个任意常数。由于 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 在曲线自由变化的部分以连续的方式变化，因此常数 $b$ 在曲线的这一部分保持相同的值。然而，曲线可能由可以自由变化的不同部分组成，对于这些部分，常数 $b$ 可能具有不同的值。

如果我们将曲线的弧长（从原点测量）作为自变量，根据 5），我们有

$6)\qquad {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}=-{\frac {1}{\lambda }}(y-b)$

因此，由于 $\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)^{2}=1$，可以得出

$\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}(y-b)^{2}$

和

${\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}s^{2}}}=-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}(y-b)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}$

我们立即发现，如果对最后一个方程积分，则

$7)\qquad {\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}s^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}(x-a)$

其中 $a$ 是一个任意常数；因此，曲线的方程为

$8)\qquad (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\lambda ^{2}$

从曲线的性质可以看出 $\lambda$ 是一个正常数。

第 194 条.
一个直接的结果是施泰纳定理：曲线中可以自由变化的部分必须是相等圆的弧长。这些圆可以有不同的圆心，因为 $a$ 和 $b$ 还没有确定。然而，每个这样的圆弧可以位于连接两个端点的弦的两侧；因此，我们需要确定哪段弧是所需的弧长。

微分方程的解是

$x-a=\lambda \cos {\frac {s-s_{0}}{\lambda }}=\lambda \cos t\qquad t-b=\lambda \sin {\frac {s-s_{0}}{\lambda }}=\lambda \sin t$

正如从公式 6) 和 7) 中看到的那样，当求导时。由于 $\lambda$ 为正数， $s$ 随着 $t$ 的增加而增加，并且由于随着 $t$ 的增加，曲线在正方向上遍历，我们必须取使此条件也成立的弧段。设 $C$ 为圆心， $A_{1}$ 为起点， $A_{2}$ 为弧的终点。位于 $CA_{1}$ 正侧的弧段即为正确弧段，即位于 $t$ 增大的那侧。因为如果 $t_{1}$ 是半径 $CA_{1}$ 与 $X$ 轴所成的角，如果 $x_{1},y_{1}$ 是点 $A_{1}$ 的坐标，那么我们有

$\cos t_{1}={\frac {1}{\lambda }}(x_{1}-a)\qquad \sin t_{1}={\frac {1}{\lambda }}(y_{1}-b)$

并且进一步地，该切线 $A_{1}B_{1}$ 在点 $A_{1}$ 与弧线相切的角度，与 $X$ 轴所成的角为 $t_{1}+{\frac {\pi }{2}}$。因此，我们有

$\cos \left(t_{1}+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin t_{1}=-{\frac {1}{\lambda }}(y_{1}-b)=\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)_{1}$

$\sin \left(t_{1}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos t_{1}={\frac {1}{\lambda }}(x_{1}-a)=\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)_{1}$

这些公式具有正确的符号。如果我们取另一条弧线，以及在另一个方向上绘制的切线，则情况并非如此。因此，始终要取那条弧线，从中心看出去，以 *正* 方向遍历。

第 195 条.
如果对曲线没有施加任何条件，并且要求在所有等周线中找到一个提供最大表面积的曲线，那么问题就不是一个 *绝对最大值*，因为可以在平面上随意移动曲线而不会改变其形状。这个问题可以更准确地表述为：*表示表面积的积分在引入所有可能的变分后，不能接受正增量*。这样表述的问题会导致与以前完全相同的必要条件，即第一变分必须消失，因此我们有相同的微分方程要解。我们也对 $\lambda$ 有相同的条件。由于第二变分永远不会是正的，因此 $F_{1}$ 不能改变其符号，我们得出与上面相同的结论，即 $\lambda$ 是正的。由于整个曲线可以自由变化，并且由于 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 是整个轨迹的连续函数，常数 $a$ 和 $b$ 对整个曲线是相同的；然而，它们仍然是不确定的。因此，我们有以下结果

如果存在一条闭合曲线，它在给定的周长内包含最大的表面积，那么这条曲线是一个圆。

第 196 条.
然而，尚未证明该性质属于圆形。第二变分的处理还不够，因为这里只使用了这样的变分：两个对应点之间的距离，以及这些点在方向上的差异都不超过一定的限度。

进一步的证明必须证明所有其他曲线都形成较小表面积的边界。关于圆形具有这种最大性质的证明（在所有先前关于该问题的解决方案中都没有提及的证明）被认为非常困难，以至于其解决方案被认为不在变分法的领域内。然而，我们将在下一章中表明，在已经讨论过的定理中，提供了一种克服这种困难的方法。可以看到，在不使用第二变分的情况下，在函数 $F_{1}$ 不仅在曲线的任何点上，而且在任何点的任何方向上都不改变符号的所有情况下，都能获得所需的结果。