变分法/第十五章

第十五章：受限变分。施泰纳定理。

• 197 沿曲线不同部分的变分。
• 198 点必须停留在固定曲线上的变分。
• 199 应用于特定情况。
• 200 曲线的一部分与固定曲线重合的变分。
• 201 包含多个变量和多个积分的推广。
• 202 当圆（第 195 条）包围给定面积不能内接于固定边界时，等周问题。
• 203 施泰纳提出的两个问题的陈述。批评他对变分法不足以证明这些问题的断言。
• 204 魏尔斯特拉斯提出的两个比施泰纳更一般的问题，以及用变分法证明。
• 205 ${\mathcal {E}}$-函数在固定边界上的行为。
• 206 关于此函数的进一步讨论。
• 207 当边界曲线在其被自由变化的曲线逼近的点处突然改变方向时的情况。
• 208 曲线在一点处与边界相交然后离开边界的情况。
• 209 曲线两部分的切线与固定曲线的切线成相等角度。
• 210 等周问题的反转。
• 211 考虑以下问题：平面上给出三个不在同一直线上的点。要求按一定顺序通过这些点画一条线，这条线具有给定长度，并包含尽可能大的表面积。
• 212 重叠曲线部分的表达式。
• 213 微分方程的解可以是直线或圆弧。
• 214 问题简化为最大值和最小值理论中的问题。
• 215 问题的解决。

第 197 条.
在本章中，我们将考虑受限变分的一些特殊情况。首先假设积分路径经过两条轨迹 $P_{0}P_{2}$ 和 $P_{2}P_{1}$。对于积分的一阶变分（第 79 条），我们有

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{2}^{-}}Gw{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{0}}^{t_{2}^{-}}+\int _{t_{2}^{-}}^{t_{1}}Gw{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{2}^{-}}^{t_{1}}$

由于沿轨迹 $(C_{0})$ 和 $(C_{1})$ 的变分是自由的，因此对于它们 $G=0$，因此

$\delta I=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{2}^{+}}^{t_{2}^{-}}$

因此，为了使一阶变分为零，必须有

$\left[{\frac {\partial F^{-}}{\partial x'}}-{\frac {\partial F^{+}}{\partial x'}}\right]\xi +\left[{\frac {\partial F^{-}}{\partial y'}}-{\frac {\partial F^{+}}{\partial y'}}\right]\eta$

第 198 条.
如果问题的条件允许$P_{2}$ 在任何方向上自由变化，我们必须有，因为$\xi$ 和 $\eta$ 是任意的，

${\frac {\partial F^{-}}{\partial x'}}={\frac {\partial F^{+}}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F^{-}}{\partial y'}}={\frac {\partial F^{+}}{\partial y'}}$

或者，曲线由单个轨迹组成

其次，如果问题的条件要求$P_{2}$ 始终保持在固定曲线 $(C)$ 上，那么由于位移方向与该曲线的切线方向一致，表达式

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}=0$

可以替换为

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\cos \lambda +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\sin \lambda \right]_{+}^{-}=0$

其中 $\lambda$ 是固定曲线与$X$ 轴之间的夹角

第 199 条.
我们可以将上述结果应用于函数

$F(x,y,x',y')=f(x,y){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

在第一种情况下，点 $P_{2}$ 可以随意移动，我们有

${\frac {\partial F^{+}}{\partial x'}}={\frac {\partial F^{-}}{\partial x'}}$ 或 $\left[{\frac {f(x,y)x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{+}=\left[{\frac {f(x,y)x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{-}$

${\frac {\partial F^{+}}{\partial y'}}={\frac {\partial F^{-}}{\partial y'}}$ 或 $\left[{\frac {f(x,y)y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{+}=\left[{\frac {f(x,y)y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{-}$

所以，除非 $f(x,y)$ 在 $P_{2}$ 处为零，我们必须有

$\cos \tau ^{+}=\cos \tau ^{-}\qquad \sin \tau ^{+}=\sin \tau ^{-}$

因此

$\tau ^{+}=\tau ^{-}$

其中 $\tau ^{+}$ 和 $\tau ^{-}$ 是变量曲线在点 $P_{2}$ 的切线与 $X$ 轴所成的角。由此可知，$P_{0}P_{2}$ 和 $P_{2}P_{1}$ 不是不同的轨迹，而是构成一条在点 $P_{2}$ 处有一条切线的单曲线。在第二种情况下，当 $P_{2}$ 被限制在固定曲线 $(C)$ 上（参见前文的图），我们有

$f(x,y){\big [}\cos \tau \cos \lambda +\sin \tau \sin \lambda {\big ]}_{+}^{-}=0$

由此可知，除非 $f(x,y)=0$ 在点 $P_{2}$ 处成立，那么

$\cos(\tau -\lambda )^{-}=\cos(\tau -\lambda )^{+}$

或者

$(\tau -\lambda )^{-}=\pm (\tau -\lambda )^{+}[{\text{mod}}~\pi ]$

可以看出，两条轨迹的切线$P_{0}P_{2}$和$P_{2}P_{1}$在点$P_{2}$处，要么有相同切线，且为同一条曲线的两部分，因此这种情况与$P_{2}$不受约束的情况相同，要么与固定曲线切线形成相等的角$T_{1}P_{1}M_{1}$和$T_{2}P_{2}M_{2}$.

一个极限情况是$\tau =\lambda$，此时$P_{0}P_{2}$和$P_{2}P_{1}$形成一条连续曲线，在点$P_{2}$处与固定曲线相切。函数${\mathcal {E}}$在这里

${\mathcal {E}}(x,y,p,q{\bar {p}},{\bar {q}})=f(x,y)\left[1-{\frac {{\bar {x}}'}{\sqrt {{\bar {x}}'^{2}+{\bar {y}}'^{2}}}}{\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}-{\frac {{\bar {y}}'}{\sqrt {{\bar {x}}'^{2}+{\bar {y}}'^{2}}}}{\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]$

$\qquad =f(x,y){\big [}1-\cos(\tau -\lambda ){\big ]}=0$，当 $\tau =\lambda$

第 200 条.
假设积分路径的一部分与一条或多条固定曲线重合，例如，与曲线 $(C)$ 重合。

那么我们不能说 $G=0$ 对于从 $P_{2}$ 到 $P_{3}$ 的积分路径，但从表达式

$\delta I=\int _{t_{2}}^{t_{3}}Gw{\text{d}}t$

很明显，为了实现最大值，$w$ 和 $G$ 必须具有相反的符号，而对于最小值，则必须具有相同的符号。

第 201 条.
在一般情况下，我们进行以下替换：

$x\rightarrow x+\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}+\epsilon _{2}\xi _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\xi _{\mu }\qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}+\epsilon _{2}\eta _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\eta _{\mu }$

假设积分路径的某个点 $P$ 被约束在一条固定曲线上，为了简便起见，假设

对于 $t=t'~;~\xi _{1}=\xi _{2}=\cdots =\xi _{\mu }=0$，

并且 $\eta _{1}=\eta _{2}=\cdots =\eta _{\mu }$，

但 $\xi \neq 0$ 并且 $\eta \neq 0$ 在 $t'$。

我们之前的方程（第 184 条）现在变为

$\Delta I^{(1)}=\epsilon \left[{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ^{2})$

$0=\Delta I^{(2)}=\epsilon \left[{\frac {\partial F^{(2)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(2)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ^{2})$

.............................................

$0=\Delta I^{(\mu )}=\epsilon \left[{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ^{2})$

正如我们之前讨论的（第 184 条），可以得出

$\delta I^{(0)}=\left(\left[{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t\right)\lambda _{0}+\left(\left[{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t\right)\lambda _{1}+\cdots +\left(\left[{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w{\text{d}}t\right)\lambda _{\mu }$

进一步地，因为

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\lambda _{0}G^{(0)}+\lambda _{1}G^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }G^{(\mu )})w{\text{d}}t=0$

我们有

$0=[\xi ]_{t'}\left[\lambda _{0}{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial x'}}+\lambda _{1}{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}+\cdots +\lambda _{\mu }{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial x'}}\right]_{+}^{-}+[\eta ]_{t'}\left[\lambda _{0}{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial y'}}+\lambda _{1}{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}+\cdots +\lambda _{\mu }{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial y'}}\right]_{+}^{-}$

如果我们写

$F=\lambda _{0}F^{(0)}+\lambda _{1}F^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }F^{(\mu )}$

并用 $\tau '$ 表示固定曲线在点 $P'$ 处的切线与 $X$ 轴所成的角，上述表达式变为

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\cos \tau '+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\sin \tau '\right]_{+}^{-}=0$

如果点 $P'$ 不受限制，那么 $\xi$ 和 $\eta$ 将是任意的，并且我们将在這裡有

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\right]_{+}^{-}=0$ 以及 $\left[{\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{+}^{-}=0$

这些结果与第199条的结果进行比较。

第202条.
我们在上一章看到，如果存在一条闭合曲线，它以给定的长度包围最大的表面积，那么这条曲线就是一个圆。我们假设该圆可以完全位于给定区域的边界内。假设情况并非如此。那么这条曲线必须至少在两点处与给定的边界相切，或者与边界有一部分重合。因为我们看到这条曲线由半径相等的弧组成，如果这些弧没有与边界相切，则变量曲线的方向必然会发生不连续的变化。然而，在这种情况下，表面积可以在不改变周长的情况下增加。

第203条.
关于曲线与边界相切时的性质，施泰纳给出了以下两个定理：

1）如果曲线与边界的一部分重合，那么这条曲线的自由部分就是半径相等的圆弧，这些圆弧在接触点处与边界相切。

2）如果曲线在一点处与区域边界相切，那么曲线的两个部分都是半径相等的圆弧，这两条圆弧在与边界接触点处的切线与该点处边界切线所成的角相等。

施泰纳用综合法证明了这些定理，并指出似乎有必要使用综合几何方法进行处理，因为变分法的原理还不够。这种说法在一定程度上是合理的，因为到那时为止，人们只考虑了在整个范围内满足微分方程的曲线，因此，人们还不知道任何分析方法来处理部分与给定曲线重合的曲线。但是，说变分法没有方法处理这类问题，这是没有道理的。

第204条.
我们将证明变分法的原理足以建立施泰纳定理，方法是证明魏尔斯特拉斯提出的两个定理，这两个定理比施泰纳定理更一般，并且涉及曲线在与边界相切点处的行为。施泰纳的两个定理是这些定理的特殊情况。

假设满足微分方程的曲线在点1处接近边界，并与它重合直到点2。在曲线到达边界点1之前的部分，我们取一个靠近点1的点，这样在该点和点1之间，曲线的走向不会突然变化。

曲线012的一部分将被改变，这样我们就可以沿着另一条路径从该点到达边界，到达点1之前的点3，或者从该点到达点1之后的点4，然后沿着边界到达点2。

第205条.
正如我们已经看到的那样（第161条），由此产生的积分$I^{(0)}$ 和 $I^{(1)}$ 的变化可以表示如下：令 $p_{1},q_{1}$，1 是曲线 01 在点 1 处的方向余弦；${\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1}$ 是该点边界的方向余弦；$x_{1},y_{1}$ 是点 1 的坐标，而 $\sigma$ 是边界长度的微元。那么，如果在点 1 之前接近边界 [见公式 5) 第 161 条]，我们有

1)

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}^{(0)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +\int _{t_{)}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

$\Delta I^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +\int _{t_{)}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

并且，如果边界是在点 1 之后接近的 [参见公式 6) 第 161 条]

2)

$\Delta I^{(1)}=-{\mathcal {E}}^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +\int _{t_{)}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

因此对于情况 1）：$\Delta I^{(0)}=\Delta I^{(0)}-\lambda \Delta I^{(1)}=({\mathcal {E}}^{(0)}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)})\sigma +\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$,

对于情况 2：$\Delta I^{(0)}=\Delta I^{(0)}-\lambda \Delta I^{(1)}=-({\mathcal {E}}^{(0)}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)})\sigma +\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

如果曲线要使 $I^{(0)}$ 具有最大值或最小值，*同时 $I^{(1)}$ 保持不变*，那么（参见第 189 条）$\Delta I^{(0)}$ 必须在上述两种变化中具有相同的符号。因此，如果曲线满足微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，并且如果我们写

${\mathcal {E}}^{(0)}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})$

那么，函数 ${\mathcal {E}}$ 必须在边界点1处为零，因为否则我们就可以选择 $\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 非常小，使得整个表达式的符号取决于线性项的符号，在第一种情况下是正的，在第二种情况下是负的。

第206条.
我们看到（第157条）

${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})=(q_{1}{\bar {p}}_{1}-p_{1}{\bar {q}}_{1})^{2}\int _{0}^{1}F_{1}(x_{1},y_{1},p_{k},q_{k})(1-k){\text{d}}k$

如果 $\int _{0}^{1}F_{1}(x_{1},y_{1},p_{k},q_{k})(1-k){\text{d}}k$ 不等于0（这必须在每种情况下确定），那么

$q_{1}{\bar {p}}_{1}-p_{1}{\bar {q}}_{1}=0$

因此，

$p_{1}=\pm {\bar {p}}_{1},~q_{1}=\pm {\bar {q}}_{1}$

我们写（第157条）

$p_{k}=(1-k)p+k{\bar {p}}\qquad q_{k}=(1-k)q+k{\bar {q}}$

因此，如果我们取下符号，使得$p_{1}=-{\bar {p}}_{1},q_{1}=-{\bar {q}}_{1}$，那么可能发生$F_{1}$ 在积分限内变得无穷大，因为对于值$k=1/2$，两者$p_{k}$ 和 $q_{k}$ 为零（见第 157 条）。

一般来说，我们有

$p_{1}={\bar {p}}_{1},~q_{1}={\bar {q}}_{1}$（参见第 199 条）。

对于其他情况下的每个特定问题，必须进行专门研究。因此，我们有如下定理：

如果满足微分方程的曲线在某一点处接近边界，然后与边界的一部分重合，则该接触点处的方向不会发生不连续变化。

在曲线与边界的一部分重合后离开边界点的过程中，可以以类似的方式得出相同的结果。

第 207 条.
我们已经默认假设边界在点 1 处没有突然变化。但如果发生这种情况，并且${\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2}$ 是人们接近点 1 的方向余弦，而 ${\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1}$ 是人们离开点 1 的方向余弦，那么对于$\Delta I^{(0)}$，我们有以下表达式

第一种情况：$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})\sigma +(~~)_{2}$

第二种情况：$\Delta I^{(0)}=-{\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})\sigma +(~~)_{2}$

在下一章（第 221 条）中，我们将证明，如果要出现最大值或最小值，则函数 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 必须对曲线的每个点都具有连续相同的符号，并且对曲线上的任意方向 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 也是如此；在第一种情况下，该符号不能为正，在第二种情况下，该符号不能为负。

由此可以得出，在最大值和最小值的情况下，我们必须再次有

${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})=0>$

而 ${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})$ 仍然是任意的。

因为，如果我们正在寻找最小值，根据刚刚引用的定理，函数 ${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})$ 不能为负；但它也不能为正，因为根据方程

$\Delta I^{(0)}=-{\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +(~~)_{2}$

$I^{(0)}$ 对于某些变化会经历负变化。因此我们必须有

${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})=0$

曲线离开边界时出现的点也是如此，因此我们对终点有与刚刚给出的起点相同的结论。这些结论可以表述如下

如果出现最大值或最小值的曲线与边界相遇并遍历其一部分，那么当它第一次到达边界和离开边界时，两条曲线必须位于这样的位置：两条曲线的切线相同。但是，如果在这些点上边界曲线的走向发生不连续的变化，那么曲线接近边界时的方向以及边界在接近点处的方向可能是任意的。

这是魏尔斯特拉斯定理的第一个定理。

第 208 条.
接下来我们考虑曲线在一个点与边界相遇然后离开边界的情况。设 01 和 12 是两部分满足微分方程并在点 1 与边界相遇的曲线。取点 0 和 2 足够靠近 1，以至于在区间 01 和 12 内没有突然的转向变化。我们通过从点 1 到边界上的点 3 来改变曲线 012。点 3 通过曲线与点 0 和 2 相连，这些曲线不一定满足微分方程，但须满足积分 $I^{(1)}$ 在此变化下保持不变的条件。

设 $p,q$ 为 01 在 1 处的方向，

$p_{1},q_{1}$ 是点 1 上 12 方向的导数，

并让坐标 $x,y$ 属于不同点的坐标用相应的索引表示。

那么，正如我们已经看到的那样（第 79 和 154 条）

$I_{03}^{(0)}-I_{01}^{(0)}=F^{(1)}(x_{1},y_{1},p,q)(x_{3}-x_{1})+F^{(2)}(x_{1},y_{1},p,q)(y_{3}-y_{1})+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

$I_{32}^{(0)}-I_{12}^{(0)}=F^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})(x_{3}-x_{1})-F^{(2)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})(y_{3}-y_{1})+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

因此

$I_{032}^{(0)}-I_{012}^{(0)}=[F^{(1)}(x_{1},y_{1},p,q)(x_{3}-x_{1})-F^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})](x_{3}-x_{1})+[F^{(2)}(x_{1},y_{1},p,q)(x_{3}-x_{1})-F^{(2)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})](y_{3}-y_{1})+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

如果我们假设 $pq_{1}-p_{1}q$ 不等于零，因此点 1 上曲线 01 和 12 的两部分的切线不重合，那么我们可以写成

$x_{3}-x_{1}=p\delta +p_{1}\delta _{1}\qquad y_{3}-y_{1}=q\delta +q_{1}\delta _{1}$

如果我们考虑到上面两个关系式，长度 13 是两个长度 $p\delta ,q\delta$ 和 $p_{1}\delta _{1},q_{1}\delta _{1}$ 的几何和，那么 $\delta$ 和 $\delta _{1}$ 的几何意义就显而易见了，它们是直线 13 在一个斜坐标系中的坐标，该坐标系的正轴方向为 $p,q$ 和 $p_{1},q_{1}$，因此它们可以用曲线在点 1 处的两部分的切线的斜率来表示。如果我们将这些 $x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1}$ 的值代入上面的表达式，我们得到

$I_{032}^{(0)}-I_{012}^{(0)}={\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},p,q)\delta -{\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p,q,p_{1},q_{1})\delta _{1}+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}={\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

第 209 条.
方程为 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}=0$ 的直线将平面分成两半；对于一半的点，${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}>0$，而对于另一半，${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}<0$。曲线与边界共有的点 1 只能沿着边界移动。如果点 1 处边界切线的方向不同于直线 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}=0$（可以称为分割线）的方向，那么通过在相反方向滑动点 1，数量 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}$ 将是正的或负的；并且由于这个量（忽略一个常数因子）是到分割线的距离，所以可以看到，它随着 $<\xi ,\eta /math>.Wemay,therefore,choose<math>\xi ,\eta$ 变为一阶无穷小。

$I_{032}^{(0)}-I_{012}^{(0)}$

与 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}$ 符号相同，因此可以是正的或负的。因此，我们必须有

${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}=0$

因此，边界曲线的切线方向必须与分割线的方向一致。

分界线与 $\delta$ 和 $\delta _{1}$ 轴所成的角的正弦值，即与曲线在交界点处两部分切线的正弦值之比，为 ${\mathcal {E}}_{1}$ 与 ${\mathcal {E}}$ 之比，如果这两个角的测量方向相反。

因此，魏尔斯特拉斯的第二定理可以表述如下：

如果满足微分方程的曲线只在一个点与边界相交，然后离开边界，则曲线在该点处的两部分切线与边界在该点处的切线所成的角，其正弦值之比为 ${\mathcal {E}}_{1}$ 与 ${\mathcal {E}}$ 之比。

关于等周问题的施泰纳第二定理只是这个定理的一个特例。在这个问题中，我们有 ${\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}$，因此，曲线两部分切线与边界曲线切线所成的两个角相等。

第 210 条.
我们已经证明，曲线在每个变分自由的点上都满足同一个微分方程，并且常数 $\lambda$ 对整条曲线都有相同的值（第 185 条）。这导致了一个悖论：如果我们反转等周问题，寻找所有包含给定表面积的线中最短的线，我们就会得到等周问题的微分方程。

我们有 $F=F^{(1)}-\lambda F^{(0)}$ 替代之前出现的 $F=F^{(0)}-\lambda F^{(1)}$；尽管如此，微分方程的本质并没有改变，因为只有常数发生了变化。然而，从先验的角度来看，这两个问题的解必须相同；因为，如果可能保持表面积不变而缩短周长，那么很明显，对于原始周长，我们可以包含更大的表面积。因此，从第一个问题的微分方程推导出的曲线也满足反问题。因此，我们得到的第二个问题的解是定理：曲线在每个变分自由的地方，都由半径相等的圆弧组成。

第 211 条.
问题：平面上给出三个不在同一直线上的点 1、2、3，要求按照一定的顺序画一条经过这些点的线，这条线包含一个给定的表面积，同时具有最短的长度。

我们知道，一个圆，例如 $W$，满足这些要求，如果给定的面积与由三个点 1、2、3 决定的圆所包含的面积相同。

但是，如果表面积大于或小于 $W$，那么圆弧必须向外或向内绘制。然而，如果面积很小，我们就无法画出圆弧来包围这个面积，而不会互相交叉，我们不考虑在相反方向描述的面积。

这个问题可以这样解决：曲线，尽管没有受到进一步的限制，但并不需要在所有地方都以自由的方式变化，因此，它不一定由圆弧组成。因为，如果我们假设曲线不能与自身相交，那么它本身就可以提供障碍，阻碍自由变化。

例如，曲线 0 1 2 3 部分重叠，使得部分 1 3 与部分 01 在点 2 处重合，那么在所有可能的变异中，存在 01 保持不变，而只有 1 3 发生变异的那些变异；并且由于曲线不能与自身相交，部分 1 2 的变异只能发生在点 3 所在的 1 的一侧，因此曲线的变异自由度本质上是有限制的。

曲线不与自身相交的要求本身并不是必要的，因为出现的积分在这个情况下也有意义。

如果曲线存在重叠部分，那么我们可以允许这样的变异出现，即在变异之前重合的点在变异之后也可能重合，而第二个积分的值保持不变。我们将研究为这些曲线部分生成的这种微分方程的类型。

第 212 条.
以下研究也适用于第二个积分不存在的情况。我们只需要使 $\lambda =0$.

我们引入变异

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

已经证明 $I^{(0)}$ 的一阶变分与

$\delta \int (F^{(0)}-\lambda F^{(1)}){\text{d}}t$

相同，只要 $\epsilon _{1}$ 可以用 $\epsilon$ 的幂级数表示，使得第二个积分的总变分消失。

这个 $\delta I^{(0)}$ 可以写成以下形式

$\delta I^{(0)}=\epsilon \int G(y'\xi -x'\eta ){\text{d}}t$

在以前的处理中，$\xi$ 和 $\eta$ 是完全任意的，除了在某些点和某些曲线部分它们消失。无论它们在哪里是任意的，都有必要使 $G=0$。在我们面前的例子中，我们还具有那些与曲线多次重叠而不与之相交的曲线部分。这些曲线部分满足的微分方程可以如下获得

我们有，因为 ${\text{d}}t$ 是 $t$ 的一个正增量（第 68 条），

$F(x,y,x',y'){\text{d}}t=F(x,y,x'{\text{d}}t,y'{\text{d}}t)=F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

设 1 2 是一个被遍历多次的曲线部分。在从点 1 到点 2 遍历一次之后，这个曲线部分上的积分可以写成以下形式

$\int _{x_{1},y_{1}}^{x_{2},y_{2}}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=\int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

曲线在相反方向上积分的部分为

$\int _{2}^{1}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

如果这部分曲线在第一个方向上被遍历 $\mu$ 次，在第二个方向上被遍历 $\nu$ 次，并且如果除了与这部分曲线相关的变化之外，所有其他变化都被设为零，那么整个积分的变化等于积分之和的变化

$\mu \int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)+\nu \int _{2}^{1}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

但是由于

$\int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=\int _{2}^{1}F(x,y,-{\text{d}}x,-{\text{d}}y)$

上述和式等于

$\mu \int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)+\nu \int _{1}^{2}F(x,y,-{\text{d}}x,-{\text{d}}y)$

或者，如果我们令

$\mu F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)+\nu F(x,y,-{\text{d}}x,-{\text{d}}y)={\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

那么和式为

$\int _{1}^{2}{\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

对于这个积分，曲线 1 2 只被遍历一次，因此变化是完全自由的。因此，区间 1 2 必须满足为函数 ${\bar {F}}(x,y,x',y')$ 推导的微分方程，就像之前研究中考虑的函数 $F(x,y,x',y')$ 一样。

第 213 条.
例如，如果问题是确定具有给定表面积的最短周长的曲线，那么

$F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)={\sqrt {{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}}}-\lambda y{\text{d}}x$

当 $\mu =\nu$时，

${\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=\mu [{\sqrt {{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}}}-\lambda y{\text{d}}x+{\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}-\lambda y{\text{d}}x]=2\mu {\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}$

因此，微分方程得到一条直线。

但如果 $\mu {\overset {<}{>}}\nu$，则有

${\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=(\mu +\nu ){\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}-\lambda (\mu -\nu )y{\text{d}}x$

相应的微分方程形式为

$G^{(1)}-\lambda _{1}G^{(0)}=0$

其中 $\lambda _{1}=\lambda {\frac {\mu -\nu }{\mu +\nu }}$；因此，它得到一个圆弧，该圆弧的半径与曲线变化自由的部分的圆弧半径不同。

然而，这种情况下，除非进行一些修改，否则实际上不会出现；因为，如果我们在相反的方向上遍历该圆弧两次，则由此获得的表面积部分为零。然而，我们可以通过用连接其端点的弦代替圆弧来缩短周长，这是上面第一个解。此外，如果同一个圆弧被遍历多次，那么如果没有特殊修改，我们可以忽略圆弧被遍历的前两次或前 $2n$ 次（从而缩短周长）而不改变表面积，

还要考虑到 $\mu =\nu =1$的情况，当一条直线进入时，我们必须看看这些曲线部分（直线或弧）中的哪一个可以用来形成所需的曲线以及它们是如何分组的。然后，我们必须寻找所有可能的组合类型并证明它们的允许性。

我们考虑任何配置并使其变化。由于曲线的性质是已知的，只有各个部分的端点是不确定的，我们必须使它们发生变化。前面的定理足以进行此操作。因此，我们有办法确定各个部分的这种配置是否可能。

由于各个部分满足它们的微分方程，因此相应积分的第一次变化将仅取决于端点的变化；而且，如果我们将此应用于曲线的各个部分，我们将得到所有个体端点坐标变化的线性函数。

这些端点可能会受到进一步的限制；例如，它们可能被迫位于给定的曲线上等。

根据先前已发展的定理，我们得到了确定各部分端点可能位置的方程，因此我们可以判断是否存在一个确定的配置。

第214条.
无论如何，对于如此确定的分组，积分的第一变分消失了，但这并不意味着出现了最大值或最小值。这个确定是一个在通常的极值理论中出现的问题。因为，一旦找到曲线的各个部分，我们也可以确定它们的积分，这些积分的值只取决于已引入的常数和端点的坐标。因此，我们得到了一个关于有限个变量的普通函数，问题是这个函数是否真正满足最大值或最小值的条件。这个主题在涉及多个变量的极值理论中进行了探讨。

因此，我们至少可以确定曲线的特定形成是否满足问题。例如，要求一条曲线依次经过点1、2和3，并且在具有最小周长的同时内接一个给定的表面积。这条曲线由三部分组成，分别经过1和2、2和3、3和1。如果给定的表面积足够大，这些部分是半径相等的圆弧。这个半径要根据给定的表面积的值来确定。

积分 $I^{(0)}$ 是出现在常数中的函数，可以证明，当常数被正确确定时，该积分实际上是最小值。

但是，如果表面积不够大，那么曲线的各个部分必须部分重叠，重叠的部分是直线。曲线不能以完全自由变化的点结束；因为如果是这种情况，我们就可以改变这个点，使表面积保持不变，而它的长度变短。这些点必须位于穿过三个给定点的直线上。

因此发现，这条曲线实际上由三个圆弧组成，它们以相同的半径描述，相互接触，并延伸成穿过给定点的直线，如图所示。

第215条.
可以看出，问题的解与点1、2、3的相对位置无关；因为我们可以在直线上前后滑动点1、2、3，而不会使曲线失去长度最小的特性。只有在直线与圆弧相交的点的选择方式才是重要的。这些点对应于点1、2、3，可以表示为1'、2'、3'。如果将部分2' 1' 1视为固定边界，并且 3' 1' 的端点沿其变化，那么从已经给出的定理（第206条）可以推断出，3' 1' 必须与边界相切，使得曲线 3' 1' 1 的方向不发生突然变化。因此，每两个圆弧必须在它们相交的点处相切。由于圆弧的半径相等，所以可以推断出，三个圆弧的中心构成一个等边三角形，因此三个圆弧的长度相等。因此，每两条直线形成一个 $120^{\circ }$ 的角，因此问题的解是唯一确定的。上述问题是由 Todhunter 在 1865 年的数学三一考试中提出的。他对此进行了探讨（变分法的研究，第 44 页及以下）。