变分法/第十六章

第十六章：确定给定长度和给定端点的曲线，其重心最低。

• 216 问题的陈述。
• 217 必要条件
• 218 关于固定准线，穿过两个给定点的给定长度的悬链线的数量。
• 219 唯一确定的常数。

第 216 条.
要解决本章的问题，让 $Y$-轴垂直取向，正方向向上，并用 $S$ 表示整个曲线的长度。如果重心的坐标为 $x_{0},y_{0}$，那么 $y_{0}$ 由以下方程确定

$y_{0}=S\int _{t_{0}}^{t_{1}}y{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}{\text{d}}t$，其中 $S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}{\text{d}}t$

问题是：因此确定 $x$ 和 $y$ 作为 $t$ 的函数，第一个积分将是最小值，而第二个积分保持一个恒定值。 （参见第 16 条）。

重心尽可能低的性质也必须对曲线的每个部分都满足；因为如果这不是真的，那么我们就可以用相同长度但重心更低的另一部分替换曲线的一部分，结果是整个曲线的重心可以下移，因此原始曲线将不具备所需的最小性质。

这里我们有

$F^{(0)}=y{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\qquad F^{(1)}={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

$F=(y-\lambda ){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

因此

${\frac {\partial F}{\partial x'}}={\frac {x'(y-\lambda )}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}={\frac {-x'y'(y-\lambda )}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}\qquad {\frac {\partial F}{\partial y'}}={\frac {y'(y-\lambda )}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

$F_{1}={\frac {y-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}$

我们永远排除两个给定点位于同一条垂线上这种情况，因为在这种情况下 $S$ 的积分不总是表示曲线的绝对长度；例如，当曲线的一部分自身重叠时。同样地，我们也排除给定长度 $S$ 恰好等于直线上两点之间距离的情况；因为在这种情况下，曲线不能改变，同时保持恒定的长度。

第 217 条.
由于 $F_{1}$ 必须为正数，需要最小值，因此 $(y-\lambda )>0$。此外，由于 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 沿着整条曲线以连续的方式变化，并且由于这些量与方向余弦只相差因子 $y-\lambda$，该因子以连续的方式变化，因此曲线在任何地方都以连续的方式改变其方向。

函数 $F$ 与第 7 条中出现的函数 $F$ 相同，只是这里我们有 $y-\lambda$ 代替了那个问题中的 $y$。由于这里微分方程必须与前面提到的问题中相同，因此我们必须将所需的曲线表示为

$x=\alpha \pm \beta t\qquad y=\lambda +{\frac {\beta (e^{t}+e^{-t})}{2}}$

即悬链线的方程。

由于 $y-\lambda >0$，因此 $\beta$ 是一个正的常数。对于 $S$，我们有：

$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}{\text{d}}t={\frac {\beta }{2}}{\big [}e^{t_{1}}+e^{-t_{1}}-(e^{t_{0}}+e^{-t_{0}}){\big ]}$

第 218 条.
接下来我们研究悬链线是否以及如何通过两点且具有长度 $S$，也就是说，是否以及以多少种不同的方式可以根据 $S$ 和给定点的坐标来确定常数 $\alpha ,\beta ,\lambda$。如果我们用 $a_{0},b_{0},a_{1},b_{1}$ 表示这些点的坐标，则有：

$a_{0}=\alpha \neq \beta t_{0}\qquad a_{1}=\alpha \neq \beta t_{1}$

$b_{0}=\lambda +{\frac {\beta }{2}}(e^{t_{0}}+e^{-t_{0}})\qquad b_{1}=\lambda +{\frac {\beta }{2}}(e^{t_{1}}+e^{-t_{1}})$

$S={\frac {\beta }{2}}{\big [}e^{t_{1}}+e^{-t_{1}}-(e^{t_{0}}+e^{-t_{0}}){\big ]}$

因此

$a_{1}-a_{0}=\pm \beta (t_{1}-t_{0})\qquad b_{1}-b_{0}={\frac {\beta }{2}}{\big [}e^{t_{1}}+e^{-t_{1}}-(e^{t_{0}}+e^{-t_{0}}){\big ]}$

我们假设$t_{1}>t_{0}$，因此，当$a_{1}-a_{0}>0$或$a_{1}-a_{0}<0$时，我们必须取上或下符号。很明显，我们可以始终取$a_{1}-a_{0}>0$，因为我们可以交换点$a_{1},b_{1}$与点$a_{0},b_{0}$，反之亦然。

因此，我们将取上符号。如果我们写成

${\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}=\mu \qquad {\frac {t_{1}+t_{0}}{2}}=\nu$

那么$\mu$是一个正数，我们有

$a_{1}-a_{0}=+2\mu \beta$

$b_{1}-b_{0}={\frac {\beta }{2}}{\big (}e^{\mu }-e^{-\mu }{\big )}{\big (}e^{\nu }-e^{-\nu }{\big )}$

$S={\frac {\beta }{2}}{\big (}e^{\mu }-e^{-\mu }{\big )}{\big (}e^{\nu }+e^{\nu }{\big )}$

${\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}={\frac {1-e^{-2\nu }}{1+e^{-2\nu }}}=-{\frac {1-e^{2\nu }}{1+e^{2\nu }}}$

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}\nu }}\left({\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}\right)={\frac {4}{(e^{\nu }+e^{-\nu })^{2}}}$

由于该导数始终为正，表达式 ${\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}$ 以连续的方式在 $-1$ 到 $+1$ 之间变化，而 $\nu$ 从 $-\infty$ 增加到 $+\infty$。因此，对于 $\nu$ 的每个实数值，存在且仅存在一个 ${\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}$ 的实数值，该值位于 $-1$ 和 $+1$ 之间，反之亦然，对于 ${\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}$ 的每个值位于 $-1$ 和 $+1$ 之间，存在且仅存在一个 $\nu$ 的实数值。由于我们排除了 $S$ 等于两给定点之间直线距离的情况，因此，$S$ 始终大于 $b_{1}-b_{0}$，因此，${\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}$ 实际上是一个真分数。因此，$\nu$ 通过 ${\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}$ 被 *唯一* 确定。

第219条.
我们还有

${\frac {S}{a_{1}-a_{0}}}={\frac {e^{\mu }-e^{-\mu }}{2\mu }}{\frac {e^{\nu }+e^{-\nu }}{2}}$

或者

${\frac {2\mu }{e^{\mu }-e^{-\mu }}}={\frac {a_{1}-a_{0}}{S{\sqrt {1-\left({\frac {b_{1}-b_{0}}{S}}\right)^{2}}}}}={\frac {a_{1}-a_{0}}{\sqrt {S^{2}-(b_{1}-b_{0})^{2}}}}$

右手边是一个给定的正数，我们可以用 $M$ 来表示。可以看出

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}\mu }}\left({\frac {2\mu }{e^{\mu }-e^{-\mu }}}\right)=-2{\frac {[(\mu -1)e^{\mu }+(\mu +1)e^{-\mu }]}{(e^{\mu }-e^{-\mu })^{2}}}$

根据定义，$\mu$ 始终大于 $0$。如果 $\mu$ 位于 1 和 $\infty$ 之间，则等式右侧始终为负。此外，表达式 $(\mu -1)e^{\mu }+(\mu +1)e^{-\mu }$ 的微分商从不小于 $0$，当 $\mu$ 从 $0$ 到 1 变化时，它连续增加，因此 ${\frac {2\mu }{e^{\mu }-e^{-\mu }}}$ 的微分商连续为负，因此

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}\mu }}\left({\frac {2\mu }{e^{\mu }-e^{-\mu }}}\right)<0$ 对于 $0<\mu <\infty$

因此，表达式${\frac {2\mu }{e^{\mu }-e^{-\mu }}}$，或数量$M$，当$\mu$从 0 取值到$\infty$时，会从 1 连续减小到 0，因此对于$M$位于 0 和 1 之间的每个值，只有一个$\mu$位于 0 和$\infty$之间。

由于根据假设$M$始终是正真分数，因此从上述可知，$\mu$通过给定量唯一确定。通过$\mu$和$\nu$以及其他给定量，我们也可以唯一地确定$\alpha ,\beta ,\lambda$；因此，如果$S$取足够大的值，可以在给定点之间放置一条且只有一条满足给定条件的悬链线。

因此，如果存在一条曲线是问题的解，那么这条曲线是悬链线。我们还没有证明这条曲线的第一积分实际上是最小值。关于此的充分条件将在下一章中阐述。