变分法/第十七章

第十七章：充分条件。

• 22 不使用二阶变分求解问题。
• 221 ${\mathcal {E}}$-函数。
• 222 此函数导致的后果。
• 223 关于最大化或最小化积分的曲线的场。
• 224 关于包络空间性质的进一步讨论。
• 225 位于第一个包络空间内的包络空间的性质。
• 226 ${\mathcal {E}}$ 条件的充分性。
• 227 假设通过初始点和包络空间中的任何其他点，只能绘制一条满足微分方程的曲线（参见第 230 条）。
• 228 ${\mathcal {E}}$-函数不能在位于包络空间内的整条曲线上为零（参见第 230 条）。
• 229 已使用积分的含义扩展。

第 220 条.
与自由变分情况类似（参见第 159 条），也有一种方法可以完全解决受限变分的一般问题，而无需使用二阶变分。设通过积分变分找到微分方程。所求曲线必须满足此方程。设正在考虑的曲线部分的限制条件为：对于其上的每个点，$F^{(0)}$ 和 $F^{(1)}$ 是 $x,y,x',y'$ 的正则函数，并且在该点上，函数 $F_{1}$ 不会变为零或无穷大。曲线部分包含奇点的案例将在每个特定问题的特殊调查中进行处理。

第 221 条.
设 1 是正在考虑的曲线部分的端点。通过此曲线上的任意点 2，绘制任何正则曲线，并在其上取一点 3，使 3 非常靠近 2，以至于我们可以通过一条满足微分方程的曲线连接 0 和 3。线 0 3 2 1 是 0 1 的一个可能的变分。通过此变分，积分

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

通过此变分所产生的变化将采用以下形式（第 205 条）

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}^{(0)}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

其中 $\sigma$ 是在正方向上取的 2 3 的长度；$p_{2},q_{2}$ 表示 02 在 2 处的方向余弦；${\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2}$，$3'2$ 在 2 处的方向余弦，$x_{2},y_{2}$ 是 2 的坐标。

如果我们有两个积分，如果变化使得两个积分中的一个保持不变，如果 $I_{(1)}$，${\mathcal {E}}^{(1)}$，$G^{(1)}$ 表示第二个积分的对应量，那么我们有

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}^{(0)}\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

$0={\mathcal {E}}^{(1)}\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

因此，如果我们像往常一样，用 ${\mathcal {E}}$ 表示量 ${\mathcal {(0)}}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)}$，那么是

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}\sigma +\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G^{(0)}-\lambda G^{(1)}){\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

并且，如果曲线满足微分方程$G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，则可以得出

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}\sigma +\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

从这个等式可以看出，函数${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 在曲线的整个部分上对于任何两对值 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 都不可能有相反的符号，因为 $\Delta I^{(0)}$ 必须始终具有相同的符号。

第 222 条.
正如第 157 条一样，我们可以将${\mathcal {E}}$ 写成以下形式

${\mathcal {E}}(x,t,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(q{\bar {p}}-p{\bar {q}})^{2}\int _{0}^{1}[F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})](1-k){\text{d}}k$

其中 $p_{k}=(1-k)p+k{\bar {p}}\qquad q_{k}=(1-k)q+k{\bar {q}}$

从前一节立刻可以得出

$F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})$

对于任何 $p,q$ 的值，都不可能具有不同符号的值。

然而，反之则不成立。 （参见第 160 节）。条件 ${\mathcal {E}}$ 不能改变其符号，就所有任意方向 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 而言，具有更进一步的意义。

对于沿着曲线 01 的垂直于该曲线平面的直立线。在这些垂线上取长度等于第二个积分的值，其中在每种情况下，积分从 0 到垂足。然后对于曲线 01，在空间中有一个对应曲线 $01'$，其中空间中的点用与平面中点相对应的索引标记。

因此，对于通过点 0 且位于该平面中的每条曲线，在空间中都有一条对应曲线。我们说，空间中的曲线满足问题的微分方程，如果它的投影满足微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，虽然 $\lambda$ 对所有曲线不必具有相同的值。

第 223 节.
现在假设我们可以用以下方式将空间中的曲线 $01'$ 包络起来：点 0 位于边界上，点 1' 位于包络空间内；此外，必须能够从 0 画出至少一条满足微分方程的曲线到该包络空间内的每个点；而且，当从 0 到包络空间内的任何点 $P$ 画出这样的曲线，就必须能够在 0 和 $P$ 的邻近点之间画出一条也满足微分方程的曲线。该曲线必须尽可能靠近第一条曲线，并且相关的 $\lambda$ 之间的差异仅为任意小的量。

如果端点在包络空间内描述一条连续曲线，那么我们可以画出一系列曲线，对应于端点的连续位置，这些曲线满足微分方程。

第 224 节.
我们将在下一章中证明，如果曲线 01 要提供一个最大值或最小值，那么必须存在一个如上所述的包络空间。有些例外情况需要单独处理。

为了使基本要点尽可能清晰，我们首先可以假设这样一个空间的存在。我们上面看到，函数 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 沿整个曲线对于 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 的任意值不可能具有不同的符号。由此我们推断，一般情况下 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 对于满足微分方程的其他曲线，不会具有不同符号的值。这些曲线偏离原曲线位置的方向当然是在一定的限度内，相应的 $\lambda$ 与原曲线的 $\lambda$ 相差很小。如果积分

$\int _{0}^{1}[F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})](1-k){\text{d}}k$

沿第一条曲线处处不为零，则情况肯定属实。

除了上面积分变为零的情况外，我们还有一个必要的条件，即必须能用一个曲面的部分包围曲线 01 的一部分，在该曲面的边界上点 0 位于，这样在该曲面部分内，函数 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 沿通过 0 的任何曲线不会具有不同符号的值，这些曲线位于所讨论的曲面部分内，假设它们都满足微分方程，并且 $\lambda$ 的值差对于所有曲线来说都足够小。（参见第 156 节）。

第 225 条.
同样的考虑也适用于点 ${\bar {0}}$，它位于同一条曲线 01 上点 0 的前面，因此 01 完全位于相应的曲面部分内，我们最初包围的空间（包括点 1'）可以这样形成，使其完全位于由该第二个曲面包围的空间内。

假设上面积分的积分现在从点 ${\bar {0}}$ 开始，而不是像以前一样从点 0 开始。保留我们以前使用的符号，令点 0' 在空间中对应于点 0，并用一条规则曲线连接 0' 和 1'，这条曲线完全位于包围的空间内。

这条曲线是完全任意的，并且服从这样的条件：如果 2 是任何点 2' 在 $xy$ 平面的投影，则和

$I_{{\bar {0}}0}^{(1)}+{\bar {I}}_{02}^{(1)}$

等于将点 2' 投影到垂直线上的长度，其中我们使用符号 $I$ 来表示沿满足微分方程的确定曲线的积分，而 ${\bar {I}}$ 表示沿任意曲线的积分，其中索引表示积分的极限和方向。可以从 ${\bar {0}}$ 画出满足微分方程的曲线到包络空间中的每个点 2'，并且这条曲线除了点 ${\bar {0}}$ 之外，都位于包络的空间部分内。这些曲线必须具有以下性质，在假设成立的情况下，这始终是可能的：从 ${\bar {0}}1'$ 开始，后续曲线始终是前面曲线的变体。

第 226 条.
我们将任意曲线的投影点坐标视为从点 1 开始计算的弧长函数，并考虑和 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$.

根据空间中点之间的固定关系，无论点 2 在曲线 021 上的何处，我们始终有

$I_{{\bar {0}}2}^{(1)}+{\bar {I}}_{{\bar {2}}1}^{(1)}=I_{{\bar {0}}01}^{(1)}$

因此，积分 $I^{(1)}$ 没有变化。

设部分 1 2 的长度增加 $\sigma$。由此导致的 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$ 的变化等于

${\mathcal {E}}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

其中 $p_{2},q_{2}$ 是 ${\bar {0}}2$ 在 $2,{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2}$ 的方向余弦，1 2 在 2 处的方向余弦。再次设弧长 1 2 减少 $\sigma$。由此，$I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$ 所经历的变化等于

$-{\mathcal {E}}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

由于 $\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 随着 $\sigma$ 变得无限小，量 ${\mathcal {E}}(x_{2},y_{2},p_{2},q_{2},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})$ 表示和 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}$ 的微商商，该和被视为弧长 12 的函数（参见第 161 条）。

如果点 2 与 1 重合，则 $I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}=I_{01}$，如果 2 与 0 重合，我们有

$I_{{\bar {0}}2}+{\bar {I}}_{21}=I_{{\bar {0}}0}+{\bar {I}}_{01}$

因此得出 

1) 如果 ${\mathcal {E}}$ 沿 $021$ 不是正的，且不是处处为零，则

${\displaystyle }$

2) 如果 ${\mathcal {E}}$ 沿 $021$ 不是负的，且不是处处为零，则

${\displaystyle }$

第 227 条.
在下章中将证明，我们可以假设包裹 ${\bar {0}}01$ 的曲面带非常窄，使得点 ${\bar {0}}$ 可以与该包裹空间内的任何其他点通过一条且仅一条曲线连接，该曲线满足微分方程。当然，该曲线必须完全位于包裹空间内。假设如此，则积分 $I_{01}$ 等同于 $I_{{\bar {0}}01}$，此外，积分 $I_{{\bar {0}}0}$ 等同于 $I_{{\bar {0}}01}$ 的一部分，该部分取自曲线 ${\bar {0}}0$。

因此我们有

在情况 1) 中，$I_{01}>{\bar {I}}_{01}$；

在情况 2) 中，$I_{01}<{\bar {I}}_{01}$。

因此，除了函数 ${\mathcal {E}}$ 在整条曲线上都为零的情况外，满足微分方程的曲线的最大值和最小值性质都得到了证明。

第 228 条.
我们将证明，对于在构造的域中积分

$\int _{0}^{1}(F_{1}^{(0)}-\lambda F_{1}^{(1)})(1-k){\text{d}}k$

如果 ${\mathcal {E}}$ 不为零，则函数 ${\mathcal {E}}$ 在 0 到 1 之间的整条曲线上不能为零；或者，换句话说，在整条曲线上都不可能满足：

$p{\bar {q}}-{\bar {p}}q=0$

在证明了这个定理对于一条正则曲线成立后，我们可以将它推广到由正则部分组成的曲线；因为，正如已经多次证明的那样，考虑的曲线上方向的突然变化对已经得出的结论没有影响。

最后，对于任意可以在 0 到 1 之间绘制的曲线，并且足够靠近满足微分方程的曲线，同样也是成立的，但这仅仅是在这两个积分对于这些曲线有意义的情况下成立。

第 229 条.
与第 165 条中所示类似，积分的意义可以扩展，如果将这些积分替换为在考虑的曲线上的一系列点连接的一系列正则曲线部分上取的积分的总和。然后需要证明，当这些总和通过增加点数和减少这些点之间的距离而接近有限的固定值时，这些极限值同时也是原始积分的值。当然，这样确定的第二个积分 $I^{(1)}$ 的极限值必须与为它规定的值相同。

如果在任意曲线上取的积分在这个意义上具有确定的值，那么很明显，例如在最大值的情况下，在该曲线上取的积分 $I^{(0)}$ 不能大于在满足微分方程的曲线上取的积分。因为我们可以用正则曲线部分形成一条曲线，它的积分与积分 $I^{(0)}$ 的差异尽可能小，因此也大于在满足微分方程的曲线上取的积分。根据假设，这是不可能的。因此，该积分必须小于这个积分，我们还可以通过以下方式证明：设 2 是任意曲线上的一个点，它足够靠近 01，那么我们可以画出两条满足微分方程的曲线部分，一条从 0 到 2，另一条从 2 到 1，对应的空间曲线分别为 0' 2' 和 2' 1'。我们可以在 0' 2' 和 2' 1' 周围限制一个空间部分，与在 0' 1' 周围所做的类似，并具有类似的性质。如果围绕 0' 1' 的空间部分取的足够小，那么任意曲线将位于包围 0' 2' 和 2' 1' 的空间部分内。

因此，在该曲线上取的积分根据上面的内容，不大于在满足微分方程的两条曲线部分上取的积分；但这是小于 $I_{01}$ 的，因此任意曲线的积分也小于 $I_{01}$。

我们必须在此指出一个默默做出的限制：我们以这样的方式追踪曲线 0 2 1，使得对应的空间曲线位于上面定义的空间部分内。现在，在以 01 为中心的任意小的区域内，可能存在曲线 02 1，使得对应的空间曲线不落在限制的空间部分内，对于这种变化，最大值和最小值性质并不能通过我们的结论得出。我们的证明仅涉及在相应的点处，当坐标变化时，第二个积分的值的变化同时变得无限小的变化。