变分法/第十八章

第十八章：证明前一章中假设的两个定理。

230 本章证明的两个定理是

1) 有可能在满足问题微分方程的曲线的周围构造一个空间部分，使得总是可以将此有限空间中的任何点与初始点通过一条且仅一条同样满足微分方程的曲线连接起来。

2) 函数

{\mathcal {E}}

不能在这样的空间部分内的整条曲线上消失。

231 空间中曲线的方程。坐标用幂级数表示。
232 通过其初始点和初始方向确定的曲线。两条曲线通过同一个初始点且初始方向相差给定小量的条件。
233 其中一条曲线通过另一条曲线上某点的邻域中的点的条件。由这些条件产生的行列式 $D(t_{0},t)$ 。
234 与此行列式相关的共轭点。
235 其中端点互为共轭点的情况。
236 微分方程 $G=0$ 和行列式 $D(t_{0},t)$ 。
237 行列式 $D(t_{0},t)$ 的简化。
238,239,240,241,242 行列式 $D(t_{0},t)$ 在消失时改变符号。
241 一个例外情况。
243 与初始点共轭的点是通过初始点的邻近曲线的交点的极限。
244 当在行列式 $D(t_{0},t)$ 中，量 $t_{0}$ 以连续的方式变化时，与 $t_{0}$ 共轭的点也以连续的方式变化。
245,246,247,248 证明定理：包括共轭点的曲线部分可以如此变化，使得其中一个积分的总变化可以是正数或负数，而另一个积分保持不变。
249,250,251,252 函数 ${\mathcal {E}}$ 不能在上述定义的空间部分内的整条曲线上消失。
253,254,255,256 等周问题情况下， ${\mathcal {E}}$ -函数。
256,257 重心最低的曲线情况下， ${\mathcal {E}}$ -函数。

第230条.
本章给出了以下定理的证明

$1^{\circ }$ . 有可能在满足问题微分方程的曲线的周围构造一个空间部分，使得总是可以将此有限空间中的任何点与初始点通过一条且仅一条同样满足微分方程的曲线连接起来。

$2^{\circ }$ . 函数 ${\mathcal {E}}$ 不能在这样的空间部分内的整条曲线上消失。

设满足微分方程的曲线的坐标 $x,y$ 可以用一个参数 $t$ 的函数表示。这些函数包含三个任意常数：两个积分常数 $\alpha$ 和 $\beta$ ，以及一个常数 $\lambda$ 。如果 $x,y$ 和 $z$ 是空间中对应点的坐标，我们有

1)\qquad x=\phi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad z=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y'){\text{d}}t

其中 $t=t_{0}$ 对应于点 ${\bar {0}}$ 。通过改变这三个常数，我们在空间中得到了另一条曲线。要求这条新曲线的投影经过点 ${\bar {0}}$ ，这将在常数 $\alpha ,\beta ,\lambda ,t_{0}+\tau _{0}$ 的增量 $\alpha ',\beta ',\lambda ',\tau _{0}$ 之间建立两个关系式，其中 $t_{0}+\tau _{0}$ 是新方程中对应于点 ${\bar {0}}$ 的 $t$ 值。

第 231 条.
空间中新曲线的方程是

2)

x+\xi =\phi (t+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

y+\eta =\psi (t+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

z+\zeta =\int _{t_{0}+\tau _{0}}^{t+\tau }F^{(1)}\left(x+\xi ,t+\eta ,x'+{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},y'+{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right){\text{d}}t

并且，如果 $x_{0},y_{0}$ 是 ${\bar {0}}$ 的坐标，

3)

x_{0}=\phi (t_{0}+\tau _{0},\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

y_{0}=\psi (t_{0}+\tau _{0},\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

这些方程表示对于 $\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的足够小的值，满足最后两个方程，所有满足微分方程并在 $xy$ 平面上投影的初始方向上与原始曲线的投影的初始方向相差很小的空间曲线。

我们可以用 $\lambda '$ 的幂级数和两个初始方向相互形成的角度的正切来表示 $\tau _{0},\alpha '$ 和 $\beta '$ 。如果这个正切表示为 $k$ ，我们有，如第 148 条，

[\phi '(t_{0})^{2}+\psi '(t_{0})^{2}]k

\qquad =[\psi '(t_{0})\phi ''(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi ''(t_{0})]\tau _{0}+[\psi '(t_{0})\phi _{1}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{1}'(t_{0})]\alpha '+[\psi '(t_{0})\phi _{2}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{2}'(t_{0})]\beta '

$\qquad \qquad +[\psi '(t_{0})\phi _{3}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{3}'(t_{0})]\lambda '+[\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ']_{2}$

其中 $\phi _{3}={\frac {\partial \phi }{\partial \lambda }},\psi _{3}={\frac {\partial \psi }{\partial \lambda }}$ .

第 232 条.
由于两条曲线要经过相同的初始点，我们还有

5)

0=\phi '(t_{0})\tau _{0}+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+\phi _{3}(t_{0})\lambda '+[\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ']_{2}

0=\psi '(t_{0})\tau _{0}+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+\psi _{3}(t_{0})\lambda '+[\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ']_{2}

等式 4）和 5）右边线性项的行列式为

{\begin{vmatrix}\psi '(t_{0})\phi ''(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi ''(t_{0})&\psi '(t_{0})\phi _{1}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{1}'(t_{0})&\psi '(t_{0})\phi _{2}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{2}'(t_{0})\\\phi '(t_{0})&\phi _{1}(t_{0})&\phi _{2}(t_{0})\\\psi '(t_{0})&\psi _{1}(t_{0})&\psi _{2}(t_{0})\end{vmatrix}}

在这个行列式中，我们写

6)\qquad \theta _{v}(t)=\psi '(t)\phi _{v}(t)-\phi '(t)\psi _{v}(t)\qquad (v=1,2,3)

如果我们将第二行乘以 $\psi ''(t_{0})$ ，第三行乘以 $-\phi ''(t_{0})$ ，并将两者加到第一行，则行列式可以写成

{\begin{vmatrix}0&\theta _{1}'(t_{0})&\theta _{2}'(t_{0})\\\phi '(t_{0})&\phi _{1}(t_{0})&\phi _{2}(t_{0})\\\psi '(t_{0})&\psi _{1}(t_{0})&\psi _{2}(t_{0})\end{vmatrix}}

或者

\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t_{0})-\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t_{0})

我们将稍后看到，这个量不为零 [参见第 237 节中方程 13) 的第三个方程]。

因此，我们可以用 $\tau _{0},\alpha ',\beta '$ 表示 $k,\lambda '$ 的幂级数，以便对于任何一对值 $k,\lambda '$ ，只要它们足够小，都对应着空间中的一条曲线。

从微分方程可以类似于第 149 条中所示的方式得出，对于一对值 $k,\lambda '$ ，只有一条曲线与之对应，并且每条曲线都完全由初始点和初始方向决定。因此，我们得出与第 149 条相同的结论，即方程 4) 和 5) 为我们提供了所有与原始曲线相邻的曲线，这些曲线与原始曲线具有相同的端点，并满足微分方程。

第 233 条.
现在我们必须选择常数，以便空间中新的曲线将通过点 $x+\xi ,y+\eta ,z+\zeta$ ，该点位于旧曲线上任何点 $x,y,z$ 的邻域内。如果我们给 / 一个确定的值，并为 $\xi ,\eta ,\zeta$ 取足够小的值，则以下方程必须满足

7)

0=\qquad \phi '(t_{0})\tau _{0}+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+\phi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\qquad \psi '(t_{0})\tau _{0}+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+\psi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\xi =\phi '(t)\tau \qquad +\phi _{1}(t)\alpha '+\phi _{2}(t)\beta '+\phi _{3}(t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\eta =\psi '(t)\tau \qquad +\psi _{1}(t)\alpha '+\psi _{2}(t)\beta '+\psi _{3}(t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\zeta ={\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\eta +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}(y'\xi -x'\eta ){\text{d}}t+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

但是

y'\xi -x'\eta =\theta _{1}(t)\alpha '+\theta _{2}(t)\beta '+\theta _{3}(t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

因此，如果我们写

8)\qquad \Theta _{v}(t_{0},t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}\theta _{v}(t){\text{d}}t\qquad (v=1,2,3)

那么

9)\qquad \zeta ={\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\eta +\Theta _{1}(t,t_{0})\alpha '+\Theta _{2}(t,t_{0})\beta '+\Theta _{3}(t,t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

如果我们用 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的幂级数代替方程式 9) 中的 $\xi$ 和 $\eta$ ，方程式 8) 和 9) 右侧的线性项的行列式在经过微小的变换后变为

D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\phi '(t_{0})&0&\phi _{1}(t_{0})&\phi _{2}(t_{0})&\phi _{3}(t_{0})\\\psi '(t_{0})&0&\psi _{1}(t_{0})&\psi _{2}(t_{0})&\psi _{3}(t_{0})\\0&\phi '(t)&\phi _{1}(t)&\phi _{2}(t)&\phi _{3}(t)\\0&\psi '(t)&\psi _{1}(t)&\psi _{2}(t)&\psi _{3}(t)\\0&0&\Theta _{1}(t_{0},t)&\Theta _{2}(t_{0},t)&\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}

我们假设这个行列式对于 $t$ 的任意值都不为零。这种情况下，以及由此推导出的公式，我们将作为未来研究的例外情况。

第 234 条.
我们称 $t_{0}$ 之后第一个使 $D(t_{0},t)$ 为零的 $t$ 为 $t_{0}$ 的 _共轭_。

因此，如果积分的上限 $t_{1}$ 在 $t_{0}$ 的共轭点之前，曲线就可以包围具有所需性质的空间的一部分。

在这种情况下，如果 $\xi ,\eta ,\zeta$ 被选择得足够小，则总是可以将 $\tau ,\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda '$ 表示为 $\xi ,\eta ,\zeta$ 的幂级数，因此可以构建一条且仅有一条满足微分方程的空间曲线，该曲线经过点 ${\bar {0}}$ 和点 $x+\xi ,y+\eta ,z+\zeta$ ，并且其位置与原始曲线相差任意小。对于这些不同的空间曲线，对应着不同的函数 $D(t_{0},t)$ 。然而，如果这些曲线足够接近原始曲线，则对应于它们的函数 $D$ 在它们上的任何点都不会消失，因此可以通过这些曲线上的任何点的足够小的邻域中的任何点绘制一条从 ${\bar {0}}$ 出发的曲线，该曲线满足微分方程。

第 235 条.
剩下的问题是要证明，如果与 $t_{0}$ 共轭的点位于 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之间，积分值不会出现最大值或最小值。

由于点 ${\bar {0}}$ 可以选择得任意接近 0，并且由于与 $t$ 共轭的点随 $t_{0}$ 连续变化，只需要证明 $t_{1}$ 不能位于 0 和与其共轭的点之间。然后我们证明了除 $t_{1}$ 与 0 的共轭点重合的情况以外的所有情况。这种情况我们必须再次进行特殊调查，因为曲线可能出现最大值或最小值，也可能不出现（参见第 132 条）。

要严格证明上述内容，需要对函数 $D(t_{0},t)$ 进行深入研究。

第 236 条.
通过常数变化得到的空间曲线，由其在点 ${\bar {0}}$ 处的投影的初始方向以及必须满足的微分方程 $G^{(0)}-(\lambda -\lambda ')G^{(1)}=0$ 所确定。由此，也可以推断函数 $D(t_{0},t)$ 的性质。

我们执行 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}$ 在 $\alpha ,\beta ,\lambda$ 发生变化 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 时所发生的改变。方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}$ 必须对于 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的任意值都为零。

我们有

\Delta G=G^{(0)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(0)}(x,y)-\lambda [G^{(1)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(1)}(x,y)]-\lambda 'G^{(1)}(x,y)

与第 133 页公式 (b) 中所述类似，我们有

G^{(0)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(0)}(x,y)=F_{2}^{(0)}(y'\xi -x'\eta )-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}^{(0)}{\frac {{\text{d}}(y'\xi -x'\eta )}{{\text{d}}t}}\right)+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}

G^{(1)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(1)}(x,y)=F_{2}^{(1)}(y'\xi -x'\eta )-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}^{(1)}{\frac {{\text{d}}(y'\xi -x'\eta )}{{\text{d}}t}}\right)+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}

因此

\Delta G=F_{2}(y'\xi -x'\eta )-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}(y'\xi -x'\eta )}{{\text{d}}t}}\right)-\lambda 'G^{(1)}+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}

将 $y'\xi -x'\eta$ 在 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 幂级数展开后的第一维项为

\theta _{1}(t)\alpha '+\theta _{2}(t)\beta '+\theta _{3}(t)\lambda '

用 ${\bar {w}}$ 表示。那么我们有

11)\qquad -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}{\bar {w}}}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}{\bar {w}}-\lambda 'G^{(1)}(x,y)+(\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

由于这个量对于 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的任意值必须为零，因此该表达式在展开为幂级数时，各个项的系数必须为零。如果我们只考虑线性项，并在不产生混淆的情况下使用函数自身表示函数，则有以下三个微分方程

12)

F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}\theta _{1}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-F_{2}\theta _{1}=0

F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}\theta _{2}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}-F_{2}\theta _{2}=0

F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}\theta _{3}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}-F_{2}\theta _{3}-G^{(1)}=0

如果我们用 $\theta _{3}$ 乘第一个方程，用 $-\theta _{1}$ 乘第二个方程，并将结果相加，得到

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]=\theta _{1}G^{(1)}

类似地，如果我们用 $\theta _{3}$ 乘第二个方程，用 $-\theta _{2}$ 乘第三个方程，然后将结果相加，得到

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}-\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]=\theta _{2}G^{(1)}

最后，如果我们将第一个等式乘以 $\theta _{2}$ ，并将第二个等式乘以 $-\theta _{1}$ ，然后相加，我们得到：

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}\left(\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}\right)\right]=0

第 237 条.
从这些等式可以得出：

13)

\Theta _{1}(t_{0},t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\theta _{1}G^{(1)}{\text{d}}t=\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]_{t_{0}}^{t}

\Theta _{2}(t_{0},t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\theta _{2}G^{(1)}{\text{d}}t=\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}-\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]_{t_{0}}^{t}

F_{1}\left(\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}\right)=C

常数 $C$ 不能为零；否则我们会得到

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\big (}\log \theta _{1}{\big )}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\big (}\log \theta _{2}{\big )}

或 $\theta _{1}=C_{1}\theta _{2}$ .

但是，很容易看出，行列式 $D(t_{0},t)$ 可以写成以下形式

14)\qquad D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\\Theta _{1}(t_{0},t)&\Theta _{2}(t_{0},t)&\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}

如果 $\theta _{1}(t)=C_{1}\theta _{2}(t)$ ，那么也应该有 $\Theta _{1}(t_{0},t)=C_{1}\Theta _{2}(t_{0},t)$ ，行列式 $D(t_{0},t)$ 将会消失，因为有两列只差一个常数因子；而这是对于 $t$ 的任意值都成立，而这种情况已经被我们排除。因此，常数 $C$ 不能为零。

第 238 条.
接下来我们证明行列式 $D(t_{0},t)$ 在它消失时会改变符号。我们有

15)\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{1}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{2}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\\\Theta _{1}(t_{0},t)&\Theta _{2}(t_{0},t)&\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}

由于 8)，我们有

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{v}(t_{0},t)=G^{(1)}\theta _{v}(t)

因此第一个行列式消失，剩下

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{1}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{2}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{3}(t_{0},t)\\\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\\\end{vmatrix}}

我们引入以下符号

16)

f_{1}(t)=\theta _{2}(t_{0})\theta _{3}(t)-\theta _{3}(t_{0})\theta _{2}(t)

f_{2}(t)=\theta _{3}(t_{0})\theta _{1}(t)-\theta _{1}(t_{0})\theta _{3}(t)

f_{3}(t)=\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}(t)-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}(t)

然后我们可以写成

D(t_{0},t)=\sum _{v=1}^{v=3}f_{v}(t)\Theta _{v}(t_{0},t)

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)=\sum _{v=1}^{v=3}f_{v}'(t)\Theta _{v}(t_{0},t)

因此

17)\qquad f_{3}(t){\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)=[f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{1}(t_{0},t)+[f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{2}(t_{0},t)

或者

18)\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {D(t_{0},t)}{f_{3}(t)}}={\frac {[f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{1}(t_{0},t)+[f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{2}(t_{0},t)}{[f_{3}(t)]^{2}}}

第 239 条.
上述表达式右端的分子的值等于 $F_{1}$ 乘以某个表达式的平方，我们现在将确定这个表达式。

让我们写出

19)\qquad E={\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\end{vmatrix}}=\theta _{1}'(t)f_{1}(t)+\theta _{2}'(t)f_{2}(t)+\theta _{3}'(t)f_{3}(t)

从 16) 立即得出

19^{a})\qquad 0=\theta _{1}(t)f_{1}(t)+\theta _{2}(t)f_{2}(t)+\theta _{3}(t)f_{3}(t)

因此

20)\theta _{2}(t_{0})E=[\theta _{1}'(t)\theta _{2}(t_{0})-\theta _{2}'(t)\theta _{1}(t_{0})]f_{1}(t)+[\theta _{3}'(t)\theta _{2}(t_{0})-\theta _{2}'(t)\theta _{3}(t_{0})]f_{3}(t)=f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)

类似地，我们有

21)-\theta _{1}(t_{0})E=f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)

因此，表达式 18) 可以写成

22)\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {D(t_{0},t)}{f_{3}(t)}}=E{\frac {\theta _{2}(t_{0})\Theta _{1}(t_{0},t)-\theta _{1}(t_{0})\Theta _{2}(t_{0},t)}{[f_{3}(t)]^{2}}}

但由于关系 13)

\Theta _{1}(t_{0},t)={\Big [}F_{1}\left(\theta _{3}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{3}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}

\Theta _{2}(t_{0},t)={\Big [}F_{1}\left(\theta _{3}(t)\theta _{2}'(t)-\theta _{2}(t)\theta _{3}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}

那么

\theta _{2}(t_{0}\Theta _{1}(t_{0},t)-\theta _{1}(t_{0}\Theta _{2}(t_{0},t)={\Big [}F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}-{\Big [}F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}

第 240 条.
此外，我们有

{\Big [}F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}={\Big [}F_{1}\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}\theta _{3}(t_{0})+F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t)\right)-F_{1}\theta _{3}(t_{0})\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right)

但由于 13) 中的第三个关系式，表达式 $F_{1}[\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)]$ 与 $t$ 无关，因此右手边的第一个项为零，因此

23)\qquad \theta _{2}(t_{0})\Theta _{1}(t_{0},t)-\theta _{1}(t_{0})\Theta _{2}(t_{0},t)=F_{1}(t){\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\end{vmatrix}}=F_{1}E

因此，方程 22) 变为

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {D(t_{0},t)}{f_{3}(t)}}={\frac {F_{1}(t)E^{2}}{[f_{3}(t)]^{2}}}

第 241 条.
假设 $D(t_{0},t)$ 在值 $t=t'$ 时为 $k$ 阶零点，因此 $D(t_{0},t)$ 的展开式以 $t-t'$ 的 $k$ 次幂开始。

如果 $f_{3}(t)$ 在 $t=t'$ 时不为零，则

f_{3}(t){\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)

的展开式以 $(k-1)$ 次幂开始。但此表达式等于 $F_{1}E^{2}$ ，并且根据我们的假设， $F_{1}$ 在区间 $t_{0}\ldots t_{1}$ 内的任何点都不会变为零或无穷大，因此可以看出 $F_{1}E^{2}$ 一定以偶数幂开始。因此， $k-1$ 是一个偶数，因此 $k$ 是一个奇数，因此 $D(t_{0},t)$ 在消失时必须改变符号。

假设 $f_{3}(t)$ 在 $t=t'$ 处消失，则 $f_{3}'(t)$ 不能消失；因为从等式[参见16)]

\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t)-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t)=0

\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t')-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t')=0

可以得出，如果 $\theta _{1}(t_{0})$ 和 $\theta _{2}(t_{0})$ 不同时为零，则

\theta _{1}(t')\theta _{2}'(t')-\theta _{2}(t')\theta _{1}'(t')=0

但这个等式，以及 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 在值 $t=t_{0}$ 处的同时消失，与等式13)矛盾

F_{1}[\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)]=C

因为，正如我们所见， $C$ 不同于0，而 $F_{1}$ 既不为零也不为无穷大。

因此 $f_{3}(t)$ 和 $f_{3}'(t)$ 不会同时消失。如果 $f_{3}(t)$ 在 $t=t'$ 处消失，那么 $f_{3}(t)$ 关于 $t-t'$ 的展开式以一次项开始。

因此，我们可以写成

D(t_{0},t)=A(t-t')^{k}+\cdots \qquad f_{3}(t)=c(t-t')+\cdots

由此可知，

f_{3}(t){\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)

以以下项开始展开：

cA(k-1)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)

除非 $k=1$ ，在这种情况下该项的系数为零。在这种情况下，什么也没有证明，但请参见下一篇文章。

对于 $k=1$ ，很明显 $D(t_{0},t)$ 在消失时改变符号。

第 242 条.
接下来我们将证明，如果 $f_{3}(t)$ 消失， $E$ 只能在同时 $f_{1}(t)=0=f_{2}(t)$ 时为零。我们在前一篇文章中看到，量 $\theta _{1}(t_{0})$ 和 $\theta _{2}(t_{0})$ 不能同时为零。如果 $\theta _{1}(t_{0}){\overset {<}{>}}0$ ，那么根据关系式 [公式 21] 可知

f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)=-\theta _{1}(t_{0})E

当 $E=0$ 且 $f_{3}(t)=0$ 时，也有 $f_{2}(t)=0$ ，以及从

0=\theta _{1}(t_{0})f_{1}(t)+\theta _{2}(t_{0})f_{2}(t)+\theta _{3}(t_{0})f_{3}(t)

可以看出 $f_{1}(t)=0$ .

类似地，当 $\theta _{2}(t_{0}){\overset {<}{>}}0$ 时，从方程

f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)=\theta _{2}(t_{0})E

可以看出 $f_{1}(t)=0$ ，如果 $E=0=f_{3}(t)$ ，因此，也有 $f_{2}(t)=0$ .

但如果 $E$ 在 $t=t'$ 时不消失，那么 $k=0$ ，因此， $D(t_{0},t)$ 在 $t=t'$ 时不消失。因此，我们已经证明 D(io i) 在 $D(t_{0},t)$ 时不消失。因此，D(to, /) 在消失时改变符号，除非我们同时有

f_{1}(t)=0=f_{2}(t)=f_{3}(t)

在这种情况下，尚未证明它是否改变符号。因此，我们必须分别考虑每种情况（见第 255 条）。

第 243 条.
如果我们假设 $f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)$ 中至少一个量不等于零，我们可以给出共轭点的几何意义。

当常数 $\alpha ,\beta ,\lambda$ 增加 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 时，空间中会产生新的曲线。这些曲线中的一条与原始曲线在点 $t''$ 相交的条件是[见方程式 7）和 9）] 通过以下方程式表达

25)

0=\phi '(t_{0})\tau _{0}+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+\phi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\

0=\psi '(t_{0})\tau _{0}+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+\psi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\phi '(t'')\tau +\phi _{1}(t'')\alpha '+\phi _{2}(t'')\beta '+\phi _{3}(t'')\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\psi '(t'')\tau +\psi _{1}(t'')\alpha '+\psi _{2}(t'')\beta '+\psi _{3}(t'')\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\qquad \Theta _{1}(t_{0},t)\alpha '+\Theta _{2}(t_{0},t)\beta '+\Theta _{3}(t_{0},t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

或者，如果我们消去 $\tau _{0}$ 和 $\tau$ ，

0=\theta _{1}(t_{0})\alpha '+\theta _{2}(t_{0})\beta '+\theta _{3}(t_{0})\lambda '+(\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\theta _{1}(t'')\alpha '+\theta _{2}(t'')\beta '+\theta _{3}(t'')\lambda '+(\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\Theta _{1}(t_{0},t)\alpha '+\Theta _{2}(t_{0},t)\beta '+\Theta _{3}(t_{0},t)\lambda '+(\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

消去 $\alpha '$ 和 $\beta '$ 得

26)\qquad 0=D(t_{0},t'')\lambda '+(\lambda ')_{2}

或

0=D(t_{0},t'')\lambda '+(\lambda ')

如果 $D(t_{0},t'')$ 不等于零，我们可以取 $\lambda '$ 为任意小的极限值，使得对于所有绝对值小于该极限值的 $\lambda '$ ，我们总有

|D(t_{0},t'')|>|(\lambda ')|

因此，找不到任何 $t'$ 值满足方程 26）。

如果 $t'$ 是一个确定的 $t''$ 值，使得 $D(t_{0},t'')$ 不等于零，那么在一定区间 $t'-\tau _{1},\ldots ,t'+\tau _{2}$ 内不会有 $t''$ 值满足方程 26）。因此，在所有空间曲线中，对于 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 具有足够小值的曲线，没有一条曲线在 $t'$ 附近与原始曲线相交。

然而，如果我们取 $t''$ 为包含 $t'$ （与 $t_{0}$ 共轭）的区间 $t'-\tau \ldots t'+\tau$ ，那么情况就完全不同了，因为在此区间内， $D(t_{0},t'')=0$ 。因为当 $t''=t'-\tau$ 和 $t''=t'+\tau$ 时， $D(t_{0},t'')$ 具有相反的符号。因此，在确定了任意小的值 $\tau$ 之后，我们总是可以选择一个足够小的 $\lambda '$ ，使得

D(t_{0},t'')+(\lambda ')

在 $t''=t'-\tau$ 和 $t''=t'+\tau$ 具有相反的符号，因此在这个区间内将会有一个 $t''$ 值满足方程

D(t_{0},t'')+(\lambda ')=0

。

因此，如果我们以点 ${\bar {0}}$ 为中心，在其附近限制一个无限小的区间，并对 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 取任意小的上限，则在所有可接受的曲线中，总存在一些曲线从 ${\bar {0}}$ 出发，并在该区间内与原始曲线相交。事实上，如果 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 小于某个特定值，则所有空间曲线，其 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的值不超过该固定值，且经过点 ${\bar {0}}$ ，都会在这个区间内与原始曲线相交。这个 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的上限会随着该区间的无限缩小而无限缩小，因此，可以将与 ${\bar {0}}$ 共轭的点定义为相邻曲线交点趋近的点。

第244条.
类似地，我们可以证明，在一个非与 ${\bar {0}}$ 共轭的空间曲线点附近，可以取任意小的空间区域，且当 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 取得足够小时，空间曲线中与 ${\bar {0}}$ 共轭的点不会位于该有限空间区域内；但是，当我们在与 ${\bar {0}}$ 共轭的点附近限制一个任意小的空间区域时，空间曲线中与 ${\bar {0}}$ 共轭的点，在 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 足够小时，都会位于该区间内。

因此，如果在 $D(t_{0},t)$ 中，量 $t_{0}$ 以连续方式变化，第一个使 $D(t_{0},t)$ 消失的 $t$ 值，也以连续方式变化。这可以直接从

D(t_{0}+\tau ,t)=D(t_{0},t)+(\tau ,t)

得出，其中 $(\tau ,t)$ 随着 $\tau$ 无限减小，对于所有 $t$ 值都成立。

对于 $t=t'-\tau$ 和 $t=t'+\tau$ ，其中 $t'$ 是点 $t_{0}$ 的共轭点，函数 $D(t_{0},t)$ 具有不同的符号，无论 $\tau$ 多么小；如果我们取足够小的 t，则 $D(t_{0},t)+(\tau ,t)$ 对于 $t=t'-\tau$ 和 $t=t'+\tau$ 具有不同的符号，因此必须在区间 $t'-\tau \ldots t'+\tau$ 内的某个 $t$ 值消失。因此，共轭点的变化在 $t_{0}$ 的增量足够小时，将任意小。

第 245 条.
接下来，我们将证明一个定理：包含 $t_{0}$ 及与其共轭点的曲线段可以始终被变化，使得 $\Delta I^{(0)}$ 可以既为正数又为负数，而 $I^{(1)}$ 保持不变。

让我们像在第180、181节中那样写

{\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}

因此，我们有

\Delta I^{(1)}=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{1}{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1})_{2}

现在选择 $w$ 使得

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t

然后，从条件 $\Delta I^{(1)}=0$ 可以看出，我们可以将 $\epsilon _{1}$ 表示为 $\epsilon$ 的幂级数，其在 $\epsilon$ 中的最高次幂高于一次。

因此（参见第180节），可以得出

{\bar {w}}=\epsilon w+(\epsilon )_{2}

并且，从第189节可以看出

\Delta I^{(0)}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right){\text{d}}t+(\epsilon )_{3}

或者，相同的意思是

\Delta I^{(0)}={\frac {k\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}w^{2}{\text{d}}t+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}-k)w^{2}\right){\text{d}}t+(\epsilon )_{3}

其中 $k$ 是一个任意小的量，我们可以选择它。

第 246 条.
现在我们将证明，如果 $t_{1}$ 位于与 $t_{0}$ 共轭的点之外， $k$ 的绝对值可以选择得足够小，以至于除了满足条件

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

量 $w$ 还将满足条件

29)\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}-k)w^{2}\right){\text{d}}t=0

而不会处处为零。如果 $\epsilon$ 选择得足够小，我们总是可以做到的，那么可以看出量 $\Delta I^{(0)}$ 与 $k\epsilon ^{2}\int _{t_{0}}^{t_{1}}w^{2}{\text{d}}t$ 有相同的符号，因此与 $k$ 有相同的符号，它可以是正的也可以是负的。

由于 $w$ 在 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 时消失，并且由于

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}w{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right]=F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+w{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)

因此，我们可以用以下等式代替 29)：

\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+(F_{2}-k)w\right)w{\text{d}}t=0

并且，我们可以用以下两个等式代替这个等式和

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

我们也可以写成以下两个方程

30)

\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+(F_{2}-k)w-e_{3}G^{(1)}\right)w{\text{d}}t=0

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

其中 $e_{3}$ 是一个与 $t$ 无关的量。

第 247 条.
现在，设 $\theta _{1}(t,k),\theta _{2}(t,k),\theta _{3}(t,k)$ 是 t 的三个函数，满足以下三个微分方程：

31)

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{1}(t,k)\right)-(F_{1}-k)\theta _{1}(t,k)=0

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{2}(t,k)\right)-(F_{2}-k)\theta _{2}(t,k)=0

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{3}(t,k)\right)-(F_{3}-k)\theta _{3}(t,k)-G^{(1)}=0

根据微分方程理论，对于一系列 $t$ 的值，当 $F_{1}$ 既不为零也不为无穷大时， $\theta _{1}(t,k),\theta _{2}(t,k),\theta _{3}(t,k)$ 与三个函数 $\theta _{1}(t),\theta _{2}(t),\theta _{3}(t)$ 之间的差值随着k同时趋于无穷小。

再次，令 $t'$ 为与 $t_{0}$ 共轭的点，并将从 $t_{0}$ 到 $t''$ 的伸展记为，其中 $t''$ 是位于 $t'$ 点之前的点。

w=e_{1}\theta _{1}(t,k)+e_{2}\theta _{2}(t,k)+e_{3}\theta _{3}(t,k)

而对于从 $t''$ 到 $t_{1}$ 的伸展，令

w=0

很明显，除非 $e_{1}=0=e_{2}=e_{3}$ ， $w$ 不会处处为零，因为由于微分方程 31) $\theta _{1}(t,k),\theta _{2}(t,k),\theta _{3}(t,k)$ 所满足的， $t$ 值序列的线性关系只有在这些值上 $G^{(1)}=0$ 时才可能存在，而这种情况我们已经排除了 (第 180 条)。

第 248 条.
量 $w$ 满足微分方程

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)-(F_{2}-k)w-G^{(1)}=0

它还必须满足以下附加条件：对于 $t_{0}$ 和 $t''$ ， $w=0$ ，并且

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

但是我们有

\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}w{\text{d}}t=e_{1}\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{1}(t,k){\text{d}}t+e_{2}\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{2}(t,k){\text{d}}t+e_{3}\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{3}(t,k){\text{d}}t

如果我们写

\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{v}(t,k){\text{d}}t=\Theta _{v}(t_{0},t'',k)\qquad (v=1,2,3)

那么从上面的内容可以看到，函数 $\Theta _{v}(t_{0},t'',k)$ 与 $\Theta _{v}(t_{0},t'')$ 之间的差值随着 $k$ 无限减小。

需要满足的条件是

32)

0=e_{1}\theta _{1}(t_{0},k)+e_{2}\theta _{2}(t_{0},k)+e_{3}\theta _{3}(t_{0},k)+

0=e_{1}\theta _{1}(t'',k)+e_{2}\theta _{2}(t'',k)+e_{3}\theta _{3}(t'',k)+

0=e_{1}\Theta _{1}(t_{0},t'',k)+e_{2}\Theta _{2}(t_{0},t'',k)+e_{3}\Theta _{3}(t_{0},t'',k)

这些方程的行列式与 $D(t_{0},t'')$ 之间的差值随着 $k$ 无限减小 (第 237 条)。

对于 $t''=t'-k$ 和 $t''=t'+k$ ，量 $D(t_{0},t)$ 有不同的符号，因此我们可以取 $k$ 非常小，使得方程 32) 的行列式对于 $t''=t'-k$ 和 $t''=t'+k$ 有不同的符号，因此在位于 $t'-k$ 和 $t'+k$ 之间的 $t''$ 值时消失。

因此，我们可以在曲线 $t''$ 沿曲线之前 $t_{1}$ 取值，使得方程 32) 对 $e_{1},e_{2}$ 和 $e_{3}$ 的值成立，这些值并非全为零。

如果回到方程 28)， $\epsilon$ 足够小，则可以得出 $\Delta I^{(0)}$ 与 $k$ 符号相同，由于这个符号是任意的，因此在曲线的可接受变化中，存在使 $I^{(0)}$ 产生负增量，以及使 $I^{(0)}$ 产生正增量的变化。

因此，曲线 01 的部分不能延伸到与 0 共轭的点之外。如果我们排除 1 恰好与与 0 共轭的点重合的情况，则 1 必须位于与 0 共轭的点之前。然后，我们可以选择 ${\bar {0}}$ 足够靠近 0，使 1 也位于与 ${\bar {0}}$ 共轭的点之前。在这部分曲线上，函数 $D(t_{0},t)$ 不为零，因此我们可以用具有所需性质的空间部分来包围这部分曲线。

第 249 条.
排除特殊情况，剩下的就是证明函数 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 在上面定义的空间部分内的整个曲线上不能为零。

如果我们排除积分

\int _{0}^{1}[F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})](1-k){\text{d}}k

如果曲线的一部分上的积分变为零，那么为了使 ${\mathcal {E}}$ 为零，必须在整条曲线上满足 ${\bar {p}}q-p{\bar {q}}=0$ ；也就是说，空间中任意曲线投影的方向必须在每个点上都与满足微分方程的曲线的投影方向一致。

如果 $x,y,z,x_{1},y_{1},z_{1}$ 是两条曲线表示为其弧长函数的坐标 $s=t$ 和 $s'=t'$ ，那么在所讨论的点上，我们必须有

x=x_{1},~y=y_{1},~{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x_{1}}{{\text{d}}t}},~{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}t}}

但是由于

z=\int _{t_{0}}^{t}F^{(1)}(x_{1},y_{1},x_{1}',y_{1}'){\text{d}}t

和

z_{1}=\int _{t_{0}'}^{t'}F^{(1)}(x_{1},y_{1},x_{1}',y_{1}'){\text{d}}t'

因此，也可以得出

{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}z_{1}}{{\text{d}}t}}

也就是说，空间中的两条曲线在每个点上也具有相同的方向。

数量

\phi (t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad \psi (t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}+\tau }F^{(1)}(\phi ,\psi ,\phi ',\psi '){\text{d}}t

表示空间中相邻曲线的坐标，位于点 $t_{1}$ 的附近。

现在将点 $t_{1}$ 视为任意点。如果在上述表达式中，我们将 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 视为量 $k$ 的函数，当 $k$ 无限小时，那么对于 $k$ 的连续值，这些表达式就是经过点 $t_{1}$ 的某条曲线的点坐标；实际上，每条经过点 $t_{1}$ 的曲线，如果对 $k$ 的函数进行适当的选择，都可以用这种方式表示。

第 250 条.
如果现在空间中有一条曲线，沿着这条曲线 ${\mathcal {E}}=0$ ，那么它的方向，如我们上面所见，在点 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 必须与满足由 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 决定的微分方程的曲线的方向在该点重合。

后者的方向余弦与以下量成正比

$a)$

\phi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad \psi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

以及第一条曲线对

\phi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda '){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}

其中，在 ${\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}$ 中，仅 $\alpha ',\beta '$ 和 $\lambda '$ 被认为是依赖于 $k$

\psi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda '){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}

$\left({\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '\right){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}+\tau }\left({\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y}}{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\phi '}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}{\frac {{\text{d}}\psi '}{{\text{d}}k}}\right){\text{d}}t$

其中， ${\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}},{\frac {{\text{d}}\phi '}{{\text{d}}k}},{\frac {{\text{d}}\psi '}{{\text{d}}k}}$ 被认为是依赖于 $k$ 的，由于 $\tau$ 的增量已经被明确表达出来。如果我们对最后一个量中的积分符号下的表达式进行分部积分，并考虑第 233 条中的定义 8)，可以看出任意曲线的方向余弦与以下量成比例

$b)$

\phi '{\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}

\psi '{\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}

\left({\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '\right){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+\Theta _{1}(t_{0},t_{1}+\tau ){\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{2}(t_{0},t_{1}+\tau ){\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{3}(t_{0},t_{1}+\tau ){\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}

第 251 条.
如果这两条曲线的切线方向在该点处一致，那么由 $a)$ 和 $b)$ 构成的三个子式必须为零。但这些子式与由以下量构成的子式相同：

\phi '\qquad \psi '\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '

{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}\qquad {\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}+\Theta _{1}{\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{2}{\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{3}{\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}

因此，第一行的三个量与第二行的对应量成比例。

如果我们令 $k=0$ ，上述数量将变为

\phi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad \psi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )

$\phi _{1}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{2}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{3}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}\qquad \psi _{1}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{2}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{3}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}$

{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\left[\phi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}\right]+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\left[\psi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}\right]

\qquad \qquad +\Theta _{1}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{2}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{3}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}

因此，如果我们用 $\rho$ 表示比例因子，我们有

33)

0=\phi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\rho \phi '

0=\psi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\rho \psi '

0=\Theta _{1}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{2}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{3}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\rho \phi '

其中第三个方程通过 b) 应用另外两个方程简化为这种形式。

第 252 条.
由于满足微分方程的曲线必须经过点 4，根据方程 5) 和 6)，我们必须有以下关系

0=\theta _{1}(t_{0})\alpha '+\theta _{2}(t_{0})\beta '+\theta _{3}(t_{0})\lambda '

由此可知

34)0=\theta _{1}(t_{0})\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\theta _{2}(t_{0})\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\theta _{3}(t_{0})\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}

从式33）的前两个方程中消去 $\rho$ ，并将出现的差值用关系式6）定义的 $\theta$ 来表示。

所得方程的行列式、式33）的最后一个方程以及式34）的行列式与 $D(t_{0},t_{1})$ 相同 [参见公式14），第237条]。因此，如果 $D(t_{0},t_{1})$ 不为零，这些方程除了以下解之外没有其他解

\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}=\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}=\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}=0

同样的结论也可以从 $k$ 的任何小的值中得出，对应于这些值 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ ；这里代替数量 $D(t_{0},t_{1})$ 是数量

D(t_{0},t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

由于对于 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的足够小的值，这个行列式不等于零，因此可以得出以下结论

{\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}={\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}={\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}=0

但数量 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 不随 $k$ 而变化，因此为零，因为它们在 $k=0$ 时为零；这意味着函数 ${\mathcal {E}}$ 为零的曲线必须与满足微分方程的原始曲线重合。因此，这条曲线的变化以及数量 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 的任意性，这对函数 ${\mathcal {E}}$ 的含义至关重要，完全丧失了。

如果 $D(t_{0},t_{1})=0$ ，那么 $t_{1}$ 将是 $t_{0}$ 的共轭点；由于这对任意曲线上的每个点 $t_{1}$ 都成立，由此可知，任意曲线是由初始点的共轭点形成的，因此将位于所考虑的空间部分的边界之外或至少位于边界上。

可以看出，在我们假设的空间部分内，不存在函数 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 处处为零的曲线。因此，本章的目的是完成的。同时还证明了，在相对极大值和极小值的理论中，存在极大值或极小值的必要条件和充分条件是第 174 条中列出的条件的类似物。

第 253 条.
现在我们将完成对已经考虑的两个问题的极大值和极小值性质的证明，即：等周问题和求重心最低的曲线问题。

在等周问题的情况下，我们有

F=-yx'-\lambda {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}

{\frac {\partial F}{\partial x'}}=-y-{\frac {\lambda x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=-y-\lambda p

{\frac {\partial F}{\partial y'}}=-\lambda {\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=-\lambda q

F_{1}={\frac {-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}

x=a+\lambda \cos t\qquad y=b+\lambda \sin t

{\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=\lambda (p{\bar {p}}+q{\bar {q}}-1)

在这些表达式中， $\lambda$ 是一个正常数；此外， $x'$ 和 $y'$ 在曲线的任何点都不会同时消失，因此不存在需要特别研究的特殊情况。表达式 $p{\bar {p}}+q{\bar {q}}$ 是两个方向 $p,q$ 和 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 之间夹角的余弦，因此 ${\mathcal {E}}$ 对任何点和任何方向都没有正值。正如我们已经看到的那样，这是最大值的其中一个要求。

第 254 条.
设两点 0 和 1 由一条给定长度的圆弧连接，该圆弧与连接这两点的固定曲线一起包围了一个表面区域。在整个周长上取的积分由 (见第 191 条) 表示

\int _{t_{0}}^{t_{1}}-yx'{\text{d}}t

需要证明，我们不能用同等长度的曲线连接这两点，该曲线与固定曲线一起包围更大的面积。证明是直接的，只要证明了以下内容。如果在两点之间画出一条任意长度的曲线，那么我们就可以在这条曲线的任何点 2 处画出一条圆弧，该圆弧也经过 0，并且其长度与任意曲线位于 0 和 2 之间的部分相同。

如果我们让点 2 穿越任意曲线，则连续的圆弧是彼此的变化，并且它们的长度彼此无限小。如果点 2 足够接近起点，则相应的圆弧将变成圆弧，对于该圆弧，需要证明最大性质。

只要我们规定每个圆弧只被穿越一次，并且按照第 229 条中指示的方式构造，这一切就都完成了。确实，在点 0 和 2 之间只能放置一条给定长度的圆弧。对应于连续长度的圆弧彼此变化，并且它们在对应点的长度彼此无限小，因此，如果点 2 与 $t_{1}$ 重合，圆弧将以 连续的方式 变成在 0 和 1 之间绘制的原始圆弧。

第 255 条.
关于行列式 $D(t_{0},t)$ 我们这里有

x=a+\lambda \cos t\qquad y=b+\lambda \sin t

\theta _{1}(t)=\lambda \cos t\qquad \theta _{2}(t)=\lambda \sin t\qquad \theta _{3}(t)=\lambda \qquad G^{(1)}={\frac {1}{\lambda }}

\Theta _{1}(t_{0},t)=\sin t-\sin t_{0}\qquad \Theta _{2}(t_{0},t)=\cos t_{0}-\cos t\qquad \Theta _{3}(t_{0},t)=t-t_{0}

f_{1}(t)=\lambda ^{2}(\sin t_{0}-\sin t)\qquad f_{2}(t)=\lambda ^{2}(\cos t-\cos t_{0})\qquad f_{3}(t)=\lambda ^{2}\sin(t-t_{0})

从这些表达式我们有

D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\lambda \cos t_{0}&\lambda \sin t_{0}&\lambda \\\lambda \cos t&\lambda \sin t&\lambda \\\sin t-\sin t_{0}&\cos t_{0}-\cos t&t-t_{0}\end{vmatrix}}=\lambda ^{2}{\Big (}(t-t_{0})\sin(t-t_{0})+2\cos(t-t_{0})-2{\Big )}=4\lambda ^{2}\sin {\frac {t-t_{0}}{2}}\left({\frac {t-t_{0}}{2}}\cos {\frac {t-t_{0}}{2}}-\sin {\frac {t-t_{0}}{2}}\right)

由此可见，在 $t_{0}$ 之后 $D(t_{0},t)$ 首次变为零，是在值 $t=t_{0}+2\pi$ ；因此， $t=t_{0}+2\pi$ 是与初始点共轭的点。

实际上，如果我们考虑初始点和终点重合，使得满足微分方程的曲线是一个完整的圆，那么这条曲线就不再提供最大值，至少，在这个意义上，对于曲线的任何任意小的变化，变化都会更小；因为我们可以随意滑动与自身全等的曲线，因此可以改变曲线而不改变周长或表面积。

有趣的是，在这个问题中出现了在一般处理中无法决定的情况；即，其中 $f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)$ 同时消去，且 $D(t_{0},t)$ （参见第 242 条）。

实际上，对于 $t=t_{0}+2\pi$ ，我们有

D(t_{0},t)=0\qquad f_{1}(t)=f_{2}(t)=f_{3}(t)=0

然而， $D(t_{0},t)$ 在经过零时改变符号；因为 $D(t_{0},t)$ 的消失是由因子 $\sin {\frac {t-t_{0}}{2}}$ 变为零而实现的。但这个因子改变符号，而第二个因子在 $t=t_{0}+2\pi$ 保持其符号。

第 256 条.
在寻找重心最低的曲线的问题中，我们有（第 216 条）

F=(y-\lambda ){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}

{\frac {\partial F}{\partial x'}}=(y-\lambda ){\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=(y-\lambda )p\qquad {\frac {\partial F}{\partial y'}}=(y-\lambda ){\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=(y-\lambda )q

F_{1}={\frac {y-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}

x=\alpha +\beta t\qquad y=\lambda +{\frac {\beta }{2}}(e^{t}+e^{-t})

{\mathcal {E}}x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(y-\lambda )[1-(p{\bar {p}}+q{\bar {q}})]

我们看到 $y-\lambda >0$ ，并且进一步 $x'$ 和 $y'$ 在任何点上都不会同时消失。因此 $F_{1}$ 处处不等于 0 和 $\infty$ 。因为 $p{\bar {p}}+q{\bar {q}}$ 表示两个方向 $p,q$ 和 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 之间的角度的余弦，其绝对值不能超过 1，通常小于 1，因此函数 ${\mathcal {E}}$ 处处非负，正如最小值情况所要求的那样。我们已经在第 219 条中看到，如果弧长足够大，那么在两个任意给定的点之间，可以画出一条且只有一条曲线，满足微分方程。因此，不可能存在共轭点，因此悬链线在其整个轨迹上都具有所需的最小性质。