变分法/前言

自从牛顿和伯努利兄弟时代起，人们就开始用一种叫做变分法的方法来解决问题。欧拉、拉格朗日、勒让德及其追随者将这些方法推广并系统化；但随之而来的是许多困难。雅可比及其同时代人解决了一些困难。然而，许多方法还需要扩展，而且必须弥补许多不足，使那些仍然模糊的地方变得清晰。分析学的进步归功于魏尔斯特拉斯的天才，他使这个理论趋于完善。

我在柏林大学学习期间，有幸聆听了赫尔曼·阿曼德斯·施瓦茨教授关于变分法的讲座。这位杰出的数学家遵循其伟大的老师魏尔斯特拉斯的思想来讲解，魏尔斯特拉斯已经将这个理论建立在一个坚实的基础上，不受争议，既简单又比以前更全面。我还利用机会学习了魏尔斯特拉斯的讲座，在数学协会中有这些讲座的副本。

通过奥蒙德·斯通教授的慷慨，我对这个理论的摘要发表在数学年鉴第九卷、第十卷、第十一卷和第十二卷中，并且我一直在我的大学讲座课程中定期讲解变分法。

我推迟了这些讲座的出版，希望能由负责编辑魏尔斯特拉斯全集的委员会来出版魏尔斯特拉斯的讲座。然而，这种出版似乎遥遥无期，关于变分法的评注越来越多，因此我认为现在出版我的作品是明智之举。

正如人们自然会预期的那样，我遵循了魏尔斯特拉斯对该主题的处理方式；在许多地方，尤其是在本书的后半部分，我的讲座不过是对他讲座的重复。我从魏尔斯特拉斯的观点出发，发展了自己的想法，并介绍了从其他作者那里获得的想法。因此，我没有单独介绍勒让德和雅可比的作品作为对一般处理的介绍，而是在正文中适当地介绍了他们的发现，我相信通过这种方式，避免了学生在第一次阅读该主题时可能遇到的困惑。我希望这种对基本原理的阐述能够证明是引人入胜的。然后，读者自然会渴望了解更多的相关文献以及历代数学家所作的各种改进。他将希望追随他们所采用的方法，并寻求有关历史发展的更多信息。文中第 18 页和第 19 页给出了参考文献，可以从中轻松获取原始资料。

在六个问题中用实例说明了最大值或最小值存在的必要条件和充分条件，这些问题在理论中逐一展开。这些问题被选择来代表该主题的不同方面，可能出现的特殊情况、不连续解等等。例如，在第一个问题中，发现一个不规则曲线可能提供最小值，而看似问题是由一个规则曲线（悬链线）满足的。由此引出这样一个事实，尽管我们的积分只有在规则曲线上传递时才有意义，但我们必须警惕不连续解，因此必须推导出最大值或最小值存在的进一步条件。在本问题中考虑了不连续解的情况，以及当积分的极限是两个共轭点时的情况。引入了牛顿的问题来说明一个必要条件不满足，并且不存在满足给定要求的曲线。

通过在第一章中对这些问题的表述，我们可以轻松地得出变分法的普遍问题陈述。

在一般讨论中，注意力主要集中在两个变量的领域，在这个领域中，只允许变量的一阶导数。提出的推广和扩展通常很容易执行。

从第十三章开始的第二部分内容论述了相对最大值和最小值理论，其中考虑了等周问题。这里也强调了关于使给定积分最大化或最小化的曲线的域的存在，并以与第一部分中发现类似条件的方式推导出并证明了必要条件和充分条件。

我在这些讲座中的愿望是提供对可以称为魏尔斯特拉斯变分法理论的连贯和简单的处理。省略了许多旧作家的有益定理。我感到遗憾的是，没有足够的空间来讨论最近出现的一些研究。一本著作的第一版很少是作者希望以最终形式留下的作品。由于我期望在我的大学讲座中不时进行增补和修改，因此我将乐于接受任何提出的建议。

最后，我要借此机会真诚地感谢辛辛那提大学董事会慷慨资助出版本书。

我还要感谢大学出版社经理哈罗德·P·默里先生对印刷工作的精心监督。

哈里斯·汉考克。

奥本酒店，

辛辛那提，俄亥俄州。

1904 年 4 月 15 日。