范畴论/（共）锥和（共）极限

定义（锥）:

设${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，并设$G=(V,A)$ 为${\mathcal {C}}$ 中的一个图。$G$ 上的一个锥是一个${\mathcal {C}}$ 的对象$a$，以及对于每个$b\in V$ 的态射$\phi _{a,b}:a\to b$，使得对于每个$\psi :b\to b'\in A$（因此$b,b'\in V$）我们有

$\phi _{a,b'}=\psi \circ \phi _{a,b}$.

定义（极限）:

设${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，并设$G=(V,A)$ 为${\mathcal {C}}$ 中的一个图，并设

定义（对角线）

:

设${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，并设$X$ 为${\mathcal {C}}$ 中的一个对象。此外，假设对象$X\times X$ 和态射$\pi _{1}:X\times X\to X$ 和$\pi _{2}:X\times X\to X$ 构成了$X$ 在${\mathcal {C}}$ 中自身的积。则**对角线**（也称为“对角线态射”）是唯一的态射

$\Delta :X\to X\times X$

使得$\pi _{1}\circ \Delta =\pi _{2}\circ \Delta =\operatorname {Id} _{X}$。

定义（反对角线）:

设${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，并设$X$ 为${\mathcal {C}}$ 中的一个对象。此外，假设对象$X\sqcup X$ 和态射$\iota _{1}:X\to X\sqcup X$ 和$\iota _{2}:X\to X\sqcup X$ 构成了$X$ 在${\mathcal {C}}$ 中自身的余积。则**反对角线**（也称为“反对角线态射”）是唯一的态射

$\nabla :X\sqcup X\to X$

使得$\nabla \circ \iota _{1}=\nabla \circ \iota _{2}=\operatorname {Id} _{X}$。

练习

1. 1. 设${\mathcal {D}}$ 为一个范畴，使得${\mathcal {D}}$ 中的任意两个对象都存在积。进一步假设${\mathcal {C}}$ 是另一个范畴，并且$T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 是一个函子。设$Y$ 为${\mathcal {D}}$ 中的一个对象。利用积的泛性质，证明存在一个函子$S_{Y}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$，它将${\mathcal {C}}$ 中的对象$X$ 映射到${\mathcal {D}}$ 中的对象$T(X)\times Y$。
   2. 证明${\mathcal {D}}$ 中的任何态射$g:Y\to Z$ 都会产生一个自然变换$S_{Y}\to S_{Z}$。
   3. 我们能否削弱${\mathcal {D}}$ 中的任意两个对象都存在积的假设？（提示：考虑与函子$T$ 相关的对象类函数的像。）