范畴论
| 介绍 |
| 范畴 |
| 函子 |
| 自然变换 |
| 泛构造 |
| 未来章节 |
| 参考文献 |
本维基教科书是范畴论的导论。它写给那些对抽象数学的一个或多个分支有所了解的人，例如群论、分析或拓扑学。本书包含许多来自数学各个分支的例子。如果你不熟悉提到的某些类型的数学，不要担心。如果所有的例子都不熟悉，最好在继续之前研究几个。
范畴是一种数学结构，就像群或向量空间一样，由公理抽象地定义。群的这种定义是为了研究对称性（物理对象和方程的对称性，以及其他东西）。向量空间是向量微积分的抽象。
范畴论与其他结构研究的不同之处在于，从某种意义上说，范畴的概念是对一种数学类型的抽象。（这不能被转换成精确的数学定义！）这使得范畴论具有非同寻常的自指性，并且能够处理与数学逻辑处理的许多相同问题。特别是，它提供了一种语言，可以统一数学不同部分的许多概念。
更详细地说，范畴具有对象和态射或箭头。（最好将态射视为箭头：词“态射”会让你认为它们是集合映射，而它们并非总是集合映射。范畴的正式定义在关于范畴的章节中给出。）
- 群范畴以群作为对象，以同态作为箭头。
- 向量空间范畴以向量空间作为对象，以线性映射作为箭头。
保留结构的范畴之间的映射称为函子。
- 群的底层集合决定了一个从群范畴到集合范畴的函子。
- 尖空间的基本群决定了一个从尖拓扑空间范畴到群范畴的函子。它是一个函子意味着，从尖空间 S 到尖空间 T 的连续点保持映射诱导了一个从 S 的基本群到 T 的基本群的群同态。
范畴也形成一个范畴，以函子作为箭头。最重要的是，特定范畴之间的函子形成一个范畴：它的态射称为自然变换。范畴论具有自然变换的事实可以说是使范畴论如此重要的单一特征。
范畴论由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克莱恩在 1940 年代发明，作为一种表达代数拓扑中某些结构的方法。在随后的几十年中，范畴论得到了迅速发展。它已成为数学的一个自治部分，人们出于自身目的研究它，也广泛用作一种统一语言，用于表达将不同领域联系起来的数学思想。
例如，代数拓扑将几何中的兴趣领域与代数中的兴趣领域联系起来。另一方面，代数几何则朝着相反的方向发展，例如，将每个交换环与其素理想谱联系起来。这些领域是最早使用范畴论工具研究的领域。后来的应用包括抽象代数、逻辑、计算机科学和物理学等领域。
由于范畴的概念非常普遍，因此可以预期对所有范畴都可证明的定理通常不会很深刻。因此，范畴论的许多定理都是针对特定类别的范畴而陈述和证明的。
- 同调代数关注阿贝尔范畴，阿贝尔范畴展示了由阿贝尔群范畴所暗示的特征。
- 逻辑使用 topos 理论来研究：topos 是一个与集合范畴具有某些共同特征的范畴，但允许 topos 的逻辑比经典逻辑更弱。topos 最初是为了研究代数几何而开发的，这体现了范畴论的可塑性。
范畴推理可以识别特定论证或结果作为更一般理论的结果。例如，在 GCD 理论的研究中，GCD 本质上唯一的事实仅仅是由于任何范畴中乘积的唯一性，因此它仅仅是一个更一般结果的一个例子。另一方面，整数 A 和 B 的 GCD 可以表示为 A 和 B 的线性组合，系数为整数——GCD(a, b) = ma + nb，对于某些整数 m 和 n——这是一个更深层的现实，它专门针对更受限制的情况。
大多数术语变化都在定义术语的地方进行讨论。这里重要的是指出一个令人讨厌的术语问题：“范畴”对应的形容词是“范畴的”。由于逻辑中的“范畴的”意味着只有一个模型（同构除外），这会导致认知失调；无论如何，本书中“范畴的”的使用与只有一个模型的想法无关。
一些作者使用“categorial”来代替。不幸的是，在语言学中，这个词有不同的意思。本书遵循大多数人的使用，即“范畴的”。