范畴论/阿贝尔范畴

命题（阿贝尔范畴中的对象通过子对象分解成和）:

设${\mathcal {C}}$ 为一个阿贝尔范畴，并设$X\in {\mathcal {C}}$ 为一个对象。设$f:Y\to X$ 为一个子对象，并设$Z=\operatorname {Coker} f$ 为相应的商对象。此外，记$g=\operatorname {coker} f$。那么存在唯一同构$\theta :X\to Y\oplus Z$ 使得

$\pi _{Z}\circ \theta =g$ 以及 $\theta ^{-1}\circ \iota _{Y}=f$.

证明：$Y\oplus Z$ 是一个双积。首先，我们应用积的泛性质来得到一个态射

$\phi :X\to Y\oplus Z$ 使得 $\pi _{Z}\circ \phi =g$ 以及 $\pi _{Y}\circ \phi =0$.

然后，我们应用余积的泛性质来得到一个态射

$\chi :Y\oplus Z\to X$ 使得 $\chi \circ \iota _{Y}=f$ 以及 $\chi \circ \iota _{Y}=0$.

此外，我们得到了一个态射 $Y\otimes X\to Y\otimes 0$，它来自到 $Y$ 的投影，以及一个态射 $0\otimes Z\to Y\oplus Z$，它来自 $Z$ 的包含。后一个态射是 ${\tilde {f}}:Y\oplus Z\to X$ 的核，而该核的余核是 $\Box$