定义 (伴随函子):
令 A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} 为范畴。一对**伴随函子**由两个函子组成 L : A → B {\displaystyle L:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 和 R : B → A {\displaystyle R:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}} （其中 L {\displaystyle L} 是**左伴随**， R {\displaystyle R} 是**右伴随**），使得两个双函子
从 ( A , B ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})} 到 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 是自然同构的。
命题 (左伴随函子保持满射):
令 A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} 为范畴，并令 L : A → B {\displaystyle L:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 和 R : B → A {\displaystyle R:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}} 是一对伴随函子。假设 x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} 且 f ∈ Hom A ( X , Y ) {\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(X,Y)} 是一个满射。则 L f : L X → L Y {\displaystyle Lf:LX\to LY} 也是一个满射。
证明： 令 g , h : L Y → Z {\displaystyle g,h:LY\to Z} 为 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 中的箭头，使得 g ∘ L f = h ∘ L f {\displaystyle g\circ Lf=h\circ Lf} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
命题（右伴随函子保持单射）:
为 
中的箭头，使得 
。 
和 
