范畴论/范畴

这是范畴论的范畴章节。

定义

一个范畴${\mathcal {C}}$由四种数据组成，这些数据满足三个公理，如下所示

数据

对象

${\mathcal {C}}$的对象表示为$A$, $B$, $C$,…

态射

对于每个对象的有序对 $A$，$B$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，存在一类从 $A$ 到 $B$ 的态射或箭头。记号 $f:A\to B$ 表示 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个态射。从 $A$ 到 $B$ 的所有态射的类记为 ${\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)$ 或有时简记为 ${\mathcal {C}}(A,B)$。

复合

对于每个对象的有序三元组 $A$，$B$，$C$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，存在复合律：如果 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，则 $f$ 和 $g$ 的复合是一个态射 $gf:A\to C$

恒等

对于每个对象 $A$，都有一个指定的$A$上的恒等态射，记为 $1_{A}$，从 $A$ 到 $A$。

公理

这些数据满足以下三个公理，其中第一个是约定俗成的，而其余两个则更为重要

唯一类型

${\text{Hom}}(A_{1},B_{1})$ 和 ${\text{Hom}}(A_{2},B_{2})$ 是不相交的，除非 $A_{1}=A_{2}$，$B_{1}=B_{2}$。

结合律

$h(gf)=(hg)f$ 如果复合定义。注意，如果一个复合定义，另一个复合必然定义。

恒等态射是“中性元素”

对于每个对象 $B$ 相关的恒等态射 $1_{B}:B\to B$，对于每对对象 $A$ 和 $C$，以及每对箭头 $f:A\to B$，$g:B\to C$

• $1_{B}\,f=f$
• $g\,1_{B}=g$

术语和细节

• 在一个范畴中，如果 $f:A\to B$，则 $A$ 被称为 $f$ 的**定义域**或**源对象**，而 $B$ 被称为 $f$ 的**陪域**或**目标对象**。
• ${\text{Hom}}(A,B)$ 被称为**同态类**（如果它确实是集合，则称为**同态集**）。通常，同态集可能是空的，但对于任何对象 $A$，${\text{Hom}}(A,A)$ 不为空，因为它包含恒等态射。
• 同态类 ${\text{Hom}}(A,B)$ 可以用 ${\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)$ 或 ${\mathcal {C}}(A,B)$ 表示，如果需要指定所指的范畴。
• 范畴中的对象不必是集合；对象不必具有称为“元素”的东西。
• 态射也可以称为“映射”。但这不意味着任何范畴中的每个态射都是一个集合函数（参见#简单例子 和 #预序）。“箭头”是一个不太容易误解的名称。
• 复合态射 $gf$ 可以写成 $g\circ f$。
• 将$f:A\to B$和$g:B\to C$的合成写成$fg$，而不是$gf$，但这里给出的用法是迄今为止最常见的。这源于这样一个事实：如果箭头表示函数，并且$x\in A$，那么$(gf)(x)=g(f(x))$。因此$gf$最好被理解为“在$f$之后执行$g$”。

大小

定义指出一个范畴“具有”对象，并且“具有”态射。这意味着，对于任何范畴${\mathcal {C}}$和任何数学对象$X$，命题“$X$是${\mathcal {C}}$的对象”要么为真，要么为假，对于命题“$X$是${\mathcal {C}}$的态射”也是如此。一个范畴的对象（或箭头）不一定构成集合。如果构成集合，则该范畴被称为**小范畴**。如果不构成集合，则该范畴被称为**大范畴**。

要求从$A$到$B$的态射集合为一个集合，这使得一个范畴成为**局部小范畴**。在这本书中，所有范畴都是局部小的。

离散

如果一个范畴的每个态射都是恒等态射，则该范畴被称为**离散范畴**。

预序

如果对于任意一对对象 $P,P'$，最多存在一个态射 $f:P\to P'$，那么范畴 ${\mathcal {P}}$ 就是一个预序。

范畴示例

简单示例

这些示例可能微不足道且无趣，但不要低估简单示例的力量。一方面，它们有时是可能定理的反例。

0（空范畴）

此范畴没有对象也没有态射。

1

范畴 1 有一个对象和一个态射，该态射必须是该对象的恒等箭头。

1+1

此范畴有两个对象和两个态射：每个对象的恒等。

2

此范畴有两个对象和三个态射。第三个态射从一个对象指向另一个对象。

备注

• 这些简单范畴中的对象是图中的节点（而不是集合），态射是图中的箭头（而不是函数）。
• 对于这些简单范畴，我们不必说明组合操作的作用：它总是被强制的。
• 说范畴论者认为 1 + 1 不等于 2 是不礼貌的。

集合范畴

集合范畴，记为 Set，就是这个范畴

• 对象是所有集合
• 从集合 $A$ 到集合 $B$ 的态射是一个定义域为 $A$，陪域为 $B$ 的函数。
• 组合是通常的组合：如果 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，那么 $gf:A\to C$ 由 $gf(x)=g(f(x))$ 对所有 $x\in A$ 定义。
• 集合 $A$ 上的恒等态射 $1_{A}$ 是由 $1_{A}(x)=x$ 对 $x\in A$ 定义的恒等函数。

术语和细节

• 为了保留函数定义中的独特类型，有必要包含其陪域。例如，$1_{A}:A\to A$ 与包含函数 $i:A\to B$ 不同，后者是到某个集合 $B$ 的包含函数，该集合恰好包含 $A$ 。
• 在大多数数学基础理论中，所有集合的集合本身不是一个集合。这使得 **Set** 成为一个大范畴。然而，它仍然是局部小的，因为两个集合 $A$ 和 $B$ 之间所有函数的类是它们笛卡尔积 $A\times B$ 的幂集的子类，而幂集根据定义是一个集合。

数学结构作为范畴

预序

集合 $A$ 上的 *预序* $\preccurlyeq$ 是 $A$ 上的自反和传递关系，这意味着对于所有 $a\in A$，$a\preccurlyeq a$ 且对于所有 $a$，$b$，$c$ 在 $A$ 中，如果 $a\preccurlyeq b$ 且 $b\preccurlyeq c$，则 $a\preccurlyeq c$.

以下意义上，预序“是”一个范畴：给定预序 ($A$，$\preccurlyeq$)，范畴结构是这样的：

• 范畴中的对象是 $A$ 的元素。
• 当且仅当 $a\preccurlyeq b$ 时，从 $a$ 到 $b$ 只有一个态射。

单位元的存，是自反性的必然结果，而复合法则，是传递性的必然结果。由此可知，该范畴结构具有这样的性质：从任何对象 $a$ 到任何对象 $b$ 至多只有一个态射。

相反地，假设你有一个类别，其中包含一组对象 $A$，并且该类别具有这样的性质：在任意两个对象之间最多只有一个态射。在 $A$ 上定义一个关系 $\preccurlyeq$，要求当且仅当从 $a$ 到 $b$ 存在一个态射时，$a\preccurlyeq b$ 成立。那么 ($A$，$\preccurlyeq$) 是一个预序。

前两段中的陈述描述了在类别之间的一个 类别等价，该类别包含最多在任意两个对象之间只有一个态射的小类别以及所有这些类别之间的函子，以及预序和保持序的映射的类别。

备注：给定一个预序，根据定义，对应的类别中的态射是存在的。当且仅当 $a\preccurlyeq b$ 时，从 $a$ 到 $b$ 存在一个态射。这是一个公理化定义；在模型中，从 $a$ 到 $b$ 的态射可以是任何东西，例如，可以是 ($a$，$b$) 这对。_态射不需要是函数_。

群

每个群 $G$ 可以被视为一个范畴 ${\mathcal {G}}$，如下所示：${\mathcal {G}}$ 只有一个对象，我们将其称为 $e$。因此它只有一个同态集 ${\text{Hom}}_{\mathcal {G}}(e,e)$，它被定义为群 $G$ 的底层集合（换句话说，箭头是群元素）。我们采用群乘法作为合成。因此，$G$ 的单位元是 $1_{e}$。请注意，在范畴 ${\mathcal {G}}$ 中，每个态射都是一个同构（在合成下可逆）。反之，任何一个对象范畴，其中所有箭头都是同构，都可以被视为一个群；群的元素是箭头，乘法是范畴的合成。这描述了群和同态的范畴与只有一个对象并且每个态射都是同构的小范畴的范畴之间的等价。

这可以从两个方面进行推广。

如果每个态射都是一个同构，则范畴 ${\mathcal {G}}$ 被称为群胚。因此，群胚可以被称为“具有多个对象的群”。

幺半群是一个带有结合律二元运算的集合，它有一个单位元。与群相同的技术一样，任何幺半群“都是”一个只有一个对象的范畴，并且任何只有一个对象的范畴“都是”一个幺半群。

矩阵

这是一个很好的例子，说明了一个类别，它的对象不是集合，它的箭头不是函数。 $\mathbf {Matr} _{K}$ 是一个类别，它的对象是正整数，它的箭头 $A:n\to m$ 是 $m\times n$ 矩阵，其中组合是矩阵乘法，对于任何交换环 $K$。对于任何对象 $n$，$1_{n}=I_{n}$，即 $n\times n$ 单位矩阵。

具有结构的集合类别

有限集和函数；记为 FinSet。

幺半群和态射；记为 Mon。

群和同态；记为 Grp。

阿贝尔群和同态；记为 Ab。

环和保单位同态；记为 Rng。

交换环和保单位同态；记为 CRng。

一个环 $R$ 上的左模和线性映射；记为 $R$-Mod。

一个环 $R$ 上的右模和线性映射；记为 Mod-$R$.

一个交换环 $K$ 上的模和线性映射；记为 $K$-Mod。

三维欧几里得空间的子集和欧几里得运动

n维欧几里得空间的子集和连续函数

拓扑空间和连续函数；记为 Top。

拓扑空间和函数的同伦类；记为 Toph。

备注

在描述这些类别时，没有明确说明组合法则。当对象具有底层集合结构、态射是底层集合的函数（传递附加结构）且组合法则只是普通的函数组合时，这是惯例。事实上，有时甚至会省略态射的说明，只要不会造成混淆即可——因此，人们会谈论群的类别。

具有结构的集合的例子，暗示了一个概念框架。例如，群的概念可以看作是对各种具体、熟悉的实现（如整数的加法群、非零有理数的乘法群、排列群、对称群、欧几里得运动群等等）的一种一阶抽象或概括。然后，类别这个概念，构成了一种二阶抽象，它的具体实现，由像群的类别、环的类别、拓扑空间的类别等等这种一阶抽象组成。

对象和态射的性质

同构

在范畴论中，一个态射 $f:A\to B$ 被称为同构，如果存在范畴中的一个态射 $g:B\to A$ 满足 $gf=1_{A}$，$fg=1_{B}$。很容易证明，$g$ 由 $f$ 唯一确定。态射 $g$ 被称为 f 的逆，记作 $g=f^{-1}$。因此可得 $f=g^{-1}$。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的同构，我们说 $A$ 与 $B$同构，很容易证明“同构”是范畴对象上的等价关系。

例子

• 集合范畴中，从 $A$ 到 $B$ 的函数是同构，当且仅当它是双射的。
• 群同态是同构，当且仅当它是双射的。
• 拓扑空间和连续映射范畴中的同构是同胚。与前面的例子不同，从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的双射连续映射不一定是同胚，因为它的逆（作为集合函数）可能不连续。例如，在实数集上定义恒等映射，其中定义域具有离散拓扑，陪域具有通常的拓扑。

单态射和满态射

在范畴 ${\mathcal {C}}$ 中，态射 $f$ 是一个单态射，当且仅当对于任意态射 $g$ 和 $h$，若 $fg$ 和 $fh$ 定义良好，且 $fg=fh$，那么 $g=h$。

在范畴 ${\mathcal {C}}$ 中，态射 $f$ 是一个满态射，当且仅当对于任意态射 $g$ 和 $h$，若 $gf$ 和 $hf$ 定义良好，且 $gf=hf$，那么 $g=h$。

初始对象和终结对象

$T$ 被称为终端对象（或最终对象），当 $X\to T$ 对任何 $X$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中是唯一的态射。组合律确保，如果 $T$ 和 $T'$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的终端对象，它们是同构的，即 $T(')$ 在同构意义上是唯一的。在集合、群和拓扑空间的范畴中，终端对象分别是单元素集、平凡群和一点空间。“b” 是 2 中的终端对象，如上图所示。

范畴上的构造

子范畴

范畴 ${\mathcal {C}}$ 的一个 *子范畴* ${\mathcal {S}}$ 是一个范畴，其中

• ${\mathcal {S}}$ 的对象类包含在 ${\mathcal {C}}$ 的对象类中。
• ${\mathcal {S}}$ 的箭头类包含在 ${\mathcal {C}}$ 的箭头类中。
• 对于 ${\mathcal {S}}$ 中的每个箭头 $f$，$f$ 的定义域和陪域都在 ${\mathcal {S}}$ 中。
• 对于每个对象 $s$ 在 ${\mathcal {S}}$ 中，恒等箭头 $1_{s}$ 属于 ${\mathcal {S}}$。
• 对于每对箭头 $f,g$ 在 ${\mathcal {S}}$ 中，箭头 $g\circ f$ 属于 ${\mathcal {S}}$，在它被定义的地方。

对偶范畴

给定一个范畴 ${\mathcal {C}}$，对偶范畴（或反范畴） ${\mathcal {C}}^{\text{op}}$ 与 ${\mathcal {C}}$ 具有相同的对象，并且对于每个箭头 $f:a\to b$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，箭头 $f^{\text{op}}:b\to a$ 属于 ${\mathcal {C}}^{\text{op}}$。换句话说，它具有相同的对象，而箭头被反转。

两个范畴的积

给定两个范畴 ${\mathcal {B}}$ 和 ${\mathcal {C}}$，积范畴，记作 ${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$，由以下数据给出

• 的對象${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$ 是$(b,c)$，其中$b$ 是${\mathcal {B}}$ 的一個對象，並且$c$ 是${\mathcal {C}}$ 的一個對象。
• 的箭頭${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$ 是$(f,g)$，其中$f$ 是${\mathcal {B}}$ 的一個箭頭，並且$g$ 是${\mathcal {C}}$ 的一個箭頭。
• 組合由$(f',g')\circ (f,g)=(f'\circ f,g'\circ g)$ 给出。

乘积${\mathcal {C}}\times \mathbf {2}$ 被称为圆柱范畴，记为${\text{Cyl}}({\mathcal {C}})$。

箭頭范畴

• 一个函子范畴 ${\mathcal {B}}^{\mathcal {C}}$ 是一个范畴，它的对象是函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$，而箭头是自然变换。
• 一个函子范畴 ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$ 被称为箭头范畴，记为 ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$。它的对象是 ${\mathcal {C}}$ 中的箭头 $f:a'\to b'$，而它的箭头是箭头对 $(h,k):f\to f'$，使得 $f'\circ h=k\circ f$。

逗号范畴

• 给定范畴和函子 $T:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}$ 和 $S:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$，逗号范畴 $(T\downarrow S)$ 的对象是 $(e,d,f)$，其中 $e$ 是 ${\mathcal {E}}$ 中的一个对象，$d$ 是 ${\mathcal {D}}$ 中的一个对象，$f:Te\to Sd$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的箭头。它的箭头是 $(k,h):(e,d,f)\to (e',d',f')$，其中 $k:e\to e'$ 是 ${\mathcal {E}}$ 中的箭头，$h:d\to d'$ 是 ${\mathcal {D}}$ 中的箭头，使得 $Sh\circ f=f'\circ Tk$。复合由 $(k,h)\circ (k',h')=(k\circ k',h\circ h')$ 给出。单位元是 $1_{(e,d,f)}=(1_{e},1_{d})$。

逗号范畴的特殊类型

根据上述对逗号范畴的定义，假设我们有 ${\mathcal {D}}=\mathbf {1}$，${\mathcal {E}}={\mathcal {C}}$，以及 $T=1_{\mathcal {C}}$。令 $1$ 表示 $\mathbf {1}$ 中的对象。 那么对于 ${\mathcal {C}}$ 中的某个对象 $A$，有 $S1=A$。 在这种情况下，我们将逗号范畴写成 $({\mathcal {C}}\downarrow A)$，并称其为 $A$ 的 _切片范畴_（或 _在_ $A$ _上的对象范畴_）。

现在假设，我们有${\mathcal {E}}=\mathbf {1}$，${\mathcal {D}}={\mathcal {C}}$，和$S=1_{\mathcal {C}}$。令$1$ 表示 $\mathbf {1}$ 中的对象。 然后 $T1=A$ 对于 ${\mathcal {C}}$ 中的某个对象 $A$ 成立。 在这种情况下，我们将逗号范畴写作 $(A\downarrow {\mathcal {C}})$，并称之为 $A$ 的 *余切片范畴*（或 *在 $A$ 下的对象的范畴*）。

最后，如果我们有${\mathcal {E}}={\mathcal {D}}={\mathcal {C}}$ 和 $T=S=1_{\mathcal {C}}$，则逗号范畴 $(1_{\mathcal {C}}\downarrow 1_{\mathcal {C}})={\mathcal {C}}^{\rightarrow }$。