范畴论/定义，示例

定义（范畴）:

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 是一类对象，以及一类称为态射的对象，每个态射都有一个定义域和一个目标，以及态射的复合，使得以下公理集成立，如果对于任意两个对象 $A$ 和 $B$ 的 ${\mathcal {C}}$，定义域为 $A$ 且目标为 $B$ 的态射子类用 $\operatorname {Hom} (A,B)$ 表示

1. 只要 $A\neq A'$ 或 $B\neq B'$，$\operatorname {Hom} (A,B)$ 和 $\operatorname {Hom} (A',B')$ 是不相交的
2. 对于任何对象 $A,B,C$ 的 ${\mathcal {C}}$ 以及任何态射 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，存在一个态射 $h=g\circ f\in \operatorname {Hom} (A,C)$，称为 $f$ 和 $g$ 的复合
3. 组合是结合的，即 $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$
4. 无论何时 $A$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的一个对象，那么存在一个唯一的态射 $1_{A}\in \operatorname {Hom} (A,A)$，它在态射的组合中充当左侧和右侧的恒等式。

练习

1. 如果 $f$ 和 $g$ 都是集合映射，使得 $f\circ g$ 是单射，证明 $g$ 是单射。