范畴论/函子

这是 范畴论 的函子章节。

定义

函子 是范畴之间的态射。给定范畴 ${\mathcal {B}}$ 和 ${\mathcal {C}}$，一个函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 的定义域为 ${\mathcal {C}}$，陪域为 ${\mathcal {B}}$，由两个适当相关的函数组成：

• 对象函数 $T$，它将 ${\mathcal {C}}$ 中的每个对象 $c$ 映射到 ${\mathcal {B}}$ 中的一个对象 $Tc$。
• 箭头函数（也称为 $T$），它将 ${\mathcal {C}}$ 中的每个箭头 $f:c\to c'$ 映射到 ${\mathcal {B}}$ 中的一个箭头 $Tf:Tc\to Tc'$，它满足 $T(1_{c})=1_{Tc}$ 和 $T(g\circ f)=Tg\circ Tf$，其中 $g\circ f$ 已定义。

示例

• 幂集函子 是一个函子 ${\mathcal {P}}:{\textbf {Set}}\to \mathbf {Set}$. 它的对象函数将每个集合 $X$ 映射到它的幂集 ${\mathcal {P}}X$，它的箭头函数将每个映射 $f:X\to Y$ 映射到映射 ${\mathcal {P}}f:{\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y$.
• 包含函子 ${\mathcal {I}}:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}$ 将子范畴 ${\mathcal {S}}$ 中的每个对象映射到自身（在 ${\mathcal {C}}$ 中）。
• 一般线性群 ${\text{GL}}_{n}:\mathbf {CRng} \to \mathbf {Grp}$ 将交换环 $R$ 映射到 ${\text{GL}}_{n}(R)$.
• 在同伦论中，路径连通分量是一个函子 $\pi _{0}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$，基本群是一个函子 $\pi _{1}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Grp}$，而高阶同伦是一个函子 $\pi _{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab}$.
• 在群论中，一个群 $G$ 可以被看作是一个只有一个对象 $g$ 的范畴，其箭头是 $G$ 的元素。箭头的合成是群运算。设 ${\mathcal {C}}_{G}$ 表示这个范畴。群作用函子 $\mathbf {Act} :{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Set}$ 给出 $\mathbf {Act} (g)=X$ 对于某个集合 $X$，集合 ${\mathcal {C}}_{G}(g,g)$ 被映射到 $\mathbf {Set} (X,X)={\text{Aut}}(X)$.

函子的类型

• 一个函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 是范畴同构，如果它在对象和箭头上的映射都是双射。
• 如果对任何一对对象 $c,c'$ 在 ${\mathcal {C}}$ 以及任何 ${\mathcal {B}}$ 中的箭头 $g:Tc\to Tc'$ ，存在一个箭头 $f:c\to c'$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，满足 $g=Tf$ ，则称函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 为 *满函子* 。换句话说，给定对象 $c,c'$ ， $T$ 在箭头上的映射是满射。
• 如果对于 ${\mathcal {C}}$ 中的任意一对对象 $c,c'$ 和 ${\mathcal {C}}$ 中的任意一对平行箭头 $f_{1},f_{2}:c\to c'$，等式 $Tf_{1}=Tf_{2}:Tc\to Tc'$ 意味着 $f_{1}=f_{2}$，则称函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 为 忠实 函子。换句话说，给定对象 $c,c'$ 时，$T$ 在箭头上的作用是单射的。包含函子是忠实的。
• 如果函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ “遗忘”了 ${\mathcal {C}}$ 结构中的部分或全部方面，则称该函子为 遗忘 函子。
• 定义域为乘积范畴的函子称为 双函子。

子范畴的类型

${\mathcal {S}}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的 满子范畴 当且仅当包含函子 ${\mathcal {I}}:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}$ 为满函子。换句话说，对于 ${\mathcal {S}}$ 中的任意一对对象 $X,Y$，都有 ${\mathcal {S}}(X,Y)={\mathcal {C}}(X,Y)$。

${\mathcal {S}}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的一个 lluf 子类别 当且仅当 ${\text{ob}}({\mathcal {S}})={\text{ob}}({\mathcal {C}})$.