范畴论/自然变换

定义 (自然变换):

令 ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ 是范畴，令 $F,G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 是两个函子。这两个函子之间的 **自然变换** 是一个 ${\mathcal {B}}$ 的态射集合，对 ${\mathcal {A}}$ 的每个对象 $A$ 都有一个态射，即 $f_{A}:F(A)\to G(A)$，使得对 ${\mathcal {A}}$ 的所有态射 $g:A\to A'$，下面的图是可交换的

图占位符

旧内容

范畴论中另一个基本概念，或者也可以说，范畴语言中的一个基本元素，现在将被介绍。这就是从一个范畴到另一个范畴的函子的自然变换的概念。事实上，范畴和函子的整个语言和工具最初是由美国数学家 Samuel Eilenberg 和 Saunders MacLane 开发的，以便精确地表达自然性的直观概念。首先将给出示例，可以认为该示例是该定义的动机。

示例

Let $\mathbb {V}$ be a vector space over some field $F$, and let $\mathbb {V} ^{*}$ be the dual space of $\mathbb {V}$; that is, the space of linear functionals on $\mathbb {V}$. There is then a linear transformation $T:\mathbb {V} \to \mathbb {V} ^{**}$ that is given. There is an intuitive feeling that the linear transformation $T$ is natural because its description only involves the terms u and f. Now if $\mathbb {V}$ is finite-dimensional, then it is known that $T$ is an isomorphism in the category of vector spaces over $F$ and linear transformations. One way of proving that $T$ is then an isomorphism is to show that $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{**}$ are isomorphic and then to observe that $T$ is one–one. The usual proof that $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{**}$ are isomorphic would be to proceed by establishing an isomorphism between $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{*}$, in the case when $\mathbb {V}$ is finite-dimensional. Now if a base $(e_{1},\dots ,e_{N})$ for $\mathbb {V}$ is given, then a basis for $\mathbb {V} ^{*}$ may be set up, called the dual basis, by defining $e_{i}^{*}$ to be that linear functional on $\mathbb {V}$ given by certain rules (see 350). Then the correspondence $e_{i}\leftrightarrow e_{i}^{*}$ sets up an isomorphism between $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{*}$.

另一方面，这种同构看起来并不自然，因为它依赖于基的选择。当然，上面的论证可以推广到从 $\mathbb {V}$ 到 $\mathbb {V}$* 建立线性变换，即使 $\mathbb {V}$ 在 $F$ 上不是有限维的，但是，同样地，这种变换看起来并不自然。需要的是对这种感觉的正式和精确表达，对于在域 $F$ 上的有限维向量空间 $\mathbb {V}$，$\mathbb {V} ^{**}$ 自然同构，而 $\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {V} ^{*}$ 以某种非自然的方式同构。Eilenberg 和 MacLane 在他们 1945 年发表的开创性文章“自然等价的概论”中解决了这个问题，该文章奠定了范畴论的基础。

对偶性

For any category $C$ a new category $C^{op}$ can be formed by interchanging the domains and codomains of the morphisms of $C$. More precisely, in the category $C^{op}$ the objects are simply those of $C$ and the effect of interchange of domains is expressed in an equation (see 359). Moreover, the composition in $C^{op}$ is simply that of $C$, suitably interpreted. $C^{op}$ is called the category opposite to $C$; notice that $C^{op^{op}}$ = $C$. This apparently trivial operation leads to highly significant results when specific categories are used. In the general setting it enables any concept in the language of categories to be dualized. For example, the coproduct in $C$ is simply the product in $C^{op}$. Any theorem that holds in an arbitrary category has a dual form. For example, the theorem asserting that the product in an arbitrary category is associative may be effectively restated as asserting that the coproduct in an arbitrary category is associative. In the special cases, however, the second statement looks very different from the first. For example, in the category of sets, the coproduct becomes the disjoint union; in the category of groups it is the free product; and in a pre-ordered set regarded as a category, the coproduct is the least upper bound. In particular, for the set of natural numbers, ordered by divisibility, the coproduct is the LCM. Thus, the same universal argument that led to the deduction that the GCD is associative also indicates that the LCM is associative. The duality principle has very wide ramifications indeed. Here it is merely noted that the important concept of a contravariant functor $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ may be most simply defined as a functor $F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\mathcal {D}}$. Thus the association of the dual vector space $\mathbb {V} ^{*}$ with $\mathbb {V}$ yields a contravariant functor from $\mathbb {V}$ to $\mathbb {V}$ itself.

自然变换的定义

假设 $\Phi$，$\Psi$ 是两个函子，都从范畴 ${\mathcal {C}}$ 到范畴 ${\mathcal {D}}$。

那么一个自然变换 $\eta :\Phi \to \Psi$ 是一个规则，它为范畴 ${\mathcal {C}}$ 的每个对象 *A* 分配一个态射 $\eta _{A}:\Phi (A)\to _{\mathcal {D}}\Psi (A)$。

所涉及的态射 $\eta _{A}$ 必须满足以下条件，即图

对于每个 $f:A\to _{\mathcal {C}}B$ 应该满足交换律（注意 $f$ 是范畴 ${\mathcal {C}}$ 中的态射）；也就是说，$\Psi (f)\circ \eta _{A}=\eta _{B}\circ \Phi (f)$（注意该交换图绘制在范畴 ${\mathcal {D}}$ 中）。

自然同构

此外，如果对于每个 A，$\eta _{A}$ 是可逆的，那么 $\eta$ 被称为自然同构（或自然等价）。很明显，如果 $\eta$ 是从函子 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的自然等价，那么 $\eta ^{-1}$，由方程式（见 352）给出，是从函子 $\Psi$ 到 $\Phi$ 的自然等价。因此，这里使用的术语等价是完全合理的。事实上，从 ${\mathcal {C}}$ 到 ${\mathcal {D}}$ 的函子可以根据它们之间是否存在自然等价来收集到等价类中。

示例

这个定义可以用示例来检验。考虑两个从 K-Vect 到 K-Vect 的函子，其中 K-Vect 是域 K 上的向量空间和线性变换的范畴。一个函子是恒等函子。另一个函子是双对偶函子 **，它将每个向量空间 V 关联到它的双对偶 V** 以及每个线性变换 f : U → V 关联到线性变换 f**: U** → V**（见 353）。线性变换 T: V → V** 在上面已经描述过了。很容易验证 T 是从恒等函子到函子 ** 的自然变换。如果考虑了 K-Vect 的子范畴 f，它由 K 上的有限维向量空间及其线性变换组成，那么事实证明函子 ** 将 f 变换为自身；并且自然变换 T，限制在 f 上， then is a natural equivalence. 还可以给出函子自然变换的其他示例

• 考虑阿贝尔群和同态的范畴。对于每个阿贝尔群，可以关联它的扭子群。阿贝尔群 A 的扭子群 AT 由 A 中所有有限阶元素组成。从 A 到 B 的同态必须将 AT 发送到 BT。因此，通过将每个阿贝尔群 A 关联到阿贝尔群 FA = AT，可以从 到（或到 T，即扭阿贝尔群及其同态的范畴）获得函子 f。现在 AT 是 A 的子群。因此，AT 在 A 中始终存在一个嵌入 iA。很容易看出 i 是从扭函子 f 到恒等函子的自然变换。此外，可以考虑商群 Afr = A/AT。它是一个无扭阿贝尔群。这通过将阿贝尔群 A 关联到阿贝尔群 GA = Afr 给出了一个从 到（或从 到 fr，即无扭阿贝尔群的范畴）的函子 g。然后，将 A 投影到 Afr 会产生从恒等函子到无扭函子 g 的自然变换。
• 每个群都可以与它的交换子群相关联。然后不难看出，交换子群嵌入群中是交换子群函子到恒等函子的自然变换。另一方面，每个群的中心都可以与群相关联。但是，这里不存在一个函子，因为从一个群到另一个群的同态不一定将第一个群的中心映射到第二个群的中心。另一方面，如果考虑群和满同态的范畴（满同态是指图像与陪域重合的同态），那么在这个范畴中，中心就是一个函子。但是，它是一个从群和满同态的范畴到群和所有同态的范畴的函子，因为满同态不一定将中心满射。然后，群的中心嵌入群中可以看作是从中心函子到包含函子的自然变换，这两个函子都是从群和满同态的范畴到群和同态的范畴的函子。
• 在代数拓扑中，考虑一个尖点拓扑空间 (X, x) 的奇异同调群和同伦群。存在一个从同伦群到同调群的 Hurewicz 同态（见 354）。然后，pn 和 hn，n ≥ 2，是从尖点空间和尖点连续函数的范畴到阿贝尔群的范畴的函子，而 Hurewicz 同态是函子的自然变换。

Yoneda 引理

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个局部小范畴，设 $X$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的一个对象，设 $K:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$，设 $h^{X}$ 表示协变 Hom 函子，设 ${\text{Nat}}(F,G)$ 表示从 $F$ 到 $G$ 的自然变换。然后 ${\text{Nat}}(h^{X},K)\cong KX$。此外，如果 $K$ 是另一个 Hom 函子 $h^{W}$，那么 ${\text{Nat}}(h^{X},h^{W})\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(W,X)$.