范畴论/子范畴

定义（子范畴）:

令${\mathcal {C}}$ 为一个范畴。那么子范畴${\mathcal {D}}=(\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}}),\operatorname {Mor} ({\mathcal {D}}))$ 的${\mathcal {C}}$ 是一个范畴，使得$\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})\subseteq \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 且$\operatorname {Mor} ({\mathcal {D}})\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})$。

定义（满）:

范畴${\mathcal {C}}$ 的一个子范畴${\mathcal {D}}$ 称为满 当且仅当对所有的$a,b\in {\mathcal {D}}$，我们有

$\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(a,b)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(a,b)$.

命题（限制到满子范畴时极限保持）:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，令 $J:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ 为 ${\mathcal {C}}$ 中的一个图式，令 ${\mathcal {D}}$ 为 ${\mathcal {C}}$ 的一个满子范畴。假设 $(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 $J$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的一个极限，使得 $L$ 和所有 $\phi _{\alpha }$ 的目标都在 ${\mathcal {D}}$ 中。那么 $(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 $J$ 在 ${\mathcal {D}}$ 中的一个极限。

证明： 当然，$(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 的底锥包含在 ${\mathcal {D}}$ 中，因为子范畴是满的。现在令另一个锥 $(Q,(\psi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 在 ${\mathcal {D}}$ 中在图 $J$ 上（它类似于 ${\mathcal {D}}$ 中的一个图）被给出。根据 $(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的泛性质，存在一个唯一的态射 $f:Q\to L$ 满足对于所有的 $\alpha \in A$ 有 $\psi _{\alpha }=\phi _{\alpha }\circ f$。由于 ${\mathcal {D}}$ 是满的，$f$ 在 ${\mathcal {D}}$ 中。 $\Box$

类似地，我们有

命题（限制到满子范畴时，协限保持不变）:

设 ${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，设 $J:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ 为 ${\mathcal {C}}$ 中的一个图，设 ${\mathcal {D}}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的一个满子范畴。 假设 $(C,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中关于 $J$ 的一个余极限，使得 $C$ 和所有 $\phi _{\alpha }$ 的定义域都在 ${\mathcal {D}}$ 中。 那么 $(C,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 ${\mathcal {D}}$ 中关于 $J$ 的一个余极限。

证明： 这从 其“对偶”命题 中得出，除了图函子的方向外，将其陈述和证明中的所有箭头反转。 $\Box$