范畴论/泛构造

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范畴语言的使用使一个重要的过程成为可能，即在各种范畴中将明显不同的概念联系起来。这里给出了一个例子，但应该指出，所描述的技术具有极其广泛的应用。

极限

在集合的范畴中，笛卡尔积的概念至关重要。然而，它的描述涉及到集合的元素：集合 X 和 Y 的笛卡尔积由有序对 (x, y) 组成，X x, y Y。在任意范畴中两个对象的积的定义中，这种定义无法模仿，因为在范畴的定义中，不需要对象是具有元素的集合。因此，必须找到笛卡尔积 X ´ Y 的一个性质，该性质可以表征笛卡尔积，并且可以用范畴语言表示。这样的性质必须完全用范畴的数据表示：用对象、态射和态射的复合表示。

对于任何给定的集合 A 和函数 f: A → X, g: A → Y，存在一个唯一的函数 h: A → X ´ Y，使得包含两个投影的等式成立（参见 355），其中 p1: X ´ Y → X, p2: X ´ Y → Y 是投影。这是推广的线索。对于范畴中的两个对象 X 和 Y，三元组 (Z; p1, p2) 被认为是 X 和 Y 的积，如果 p1: Z → X 和 p2: Z → Y 是的态射，并且如果普遍性质成立，即给定任何对象 A 和态射 f: A → X, g: A → Y，则存在一个唯一的态射 h: A → Z，使得某些关系成立（参见 355）。

很容易证明三元组 (Z; p1, p2) 本质上是由普遍性质唯一确定的。这意味着如果 (Z¢; p1¢, p2¢) 也是一个积，那么存在一个唯一的同构 w: Z → Z¢，使得两个等式成立（参见 356）。因此，允许谈论 X 和 Y 在中的积。当然，X 和 Y 不一定在中有一个积。但是，如果他们在中有一个积，按照上述定义，那么这个积是唯一的。现在可以在其他各种范畴中寻找积。例如，在阿贝尔群的范畴中，按照定义，积表征直和；在拓扑空间的范畴中，它表征拓扑积。在任何与预序集相对应的范畴中，积表征最大下界。因此，特别是，在与按整除排序的自然数相对应的范畴中，积正是最大公约数。可以证明，在任何存在积的范畴中，积在以下意义上是结合的。给定三个对象 X1、X2 和 X3，那么存在一个等价关系（参见 357）。当然，对于集合来说，这是一个完全熟悉且微不足道的结论：在考虑三个集合的笛卡尔积时，集合的关联方式无关紧要。然而，如果给出的证明在任何范畴中都有效，那么就可以立即推断出，例如，最大公约数满足结合律。也就是说，如果 a、b、c 是任意三个自然数，那么包含最大公约数的关系成立（参见 358）。这里有两点需要说明。首先，这个陈述 (358) 与集合的笛卡尔积是结合的陈述之间没有明显的联系。其次，通过以足够的普遍性证明该陈述，即在范畴级别上，可以获得比仅仅局限于最初进行积定义的范畴（即集合的范畴）所能获得的更多定理实例。