电路理论/1初始激励

电路用于给电容器和电感器充电。然后将电感器/电容器从充电电路切换到放电电路。有三个概念

• 充电电路... 假设在很长一段时间内... 假设稳态，所以电容器是开路，电感器是短路
• 切换电路（电容器和电感器的不同）
• 放电电路... 假设电容器最初是短路，电感器是开路

有两个电路需要分析：充电和放电

• 充电电路... 假设初始条件为零，求稳态（特解）... 这些成为放电电路的初始条件。
• 放电电路求解（齐次解）。

求解放电电路有以下步骤

• 假设解是指数函数
• 找到一个指数解
• 利用初始条件和最终值条件求解常数。
• 如果能找到指数解（即存在实部），则假设有效。

电容器

• 
  由开关隔开的电容器充电和放电电路
• 
  等效充电电路
• 
  大多数开关是 BBM（断开后再闭合），因此电容器在单极切换到两个极之间时是开路。 超级电容 存储大量能量，充电速度非常快，放电速度非常快，可以替代电池。
• 
  等效放电电路

充电分析

充电分析是稳态分析。假设电路已经运行了很长时间。电容器已经有了足够的时间充电。

不同之处在于，这里不是正弦波电源，而是直流电源。电容器上会有一个直流稳态电压。

电容器在完全充电时看起来像一个开路，因此整个电源电压将出现在电容器上。因此在这种情况下，电容器上的初始电压为 1 伏。

放电分析

观察电容器放电，标记电流方向和电压极性，使其与维基教科书电路理论的正常端子关系一致。

一个简单的网格或回路分析（两者都会得出相同的方程）是

$V_{R}+V_{c}=0$

$R*i+V_{c}=0$

从电容器端子关系

$i=C{dVc \over dt}$

所以代入

$RC{dVc \over dt}+V_{c}=0$

当然，经过很长一段时间，电容器放电，电阻耗散掉所有能量，所有地方的电流和电压都将为零。但是，描述电压和电流如何趋于零的时域方程是什么？

请注意，电流在充电时正在下降，但在放电时切换到上升。这可能是瞬时的。

寻找时间常数

一般技术是假设这种形式

$V_{c}=A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

代入上述微分方程

$-{\frac {RCA}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}+A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}=0$

除以 A 和指数函数，得到

$-{\frac {RC}{\tau }}+1=0$

求解 tau

$\tau =RC$

寻找常数

因此，电容器两端的电压公式现在是

$V_{c}=A*e^{-{\frac {t}{RC}}}+C$

这包括 0 的稳态特解和来自求解微分方程的常数 C。

电容器两端的初始电压在 t=0₊ 时为 +1 伏。这意味着

$V_{c}(0_{+})=1=A+C$

经过很长一段时间，V_c(t) = 0。这有助于我们找到 C

$V_{c}(\infty )=A*0+C=0$

所以 C = 0 且 A = 1，并且

$V_{c}(t)=e^{-{\frac {t}{RC}}}$

查找电流

观察电容器放电，标记电流方向和电压极性，使其与维基教科书电路理论的正常端子关系一致。

V_c=-V_r 或者可以代入电容器端子关系

$I={\frac {V_{r}}{R}}={\frac {-Vc}{R}}=-{\frac {e^{-{\frac {x}{RC}}}}{R}}$

因此对于此电路

$V_{C}=e^{-{\frac {t}{RC}}}=e^{-{\frac {t}{10\mu s}}}$

$V_{r}=-e^{-{\frac {t}{10\mu s}}}$

并且

$I=-{\frac {e^{-{\frac {t}{10\mu s}}}}{10}}$

解释结果

V_c 处于指示的极性。V_R 与所绘制的极性相反。电流流向与所绘制的方向相反，这在电容器充当电压源并将能量倾倒到电阻器时是有道理的。两者在 5 个时间常数 (50 μs) 后将基本为零。

齐次解很容易找到，因为使用直流电源来为电路充电。放电电路的特解为 0，因为没有激励函数。

电感器

• 
  此电路显示了一个电感器置于充电电路和放电电路之间。因为大多数开关都是 BBM，所以添加了一个按钮来在投掷 SPDT 开关之前短路电感器。两个开关都可以用单个 SPDT MBB 开关替换。但是模拟软件通常只有 BBM 开关。
• 
  等效电感器充电电路
• 
  按下按钮开关后但投掷 SPDT BBM 开关之前，等效电路。
• 
  投掷 SPDT BBM 开关时，按钮开关保持接触，等效电路。 超导体 可以像超级电容器一样充当储能装置。电流以光速通过充当连续电感器的圆形导线移动。
• 
  释放按钮开关后，等效电感器放电电路。

充电分析

当电感器具有与电流源相同的初始电流时，就不会有电流流过短路。叠加原理表明电流将在短路中抵消。

充电分析是稳态分析。假设电路已经运行了很长时间。电感器有足够的时间建立其磁场。

不同之处在于，使用直流电流源代替正弦波源。电感器中将会有一个直流稳态电流。

电感器在完全充电时看起来像一个短路，因此整个源电流都流过电感器。因此，在这种情况下，初始电流为 1 安培。

短路电源和电感分析

电感将能量存储在磁场中，电流必须持续流动以防止磁场崩溃...... 这是超导体的基础。

具有初始电流的电感通过电阻放电，用于维基教科书电路理论。

通过按下 SW1 的按钮，将电感和电流源短路是安全的。（打开连接到电感或电流源的导线是危险的）。对于理想元件，短路将没有电流。然而，通过电感的电流保持不变，电感保持充电状态。

短路电感的能量存储

当 SPDT 开关切断电流源时，电感的电流出现在短路中。电感和短路线不会长时间存储能量（除非冻结，因为导线充当电阻）。

放电分析

在 SW2 完成切换到第二个极点并释放按钮开关后，1 安培的电流仍然流过电感。电压瞬间出现在电感和电阻之间。一个简单的网格或回路分析（两者都产生相同的方程式）将是

$V_{R}-V_{L}=0$

观察电路标记，电流和电压没有正号约定关系，因此电感的端子关系有一个负号

$V_{L}=-L{\frac {di}{dt}}$

所以

$R*i+L{\frac {di}{dt}}=0$

当然，经过很长时间，电感放电，电阻耗散所有能量，并且处处电流和电压都将为零。但是，描述电压和电流如何变为零的时间域方程式是什么？

请注意，电压在电感顶部为正，但在放电时会改变极性。这可以是瞬间的。

寻找时间常数

一般技术是假设这种形式

$i=A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

代入上述微分方程

$R*A*e^{-{\frac {t}{\tau }}}+L*{\frac {d(A*e^{-{\frac {t}{\tau }}})}{dt}}=0$

除以 A，然后计算导数，得到

$R*e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {L*e^{-{\frac {t}{\tau }}}}{\tau }}=0$

除以指数

$R-{\frac {L}{\tau }}=0$

求解 tau

$\tau ={\frac {L}{R}}$

寻找常数

因此，电流的公式现在是

$i=A*e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}+C$

稳态特解为 0，常数 C 来自求解微分方程。

初始电流为 1 安培，时间为 t=0₊。这意味着

$1=A+C$

经过很长时间，电路中没有任何活动，因此

$i(\infty )=A*0+C$

所以 A=1 且 C=0，因此

$i(t)=e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}$

求电感器/电阻上的电压

V_L=V_r 或者可以代入电感器端子关系式

$V_{R}=R*i=R*e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}$

或者代入端子关系式

$V_{L}=-L*{\frac {d(e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}})}{dt}}=-L*({\frac {-R}{L}})e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}=Re^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}$

所以总结一下

$V_{R}=V_{L}=10*e^{-{\frac {t}{0.1\mu s}}}$

$i=e^{-{\frac {t}{0.1\mu s}}}$

解释结果

为了保持电感器的电流和磁场能量，需要在电路之间切换时将其短路。这与电容的切换一样简单，但需要不同类型的开关：…闭合前断开开关…这样两个电路就可以同时连接。

放电电路用最终方向和极性标记。但电感器的端子关系式必须有一个负号，因为电压和电流方向不符合正号惯例。

同样，齐次解很容易找到，因为使用直流电源为电路充电。放电电路的特解为0，因为没有强迫函数。