电路理论/双源激励/示例45

问题 L = 1H, C=1F, R=1Ω, 求 i_r

特定/稳态解

电感器短路，电容开路，V_s = 5 μ(t), 求 i_r

齐次/瞬态解

回路方程

$V_{s}(t)=V_{L}(t)+V_{CR}(t)$

$V_{s}(t)=L{di_{t} \over dt}+V_{RC}$

$V_{CR}=i_{R}*R$

$i_{C}=C{dV_{CR} \over dt}$

$i_{t}=i_{R}+i_{C}={\frac {V_{CR}}{R}}+C{dV_{CR} \over dt}$

$V_{s}(t)=L({d({\frac {V_{CR}}{R}}) \over dt}+C{d^{2}(V_{CR}) \over dt^{2}})+V_{CR}$

需要求解的微分方程

$0=L{d({\frac {V_{CR}}{R}}) \over dt}+LC{d^{2}(V_{CR}) \over dt^{2}}+V_{CR}$

猜测

$V_{CR}=Ae^{st}$

代入以检查是否可行

$0=L{d({\frac {Ae^{-st}}{R}}) \over dt}+LC{d^{2}(Ae^{-st}) \over dt^{2}}+Ae^{-st}$

$0=L(s{\frac {Ae^{-st}}{R}})+LC(s^{2}Ae^{-st})+Ae^{-st}$

$0=L(s{\frac {A}{R}})+LC(s^{2}A)+A$

$0={\frac {L}{R}}s+LCs^{2}+1$

所以答案将是二阶的，因此猜测是错误的，但现在可以通过计算上述二阶方程的根来更准确地猜测

$s^{2}+2s+1$

$s_{1,2}=-1,-1$

两个根都是负数且相等，所以新的猜测是

$V_{CR}=Ae^{-t}+Bte^{-t}$

再次通过代入 s² + 2s + 1 = 0 进行检查

$(Ae^{-t}+Bte^{-t}-Be^{-t}-Be^{-t})+2(-Ae^{-t}-Bte^{-t}+Be^{-t})+Ae^{-t}+Bte^{-t}=0$

是的，现在它等于零！所以可以继续。必须在微分方程解中添加一个常数，所以 V_cr 是

$V_{CR}=Ae^{-t}+Bte^{-t}+C_{1}$

没有初始条件 .. 寻找常数

有初始条件：V_CR(0₊) = 0，因为最初电容是短路，并且阻抗乘以电感器电流 i_t(0₊) 的导数 = 5。将其转换为一个方程

$V_{CR}(0_{+})=0=A+C_{1}$

并联 RC 组合上的最终电压将是 5 伏特（经过很长时间），因为电容器断开，电感器短路。

$V_{CR}(\infty )=C_{1}=5\Rightarrow A=-5$

这是计算极限的 matlab 代码

syms A B C1 t
f = A*exp(-t) + B*t*exp(-t) + C1;
limit(f,t,inf)

现在只有 B 是未知的

$V_{CR}=-5e^{-t}+Bte^{-t}+5$

电感器上的初始电压将是 5 伏特。但这不会导致 B 的值。另一个初始条件是电容器上的初始电流（即使它最初是短路）为零，因为电感器最初是开路。这会导致 B

$i_{c}=C{dV_{CR} \over dt}=5e^{-t}+Be^{-t}-Bte^{-t}$

$i_{c}(0_{+})=5+B=0\Rightarrow B=-5$

现在 V_CR 是

$V_{CR}=5(1-e^{-t}-te^{-t})$

这意味着i_r 是

$i_{R}={\frac {V_{CR}}{R}}=10(1-e^{-t}-te^{-t})$

没有 C_1 常数

尝试在没有 C_1 常数的情况下解决这个问题，最终会得到类似这样的结果

$V_{L}(0_{+})=5=B(2-2)$

这没有解。或者会导致 5=5，其中常数在没有找到它的数值的情况下从方程式中消失。或者会导致 A 或 B 等于无穷大。任何这些非答案都意味着某个地方出现了错误。