电路理论/复频域示例/示例12

当电压源连接到RC支路时会产生电流。求电阻和电容的值。

$v(t)=10e^{-t}sin(7t)$

$i(t)=0.2e^{-t}cos(7t-30^{\circ })$

已知量和未知量

已知量 $v(t)$ 和 $i(t)$

未知量 $RC$

方程

$v_{R}=i*R$

$i=C*{d \over dt}v_{C}$

$V_{s}=v_{C}+v_{R}$

转换为复频域符号

$\mathbb {V} _{R}=\mathbb {I} *R$

$\mathbb {I} =C*s*\mathbb {V} _{C}$

$\mathbb {V} _{s}=\mathbb {V} _{R}+\mathbb {V} _{C}$

尽可能地进行符号求解

$\mathbb {V} _{s}=\mathbb {I} *R+{\frac {\mathbb {I} }{C*s}}$

${\frac {\mathbb {V} _{s}}{\mathbb {I} }}=R+{\frac {1}{C*s}}$

$s=\phi +j\omega$

此时，用Mupad进行符号运算失败。Mupad无法符号地分离出矩形或极坐标表达式。手动操作会导致庞大的符号表达式。

直接将解保留在上述符号形式更方便。

现在看来，我们似乎有一个方程，但有两个未知数（R、C）。实际上，我们有两个方程。等式右侧的实部必须等于左侧的实部。等式右侧的虚部必须等于左侧的虚部。不幸的是，$\mathbb {I}$ 和 $\mathbb {V} _{s}$ 的值将决定下一步的操作。

在给定 Vs 和 Is 的情况下，求解串联电路的 RC 值。 .. m 文件

复数域数学

$s=-1+j7$

$\mathbb {V} _{s}=-j10$

$\mathbb {I} =0.2*cos(-30^{\circ })+j*0.2*sin(-30^{\circ })=0.1*{\sqrt {3}}-j0.1$

${\frac {\mathbb {V} _{s}}{\mathbb {I} }}=25-43.3j$

$R+{\frac {1}{C*s}}=R+{\frac {-0.14*i-0.02}{C}}$

因此，$-43.3j={\frac {-0/14j}{C}}$

$C={\frac {-0.14j}{-43.3j}}=3.233mF$

$25=R+{\frac {-0.02}{C}}$

$R=25+{\frac {0.02}{.003233}}=31.19ohms$

只有在复数域中才能找到解。

模拟

无法模拟得到答案，但可以 模拟 答案，看看是否与给定的源匹配。

$period={\frac {2*\pi }{\omega }}=0.8976sec$

很明显，余弦电流超前电压。理论上应该超前 -30 + 90 = 60 度。

峰值之间的差约为 0.141 秒。这换算成角度为

相位差 = 峰值差 * 360 / 周期 = 56.55 度 .. 约为 60 度。

电流幅值小于指定的 0.2，但接近 ... 约为 0.18 安培。这里存在很多误差。可能可以更准确地进行。