电路理论/一阶电路

一阶电路

一阶电路是只包含一个储能元件（电容器或电感器）的电路，因此可以使用一阶微分方程描述。两种可能的一阶电路类型是

1. RC（电阻和电容）
2. RL（电阻和电感）

RL 和 RC 电路是我们将用来描述具有 a) 电阻和电感（RL）或 b) 电阻和电容（RC）的电路的术语。

RL电路

一个RL并联电路

RL电路至少包含一个电阻（R）和一个电感器（L）。它们可以并联或串联排列。电感器的求解最好通过考虑流过电感器的电流来进行。因此，我们将电阻元件和电源组合成一个诺顿源电路。然后，电感器将成为该电路的外部负载。我们记住电感器的方程式

$v(t)=L{\frac {di}{dt}}$

如果我们在构成电源正极的节点上应用 KCL，我们可以解出以下微分方程

$i_{source}(t)={\frac {L}{R_{n}}}{\frac {di_{inductor}(t)}{dt}}+i_{inductor}(t)$

我们将在后面的章节中展示如何解微分方程。

RC电路

一个RC并联电路

RC电路是同时包含电阻（R）和电容器（C）的电路。与RL电路类似，我们将电阻和电源组合在电路的一侧，并将它们组合成一个戴维南源。然后，如果我们在所得回路周围应用 KVL，我们将得到以下方程式

$v_{source}=RC{\frac {dv_{capacitor}(t)}{dt}}+v_{capacitor}(t)$

一阶解

串联RL

串联RL电路的微分方程

$L{\frac {dI}{dt}}+IR=0$

${\frac {dI}{dt}}=-I{\frac {R}{L}}$

${\frac {1}{I}}dI=-{\frac {R}{L}}dt$

$\int {\frac {1}{I}}dI=-{\frac {R}{L}}\int dt$

$lnI=-{\frac {R}{L}}t+C$

$I=e^{-{\frac {R}{L}}t+C}$

$I=Ae^{-{\frac {R}{L}}t}\quad A=e^{C}$

t	I(t)
1 ${\frac {R}{L}}$	36% A
2 ${\frac {R}{L}}$	14% A
3 ${\frac {R}{L}}$	5% A
4 ${\frac {R}{L}}$	2% A
5 ${\frac {R}{L}}$	0.7% A

串联 RC 电路

串联 RC 电路的微分方程

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$

${\frac {dV}{dt}}=-V{\frac {1}{RC}}$

${\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt$

$\int {\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}\int dt$

$lnV=-{\frac {1}{RC}}t+C$

$V=e^{-{\frac {1}{RC}}t+C}$

$V=Ae^{-{\frac {1}{RC}}t}\quad A=e^{C}$

t	V(t)
1 ${\frac {1}{RC}}$	36% V
2 ${\frac {1}{RC}}$	14% V
3 ${\frac {1}{RC}}$	5% V
4 ${\frac {1}{RC}}$	2% V
5 ${\frac {1}{RC}}$	0.7% V

时间常数

串联 RL 和 RC 电路具有时间常数

$T={\frac {L}{R}}$

$T={\frac {RC}{1}}$

一般而言，从工程角度来看，我们认为系统在经过五倍时间常数的时段后，已经达到了稳态（电压或电流几乎处于接地电平）。