电路理论/网孔分析

平面电路的非平凡网孔标记为 1、2 和 3。

网孔分析在相量域中进行。

网孔分析方法减少了电路中需要求解的方程和未知数的数量。

基尔霍夫方法求解所有电流和电压。网孔分析仅求解网孔（回路）电流。

网孔分析从普通的基尔霍夫回路方程开始

$\Delta _{k=1}^{n}{V}_{k}=0$

并求解端子方程，使电压成为电流的函数，然后代入回路电压方程

$v=\Delta I*R$

$v={\frac {\Delta I}{C*j\omega }}={\frac {\Delta I}{sC}}$

$v=\Delta I*j\omega L=\Delta I*sL$

$\Delta I$是什么？它是可能穿过器件的两个网孔电流之间的差（或和）。如果器件不是两个网孔的一部分，则它可能只是一个电流。属于两个网孔的器件需要将网孔电流相加或相减（取决于方向）。

$\Delta I=I_{meshA}-I_{meshB}$

乍一看，网孔分析似乎很简单，但在解决问题时，与基尔霍夫方法相比，存在细微的差别。

网孔电流可以通过同一个器件，方向相同或相反。它们不是基尔霍夫方法中单个器件的电流。如果没有在平面电路图上仔细标记网孔电流的方向，就无法保持方向的正确性。

• 如果网孔电流与正在编写的特定基尔霍夫回路方程的方向相同，则为正，如果导致负电压，则为负。
• 网孔电流通常为顺时针方向，并决定回路方程的方向。
• 必须在相量域中进行，以便能够计算节点之间的阻抗。
• 可能方程太少，需要从“超网孔”中找到额外的方程。
• 有些问题无法解决。识别这些问题并非易事。

网孔电流

图 2：网孔电流标记为 i₁、i₂ 和 i₃ 的电路。箭头显示网孔电流的方向。

网孔分析通过在非平凡回路/网孔中任意分配网孔电流来工作。图 1 使用 1、2 和 3 标记了基本网孔。

网孔电流可能与任何实际流动的电流不对应，但实际电流很容易从它们中找到。通常的做法是让所有网孔电流都沿相同方向循环。

示例

用于网孔电流示例问题的电路图。

该电路有 2 个在图上所示的回路。使用 KVL 我们得到

• 回路 1： $0=9-1000I_{1}-3000(I_{1}-I_{2})$
• 回路 2： $0=3000(I_{1}-I_{2})-2000I_{2}-2000I_{2}$

简化后，我们得到联立方程

$0=9-4000I_{1}+3000I_{2}$

$0=0+3000I_{1}-7000I_{2}$

求解得到

$I_{1}=3.32mA$

$I_{2}=1.42mA$

建立方程

每个网孔产生一个方程。这些方程是网孔电流完整回路中电压降的总和。对于比包含电流源和电压源更一般的电路问题，电压降将是电子元件的阻抗乘以该回路中的网孔电流。

如果网孔回路中存在电压源，则电压源的电压根据其是网孔电流方向上的电压降还是电压升高而加或减。对于不在两个网孔之间包含的电流源，网孔电流将取电流源的正值或负值，具体取决于网孔电流与电流源的方向相同还是相反。以下是上面相同的电路，以及求解电路中所有电流所需的方程。

${\begin{cases}{\text{Mesh 1: }}I_{1}=I_{s}\\{\text{Mesh 2: }}-V_{s}+R_{1}(I_{2}-I_{1})+{\frac {1}{sc}}(I_{2}-I_{3})=0\\{\text{Mesh 3: }}{\frac {1}{sc}}(I_{3}-I_{2})+R_{2}(I_{3}-I_{1})+LsI_{3}=0\\\end{cases}}\,$

超级网孔

图3：包含超级网孔的电路。超级网孔的出现是因为电流源位于基本网孔之间。

当电流源包含在两个基本网孔之间时，就会出现超级网孔。首先将电路视为电流源不存在。这会导致一个包含两个网孔电流的方程。一旦形成此方程，就需要一个方程将两个网孔电流与电流源关联起来。这将是一个电流源等于其中一个网孔电流减去另一个网孔电流的方程。以下是如何处理超级网孔的一个简单示例。

${\begin{cases}{\text{Mesh 1, 2: }}-V_{s}+R_{1}I_{1}+R_{2}I_{2}=0\\{\text{Current source: }}I_{s}=I_{2}-I_{1}\end{cases}}\,$