电路理论/相量分析

相量分析

单个电路元件的数学表示可以转换为相量表示，然后可以使用相量求解电路。

电阻、阻抗和导纳

在相量表示中，电阻、电容和电感都可以归并到一个称为“阻抗”的单一术语中。用于阻抗的相量为$\mathbb {Z}$。阻抗的倒数称为“导纳”，用$\mathbb {Y}$ 表示。 $\mathbb {V}$ 是电压，$\mathbb {I}$ 是电流。

$\mathbb {Z} ={\frac {1}{\mathbb {Y} }}$

欧姆定律的相量形式变为

$\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I} ={\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {Y} }}$

需要注意的是，即使从时域切换到相量域，欧姆定律仍然成立。更令人惊讶的是，新的术语阻抗不再仅仅是电阻的属性，而是涵盖了电路中所有负载元件（包括电容器和电感器）！

阻抗仍然以欧姆为单位测量，导纳（与其直流对应物电导一样）仍然以西门子为单位测量。

让我们仔细看一下这个方程

[相量形式的欧姆定律]

$\mathbb {V} =\mathbb {Z} \mathbb {I}$

如果我们将它分解为极坐标表示，我们得到以下结果

$M_{V}\angle \phi _{V}=(M_{Z}\times M_{I})\angle (\phi _{Z}+\phi _{I})$

这很重要，因为它表明，不仅电压和电流的大小值相互关联，而且它们各自波形的相角也相互关联。不同的电路元件将对给定电流的电压的大小和相角产生不同的影响。我们将在下面探讨这些关系。

电阻器

电阻器不会影响电压或电流的相位，只会影响大小。因此，电阻为 R 的电阻器的阻抗为

[电阻器阻抗]

$\mathbb {Z} =R\angle 0$

通过电阻器，电流和电压之间的相位差不会改变。在分析电路时，这一点很重要。

电容器

电容为 C 的电容器具有以下相量值

[电容器阻抗]

$\mathbb {Z} =C\angle \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)$

为了用度数表示，我们可以说

$\mathbb {Z} =C\angle (-90^{\circ })$

我们现在可以接受这个作为一个公理。如果我们考虑到相量可以绘制在虚数平面上，我们可以很容易地看到，$-\pi /2$ 的角度指向正下方，沿着负虚轴。然后我们得出一个重要的结论：电容的阻抗在某种意义上说是*虚数*的。由于角度直接沿着虚轴，因此相量完全没有实部。由于阻抗没有实部，我们可以看到电容器没有电阻（因为电阻是一个实数值，如上所述）。

电抗

一个电容值为 C 的电容器，在一个角速度为 $\omega$ 的交流电路中，其电抗由以下公式给出：

$\mathbb {X} ={\frac {1}{\omega C}}\angle (-90^{\circ })$

电抗是交流电路中特定于角速度为 $\omega$ 的阻抗。

电感器

电感器有一个相量值

[电感器阻抗]

$\mathbb {Z} =L\angle \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

其中 L 是电感器的电感。我们也可以用度数表示：

$\mathbb {Z} =L\angle (90^{\circ })$

与电容器一样，我们可以看到电感器的相量表明阻抗的值直接位于虚轴上。但是，电感的相量值与电容相量值的方向正好相反。我们在这里也注意到，电感器没有电阻，因为电阻是一个实数值，而电感器只有一个虚数值。

电抗

在一个交流电路中，电源角速度为 $\omega$，电感值为 L。

$\mathbb {X} =\omega L\angle (90^{\circ })$

串联连接的阻抗

如果几个阻抗串联连接，则等效阻抗只是阻抗值的总和。

----[ Z1 ]----[ Z2 ]--- ... ---[ Zn ]---   ==> ---[ Zseries ]---

[串联阻抗]

$\sum _{series}\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} _{series}$

请注意，这比必须区分串联组合电容器、电阻器和电感器的公式要容易得多。还要注意，电阻器、电容器和电感器都可以混合使用，而不必关心它们是什么类型的元件。这是非常有价值的，因为我们现在可以将不同的元件组合成一个阻抗值，而不是不同的电感值、电容值和电阻值。

但是请记住，相量需要转换为直角坐标才能相加。如果你知道公式，你可以编写一个小程序，甚至在可编程计算器上编写一个小应用程序来为你进行转换。

并联阻抗

并联连接的阻抗可以通过稍微复杂一些的过程来组合。

[并联阻抗]

$\mathbb {Z} _{parallel}={\frac {\prod _{N}Z_{n}}{\sum _{N}Z_{n}}}$

其中 N 是并联连接的阻抗总数。阻抗可以在极坐标表示中相乘，但必须转换为直角坐标才能求和。这种计算可能有点耗时，但当您考虑替代方法（必须分别处理每种类型的元件）时，我们可以看到这要容易得多。

用相量解电路的步骤

用相量解电路有一些通用的步骤

1. 将所有元件转换为相量表示法
2. 如果可能，合并阻抗
3. 如果可能，合并电源
4. 用欧姆定律和基尔霍夫定律解电路
5. 转换回时域表示法

不幸的是，相量只能用于正弦输入函数。当研究直流电路时，我们不能使用相量，当我们的输入函数是任何非正弦周期函数时，我们也不能使用相量。为了处理这些情况，我们将在后面的章节中研究更通用的方法。

网络函数

网络函数是一个相量，$\mathbb {H}$，它是电路输入与输出之比。这很重要，因为如果我们可以解出一个电路以找到网络函数，我们就可以找到对任何正弦输入的响应，只需简单地乘以网络函数即可。在时域分析中，我们必须为每个新的输入解出电路，这确实非常耗时。

网络函数定义如下

[网络函数]

$\mathbb {H} ={\frac {\mathbb {Y} }{\mathbb {X} }}$

其中 $\mathbb {Y}$ 是电路输出的相量表示，$\mathbb {X}$ 是电路输入的表示。在时域中，要找到输出，我们需要将输入与冲激响应进行卷积。然而，使用网络函数，只需将输入相量乘以网络函数，即可得到输出相量，这成为了一件简单的事情。使用这种方法，我们将整个电路转换为一个简单函数，该函数改变幅度和相位角。

增益

增益是电路放大或衰减正弦波幅度的量。增益可以从网络函数中计算得出，如下所示

[增益]

$Gain=\left|\mathbb {H} (\omega )\right|={\frac {\left|\mathbb {Y} (\omega )\right|}{\left|\mathbb {X} (\omega )\right|}}$

其中相量周围的竖线表示相量的“幅度”，而不是其他数学文本中的“绝对值”。同样，增益可能是电流或电压幅度变化的量度。然而，最常见的是，它用于描述电压。

相移

函数的相移是输入信号与输出信号之间的相位变化量。这可以从网络函数中计算得出，如下所示

[相移]

$\angle \mathbb {H} (\omega )=\angle \mathbb {Y} (\omega )-\angle \mathbb {X} (\omega )$

其中 $\angle$ 表示相量的相位。

同样，相位变化可能代表电流或电压。