电路理论/相量运算

相量运算

本页将回顾相量和相量运算主题。

形式

相量有两个组成部分，幅值 (M) 和相位角 (φ)。相量通过我们的余弦约定与正弦曲线相关联

$\mathbb {C} =|M|\angle \phi =|M|\cos(t\omega +\phi )$

记住，相量有 **3 种形式**

相量形式

• $\mathbb {C} =|M|\angle \phi$

直角坐标形式

• $\mathbb {C} =A+jB$

指数形式

• $\mathbb {C} =|M|e^{j\phi }$

相量和指数形式是相同的，也称为极坐标形式。

形式之间转换

使用相量时，通常需要在直角坐标形式和极坐标形式之间转换。要从直角坐标形式转换为极坐标形式

$|M|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

$\phi =\arctan \left({\frac {B}{A}}\right)$

要从极坐标形式转换为直角坐标形式

A 是相量沿实轴的部分

$A=|M|\cos \left(\phi \right)$

B 是相量沿虚轴的部分

$B=|M|\sin \left(\phi \right)$

加法

要将两个相量加在一起，我们必须将它们转换为直角坐标形式

$\mathbb {C} _{1}=A_{1}+jB_{1}$

$\mathbb {C} _{2}=A_{2}+jB_{2}$

$\mathbb {C} _{1}+\mathbb {C} _{2}=(A_{1}+A_{2})+j(B_{1}+B_{2})$

这是一个众所周知的复数运算性质。

减法

减法类似于加法，只是我们现在减去

$\mathbb {C} _{1}=A_{1}+jB_{1}$

$\mathbb {C} _{2}=A_{2}+jB_{2}$

$\mathbb {C} _{1}-\mathbb {C} _{2}=(A_{1}-A_{2})+j(B_{1}-B_{2})$

乘法

为了乘以两个相量，我们应该首先将它们转换为极坐标形式，以使操作更简单。极坐标形式的乘积就是其幅值的乘积，而相位是其相位的总和。

$\mathbb {C} _{1}=M_{1}\angle \phi _{1}$

$\mathbb {C} _{2}=M_{2}\angle \phi _{2}$

$\mathbb {C} _{1}\times \mathbb {C} _{2}=M_{1}\times M_{2}\angle {\phi _{1}+\phi _{2}}$

请记住，在极坐标形式中，相量是具有幅值 (M) 和辐角 (φ) 的指数量。将两个指数量相乘会导致我们乘以幅值并添加指数。

除法

除法类似于乘法，只是我们现在除以幅值并减去相位。

$\mathbb {C} _{1}=|M_{1}|\angle \phi _{1}$

$\mathbb {C} _{2}=|M_{2}|\angle \phi _{2}$

${\mathbb {C} _{1} \over \mathbb {C} _{2}}={|M_{1}| \over |M_{2}|}\angle {\phi _{1}-\phi _{2}}$

反转

一个值得理解的重要关系是相量的反转性质

$\mathbb {C} =M_{C}\angle 0=-M_{C}\angle \pi$

或者，用度表示为：

$\mathbb {C} =M_{C}\angle 0^{\circ }=-M_{C}\angle 180^{\circ }$

例如，在正常的笛卡尔坐标系中，负X轴与正X轴相差180度。利用这个事实，我们可以看到负实轴与正实轴方向完全相反，因此它们相差180度。

复共轭

类似于反转特性，相量还具有复共轭特性。复共轭用相量上方的星号表示。由于相量可以在实部-虚部平面中绘制，所以90度的相量是纯虚数，而-90度的相量是它的复共轭。

$\mathbb {C} =M\angle 90^{\circ }$

$\mathbb {C} ^{*}=M\angle -90^{\circ }=M\angle 270^{\circ }$

本质上，这对于所有角度的相量都适用：角度的符号被反转，以在极坐标表示中产生相量的复共轭。一般来说，对于极坐标表示，我们有

$\mathbb {C} =M\angle \phi$

$\mathbb {C} ^{*}=M\angle -\phi$

在直角坐标系中，我们可以将复共轭表示为

$\mathbb {C} =A+jB$

$\mathbb {C} ^{*}=A-jB$

注意，C的复共轭中唯一的区别是虚部的符号变化。