电路理论/RLC 电路

串联 RLC 电路

二阶微分方程

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=V$

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dI}{dt}}+{\frac {I}{LC}}=0$

其特征方程为

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

当 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}=0$

$\alpha ^{2}=\beta ^{2};R=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

该方程只有一个实根。 $s=-\alpha =-{\frac {R}{2L}}$

I 对 t 的解为 $I(t)=Ae^{-{\frac {R}{2L}}t}$

I-t 曲线看起来像

当 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0$

$\alpha ^{2}>\beta ^{2};R>{\frac {L}{C}}$

该方程有两个实根。$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

对于 $I(t)=e^{\left(-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\right)t}+e^{\left(-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\right)t}=e^{-\alpha }\left[e^{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+e^{-{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}\right]$

I-t 曲线看起来像

当 ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}<0$

$\alpha ^{2}<\beta ^{2};R<{\frac {L}{C}}$

该方程有两个复根。$s=-\alpha \pm j{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$

对于 $I(t)=e^{\left(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}+e^{\left(-\alpha -{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}=e^{-\alpha }\left[e^{j\left({\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}+e^{-j\left({\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}t\right)}\right]$

I-t 曲线看起来像

阻尼系数

阻尼系数是指电路振荡随时间逐渐衰减的程度。我们定义阻尼比为

电路类型	串联 RLC	并联 RLC
阻尼系数	$\zeta ={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}$	$\zeta ={1 \over 2R}{\sqrt {L \over C}}$
谐振频率	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

比较阻尼系数和谐振频率可以得出不同类型的电路：过阻尼、欠阻尼和临界阻尼。

带宽

[带宽]

$\Delta \omega =2\alpha$

对于串联 RLC 电路

$\Delta \omega =2\alpha ={R \over L}$

对于并联 RLC 电路

$\Delta \omega =2\alpha ={1 \over RC}$

品质因数

[品质因数]

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }$

对于串联 RLC 电路

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$

对于并联 RLC 电路

$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }={RC \over {\sqrt {LC}}}={R}{\sqrt {C \over L}}$

稳定性

由于电感器和电容器对不同的输入有不同的反应，因此当电路受到某些类型和幅度的输入时，其响应有可能趋于无穷大。当电路的输出趋于无穷大时，该电路被称为不稳定。不稳定的电路实际上可能很危险，因为不稳定的元件会过热并可能破裂。

当“行为良好”的输入产生“行为良好”的输出响应时，电路被认为是稳定的。“行为良好”一词在不同的应用中含义不同，但通常是指有限且可控的数量。

共振

当 R = 0 时

当 R = 0 时，电路简化为一个串联 LC 电路。当电路处于共振状态时，电路将在共振频率下振动。

$Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

$f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

电路会振动，并且可能会产生驻波，具体取决于驱动信号的频率、振荡波的波长以及电路的几何形状。

当 R ≠ 0 时

当 R ≠ 0 且电路工作在共振状态时。

频率相关的元件 L 和 C 会相互抵消，即 Z_L - Z_C = 0，因此电路的总阻抗为 $Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+[Z_{L}-Z_{C}]=R+0=R$

电路的电流为 $I={\frac {V}{R}}$

工作频率为 $\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

如果将电阻值增加一倍，电流减半，则

$I={\frac {V}{2R}}$

电路在 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 频率范围内保持稳定。

该电路能够选择带宽，使其在该带宽内保持稳定。因此，它最适合用作调谐谐振选择带宽滤波器。

使用 L 或 C 将电路调谐到共振频率 $f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}$。电流达到最大值 $I={\frac {V}{R}}$。降低电流，高于 $I={\frac {V}{2R}}$，电路将对比 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 更窄的带宽做出响应。降低电流，低于 $I={\frac {V}{2R}}$，电路将对比 $\omega _{1}-\omega _{2}$ 更宽的带宽做出响应。

结论

电路	通用	串联 RLC	并联 RLC
电路
阻抗	Z	$Z=(j\omega )^{2}+(j\omega ){\frac {R}{L}}+{\frac {1}{LC}}$	$Z={\frac {1}{RLC}}{\frac {1}{(j\omega )^{2}+j\omega {\frac {1}{RC}}+{\frac {1}{LC}}}}$
根	λ	λ = $-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$	λ = $-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{o}^{2}}}$
I(t)	Aeλ1t + Beλ2t	Aeλ1t + Beλ2t	Aeλ1t + Beλ2t
阻尼系数	$\alpha$	$\alpha ={R \over 2L}$	$\alpha ={1 \over 2RC}$
谐振频率	$\omega _{o}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$	$\omega _{o}={1 \over {\sqrt {LC}}}$
带宽	$\Delta \omega =2\alpha$	${R \over L}$	${1 \over CR}$
品质因数	$Q={\omega _{o} \over \Delta \omega }={\omega _{o} \over 2\alpha }$	$Q={L \over R{\sqrt {LC}}}={1 \over R}{\sqrt {L \over C}}$	$Q={CR \over {\sqrt {LC}}}={R}{\sqrt {C \over L}}$