电路理论/传递函数示例/示例33

具有两个初始条件的串联RLC电路，wikibook电路理论的示例33

如果V_s(t) = 1 + cos(3t)，求i_o(t)。

选择起点

由于存在初始条件，我们将从V_c(t)开始，然后逐步通过初始条件推导出i_o。

传递函数

$H(s)={\frac {V_{c}}{V_{s}}}={\frac {\frac {1}{sC}}{{\frac {1}{sC}}+{\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{sL}}}}+R_{2}}}$

MuPad命令将是

L :=1; R1:=.5; R2:=1.5; C:=.5;
simplify((1/(s*C))/(1/(s*C) + 1/(1/R1 + 1/(s*L)) + R2))

结果是

$H(s)={\frac {8s+4}{8s^{2}+11s+4}}$

齐次解

将传递函数的分母设置为0，并求解s

solve(8*s^2 + 11*s + 4)

虚根

$s_{1,2}={\frac {-11\pm {\sqrt {7}}i}{16}}$

因此，解的形式为

$V_{c_{h}}=e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

特解

经过很长时间后，电容器断路，没有电流流动，因此所有电源电压都落在电容器两端。电源是一个单位阶跃函数，因此

$V_{c_{p}}=1$

初始条件

计算常数B之前的mupad屏幕截图

将特解和齐次解相加，得到

$V_{c}(t)=1+e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

再次进行最终条件计算，得到

$V_{c}(\infty )=1=1+C\Rightarrow C=0$

这意味着C为零。

根据给定的初始条件，我们知道V_c(0₊) = 0.5，因此可以求出A

$V_{c}(0_{+})=0.5=1+A\Rightarrow A=-0.5$

求解B比较困难。根据电容器端子关系

VC := 1 + exp(-11*t/16)*(-.5*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

IT := diff(VC,t)

总电流为

$i_{T}(t)=C{dV_{c} \over dt}={\frac {11e^{-{\frac {11t}{16}}}}{16}}(0.5\cos {\frac {7t}{16}}-B\sin {\frac {7t}{16}})+{\frac {7e^{-{\frac {11t}{16}}}}{16}}(0.5\sin {\frac {7t}{16}}+B\cos {\frac {7t}{16}})$

回路方程可以用来求解LR并联组合上的电压

$V_{C}+V_{LR}+R_{2}C{dV_{c} \over dt}-V_{s}=0$

$V_{LR}=V_{s}-V_{C}-R_{2}i_{t}=1-V_{c}-1.5*i_{t}$

VLR := 1 - VC - 1.5*IT

我们知道根据电感端电压关系，

$i_{L}={\frac {1}{L}}\int V_{LR}dt+C_{1}$

IL := 1/.5 * int(VLR,t)

在这一点上，MuPAD放弃了并进行了数值计算。无论如何，从t = ∞（此时电感电流必须为零）可以清楚地看出积分常数为零。这使我们能够根据电感的初始条件计算B。

t :=0

将时间设置为零，将I_L设置为0.2安培的初始条件，并求解B

solve(IL=0.2, B)

并得到B为-0.2008928571 ...

MuPAD截图，找到所需的输出i_o

所需的答案是i_o，它只是V_LR/R_1。为了计算，需要启动新的MuPAD会话，因为t现在为零。从以下开始：

B := -0.2008928571;
R1 :=0.5;

重复上述命令直至VLR，然后添加

io = VLR/R1

$i_{o}=3e^{-{\frac {11t}{16}}}(0.0879\cos {\frac {7t}{16}}-0.219\sin {\frac {7t}{16}})-0.0625e^{-{\frac {11t}{16}}}(0.5\cos {\frac {7t}{16}}+0.201\sin {\frac {7t}{16}})$