电路理论/传递函数示例/示例34/Vc

起点

iL 的起点看起来不错。可以得到电感两端的电压和并联元件的电压。然后电压分压器将有助于获得 Vc 的初始条件。

传递函数

$H(s)={\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}{{\frac {1}{sL}}+{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}}}$

L :=1;
R1 := 1/2;
C := 1/2;
R2 := 1.5;
simplify((1/(R2 + 1/(s*C))/(1/(s*L) + 1/R1 + 1/(R2 + 1/(s*C))))

${\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {2s^{2}}{8s^{2}+11s+4}}$

齐次解

将传递函数的分母设置为 0 并求解 s

solve(8*s^2 + 11*s + 4)

$s_{1,2}={\frac {-11\pm {\sqrt {7}}i}{16}}$

因此，解将具有以下形式

$i_{L_{h}}=e^{\frac {11t}{16}}(A\cos {\frac {7}{16}}+B\sin {\frac {7}{16}})+C$

特解

经过很长一段时间，电感短路，所有电流都流过它，所以

$i_{o}=0$

初始条件

MuPad 屏幕截图，用于查找与常数相关的第一个方程

将特解和齐次解相加，得到

$i_{o}(t)=e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

再次进行最终条件，得到

$i_{o}(\infty )=0=C\Rightarrow C=0$

让我们先尝试 Vc。从电容器的端子关系

$V_{c}(t)={\frac {1}{C}}\int i_{o}dt$

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := int(io,t)

我们知道最初 Vc = 0.5，所以在 t=0 时可以找到 A 和 B 的方程

t :=0;
solve(0.5 = VC)

此时 MuPad 变为数值，得到以下方程

$A=-0.6363636364B-0.4829545455$

MuPad 代码，用于查找与常数相关的第二个方程

需要另一个方程式。可以通过将 V_r 和 V_c 相加来找到 V_t。然后从 V_t 可以找到电感器电流表达式并查看其初始条件。

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := int(io,t)

积分常数将为零，因为经过很长时间，V_C 为零（电感器短路）。

VT := VC + io*1.5

IL := int(VT)

MuPad 变为数值。

此时必须计算积分常数。经过很长时间，电感电流将变为 1，因为它将电流源短路。查看 MuPad 窗口中的 IL 可以发现每个项都乘以 e^-0.6875t，当 t 趋于 ∞ 时，该项将变为零。这意味着积分常数为 1。

因此，将 1 加到 IL，然后设置 t=0 且 I_L = 0.5，然后再次求解 A 和 B

t :=0;
solve (IL + 1 = 0.5)

得到以下方程式

$A=0.4107683001B+0.5463551119$

现在需要解这两个方程和两个未知数

solve([A = - 0.6363636364*B - 0.4829545455,A = 0.4107683001*B + 0.5463551119],[A,B])

得到

$A=0.142578125,B=-0.9829799107$

因此现在有了 i_o 阶跃响应的时域表达式

$i_{o}(t)\mu (t)=e^{-{\frac {11t}{16}}}(0.143\cos {\frac {7t}{16}}-0.983\sin {\frac {7t}{16}})$

脉冲响应

用于寻找脉冲响应和使用卷积积分的 MuPad 代码

脉冲响应是阶跃响应的导数

i_u := exp(-11*t/16)*(0.142578125 * cos(7*t/16) - -0.9829799107*sin(7*t/16))

i_s := diff(i_u,t)

卷积积分

第一步是将 i_s 代入 t

i_sub := subs(i_s, t = y-x):

现在形成卷积积分

f := i_sub*(1 + 3*cos(2*x)):
io := int(f,x = 0..y)

将 y 替换为 t

i_o :=subs(io, y=t)

将会有一个积分常数。由于驱动函数振荡，无法确定该值。电感和电容的初始条件已经过查看。为了计算积分常数，需要更多信息（例如未来某个特定时间的值）。

因此最终答案是

$i_{o}=0.344cos(2t)+0.314sin(2t)-0.201e^{-0.6875t}cos(0.438t)+1.29e^{-0.6875t}sin(0.438t)-0.143$