电路理论/传递函数示例/示例34/io

起点

i_o的起点看起来不错。积分来求V_c的初始条件。然后得到V_total的表达式，再积分来求I_L的初始条件。很多积分。

传递函数

$H(s)={\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}{{\frac {1}{sL}}+{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}+{\frac {1}{sC}}}}}}$

L :=1;
R1 := 1/2;
C := 1/2;
R2 := 1.5;
simplify((1/(R2 + 1/(s*C))/(1/(s*L) + 1/R1 + 1/(R2 + 1/(s*C))))

${\frac {i_{o}}{i_{s}}}={\frac {2s^{2}}{8s^{2}+11s+4}}$

齐次解

将传递函数的分母设为0，并解出s

solve(8*s^2 + 11*s + 4)

$s_{1,2}={\frac {-11\pm {\sqrt {7}}i}{16}}$

因此，解将具有以下形式

$i_{o_{h}}=e^{\frac {11t}{16}}(A\cos {\frac {7}{16}}+B\sin {\frac {7}{16}})$

特解

经过很长时间，电感器短路，所有电流都流过它，因此

$i_{o_{p}}=0$

初始条件

MuPad 屏幕截图，用于查找与常量相关的第一个方程

将特解和齐次解相加，得到

$i_{o}(t)=i_{o_{p}}+i_{o_{h}}+C=e^{-{\frac {11t}{16}}}(A\cos {\frac {7t}{16}}+B\sin {\frac {7t}{16}})+C$

再次进行最终条件，得到

$i_{o}(\infty )=0=C\Rightarrow C=0$

让我们先试一下V_c。从电容的端点关系

$V_{c}(t)={\frac {1}{C}}\int i_{o}dt$

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := 2* int(io,t)

我们知道最初V_c = 1.5，所以当t=0时可以找到A和B的方程

t :=0;
solve(1.5 = VC)

此时，MuPad 转为数值计算，并得到此方程

$A=-0.6363636364B-0.7244318182$

使用MuPad代码寻找与常数相关的第二个方程

需要另一个方程。可以通过将Vr和Vc相加来找到Vt。然后从Vt可以找到电感器电流的表达式并访问其初始条件。需要在MuPad中重新开始，因为t=0破坏了当前会话。因此重复设置VC

io := exp(-11*t/16)*(A*cos(7*t/16) + B*sin(7*t/16))

VC := 2*int(io,t)

积分常数将为零，因为经过很长时间后，VC为零（电感器短路）。

VT := VC + io*1.5

从电感器的端电压方程

$I_{L}(t)={\frac {1}{L}}\int V_{T}dt$

IL := int(VT,t)

MuPad转为数值运算。

此时必须确定积分常数。经过很长时间后，电感器的电流将为1，因为它将电流源短路。查看MuPad窗口中的IL可以发现，每项都乘以e^-0.6875t，当t趋于无穷大时，该项将变为零。这意味着积分常数为1。

因此，在IL中加上1，然后设置t=0和IL=0.5，再次求解A和B

t :=0;
solve (IL + 1 = 0.5)

得到这个方程

$A=6.273453094B+1.802644711$

现在需要求解这两个方程和两个未知数

solve([A = - 0.6363636364*B - 0.7244318182,A = 6.273453094*B + 1.802644711],[A,B])

得到

$A=-0.4916992187,B=-0.3657226563$

因此，现在有了io阶跃响应的时域表达式

$i_{o}(t)\mu (t)=e^{-{\frac {11t}{16}}}(-0.492\cos {\frac {7t}{16}}-0.366\sin {\frac {7t}{16}})$

脉冲响应

使用MuPad代码寻找脉冲响应并使用卷积积分

脉冲响应是阶跃响应的导数

i_u := exp(-11*t/16)*(-0.4916992187 * cos(7*t/16) - 0.3657226563*sin(7*t/16))

i_s := diff(i_u,t)

卷积积分

第一步是将is替换为t

i_sub := subs(i_s, t = y-x):

现在形成卷积积分

f := i_sub*(1 + 3*cos(2*x)):
io := int(f,x = 0..y)

将y替换为t

i_o :=subs(io, y=t)

将会有一个积分常数。这个值无法确定，因为驱动函数是振荡的。电感器和电容的初始条件已经访问过。需要更多信息（例如未来时间的特定值）才能计算积分常数。

因此，最终答案是

$i_{o}=0.335sin(2t)-0.0177cos(2t)-0.474e^{-0.6875t}cos(0.438t)-0.648e^{-0.6875t}sin(0.438t)+0.492$

答案表明，当t=0时，io=0。指数项在5/0.6875 = 7.27秒后衰减，留下一个与电流源相位差超过90°的正弦函数，直流电平约为0.5安培。