电路理论/暂态概述及学习指南

本文涵盖了暂态的基本知识，即分析电路响应，该响应在长时间后会消失。

RC 或 LC 电路

RL 和 LC 电路（含电压源，无电压源时 Vc=0）的一般求解步骤

1. 使用 KVL 和 KCL，得到一阶微分方程
2. 求特解（强迫函数） $Y_{p}$（表在页面底部）
3. 完整解是特解 + 齐次解。

$y(x){=}Y_{p}+y_{c}$

$y_{c}(x){=}K_{1}+K_{2}e^{sx}$

1. 将解代入微分方程以求 $K_{1}$ 和 s。（或者通过在稳态下求解来求 $K_{1}$）
2. 使用给定的初始条件求 $K_{2}$
3. 写出最终解

RLC 电路

• 直流电路 -> 恒定强迫函数
• 交流电路 -> 正弦强迫函数
• VDc 的特解 => L-> 短路，C-> 开路

概念	公式	备注
阻尼系数（串联 LC）	$\alpha {=}{R \over 2L}$
阻尼系数（并联 LC）	$\alpha {=}{1 \over 2RC}$
无阻尼谐振频率	$\omega _{0}{=}{1 \over {\sqrt {LC}}}$
一般形式	$f(t){=}{d^{2}i(t) \over dt^{2}}+2\alpha {di(t) \over dt}+\omega _{0}^{2}i(t)$
特征方程	$s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}{=}0$
特征方程的根	$s_{1,2}{=}-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$
阻尼比	$\zeta {=}{\alpha \over \omega _{0}}$
过阻尼	$x_{c}(t){=}K_{1}e^{s_{1}t}+K_{2}e^{s_{2}t}$	根为实数且不相等 $\zeta >1$ $\alpha >\omega$
临界阻尼	$x_{c}(t){=}K_{1}e^{s_{1}t}+K_{2}te^{s_{1}t}$	根为实数且相等 $\zeta {=}1$ $\alpha {=}\omega$
固有频率	$\omega _{n}{=}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}$
欠阻尼	$x_{c}(t){=}K_{1}e^{-\alpha t}\cos {\omega _{n}t}+K_{2}e^{-\alpha t}\sin {\omega _{n}t}$	根为复数 $\zeta <1$ $\alpha <\omega$

激励函数表

值	近似值
常数	A
$e^{t}$	$Ke^{st}$
sin(t)/cos(t)	$A\sin(pt)+B\cos(pt)$
$t^{n}$	$At^{n}+Bt^{n-1}+...+Ct+D$
$t^{n}e^{t}$	$At^{n}e^{pt}+Bt^{n-1}e^{pt}+...Ce^{pt}$