经典力学/应用

我们迄今为止的进展概述

我们已经了解了如何用拉格朗日量来描述各种力学系统。对于由点质量、刚性杆、绳索、滚动轮等组成的任何系统，找到拉格朗日量都是直截了当的。给定一个拉格朗日量，很容易推导出运动方程（欧拉-拉格朗日方程）。求解这些方程是一项技术性任务，可以使用计算机来完成。原则上，力学系统的理论描述现在已经完整了。

有一个需要注意的地方：涉及摩擦力的力学系统通常不能用拉格朗日形式主义轻松描述！拉格朗日形式主义只包括保守力，即势能的梯度。(约束可以看作是一个非常陡峭的势能的理想化，它有效地禁止了某些方向的运动，但允许其他方向的运动。)然而，摩擦力不是保守力，因为它通常以非平凡的方式依赖于速度和位置。在物理学中，摩擦力不被认为是基本力，而是由环境中大量粒子的相互作用产生的力。因此，原则上，摩擦力的影响可以从更基本的图景中推导出来，这个图景只涉及保守力。当然，在实践中，以现象学方式引入摩擦力要方便得多，即通过猜测或实验测量摩擦力的公式。一个众所周知的公式是 $F=\mu N$ ，其中 $N$ 是法向力，而 $\mu$ 是摩擦系数；该公式近似描述了粗糙表面上的动态摩擦。另一个已知的公式是 ${\vec {F}}=-A(v){\vec {v}}$ ，其中 ${\vec {v}}$ 是在介质中运动的物体的速度，而 $A(v)$ 是通常依赖于速度和物体形状的系数，其方式很复杂。该公式可用于在空气或水中运动的物体，尽管需要在每种情况下测量函数 $A(v)$ 。

剩余内容：应用

您仍然需要学习这个数学理论在各种重要情况下的实际应用。在每种情况下，都可以应用一般理论，使用合适的数学技巧，并提取重要的物理结果。理论力学专业的学生需要学习这些数学技巧，以及相应的概念及其物理解释。以下是一些主要的兴趣领域

描述点质量在中心力场中的运动。最重要的例子是开普勒问题，它对应于随着 $1/r^{2}$ 距离衰减的力。例如，这种设置描述了行星和彗星绕太阳的运动。在这种情况下，可以解析地求解运动方程，并推导出中心场运动的重要性质，如周期性、轨道参数、逃逸速度、开普勒定律、近日点进动等。开普勒问题的理论是天体力学的基础。
描述刚体在外部力作用下的运动。刚体是空间中分布的、相互之间保持固定距离的非常大量点质量的集合。因此，刚体可以整体运动或整体旋转，但不能以任何方式被挤压或变形。“刚体”的概念非常重要，因为它是在现实生活中使用的刚性物体的理想化行为。刚体的运动当然比其组成粒子的所有可能运动简单得多。因此，开发一个描述刚体可能运动的特殊形式主义非常有用。该形式主义涉及惯性张量、扭矩、角动量和无滑动滚动等概念。我想强调的是，这些概念不是力学的新的基本公理；这些概念可以从由空间中分布的许多质量粒子组成的系统，并且这些粒子被约束为保持固定距离的标准拉格朗日量中推导出来。
描述围绕静态配置的小振动。对于一个围绕静态平衡位置具有振荡自由度的力学系统（这些系统从分子到桥梁），我们做了一个近似，即系统只在该位置有很小的偏差。当这些偏差非常小时，通常可以推导出这些偏差的线性运动方程。这些运动方程描述了振动，并且可以分析它们以验证系统的位置是否稳定，即使有小的偏差。（分析在拉格朗日形式主义中最方便地进行。）该领域的关键词是正常模式、正常频率和稳定性。
描述点质量的弹性散射。更一般地说，人们考虑点质量在势中运动，使得力只有在空间的一小部分区域内显著不为零。一个典型的例子是描述一个在远离相互作用区域时具有给定速度的点质量的运动。粒子飞入，被势能偏转（散射），然后以相同的速度但以略微不同的方向飞出。典型的实验情况是一个具有略微不同位置的初始粒子束。在这种情况下，有趣的问题不是描述每个粒子的精确轨迹，而是预测有多少出射粒子将以特定方向飞出。换句话说，人们希望用无穷远处的初始（入射）状态来表征无穷远处的最终（出射）状态。该领域的关键概念是微分散射截面和总散射截面。

剩余内容：理论发展

除了这些应用之外，还有一些理论发展丰富了拉格朗日形式主义，并为理论物理学的其他领域提供了必要的基础。至少其中一些理论发展通常包含在理论力学的课程中，尽管其中一些在力学领域本身没有直接应用。我们将只研究这些发展中最重要的。

拉格朗日形式主义的一般性质：在坐标变换下的不变性、不同拉格朗日系统之间的等价性、使用作用量原理的动机、高阶导数和一阶导数的拉格朗日之间的等价性等等。这些或多或少是形式上的发展，它们加深了我们对理论的理解并阐明了理论的结构，但很少有助于解决具体问题。例如，在坐标变换下的不变性是一个重要的概念事实，它证明了为什么我们可以选择任意的广义坐标。
哈密顿形式主义。这是拉格朗日形式主义的一个非常重要的数学发展，其中使用了一个数学技巧，将速度作为独立变量包含到拉格朗日中，从而使运动方程在时间导数上为一阶。哈密顿形式主义涉及勒让德变换、泊松括号和辛几何等概念。哈密顿形式主义最重要的应用是在量子力学中；在经典力学中，它在很大程度上仍然是一个数学游戏，只有偶尔在解决力学问题时比拉格朗日形式主义更有优势，尽管它对物理学的形式发展具有深远的影响。例如，约束的存在、可积性以及向混沌的转变最自然地使用哈密顿形式主义来表达。在力学的最小标准课程中，只涵盖了哈密顿形式主义的一些基本思想：泊松括号、规范变换和哈密顿-雅可比方程。
微扰理论。这是一种近似描述系统的方法，如果该系统只是我们能够精确求解的另一个系统的微小偏差。已知几种微扰理论方法；在力学的最小标准课程中，只学习了最基本的几种方法（非谐振荡）。
对称性和守恒定律。对称变换群的存在等价于守恒定律的存在这一发现已成为粒子物理学和场论的一个非常重要的基础。关键词包括：对称群、无穷小变换（也称为“生成元”）、诺特定理、伽利略和洛伦兹不变性。目前只要求对其有定性的理解。