< 经典力学
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考虑一个中心势场 V(r)。中心势场是指势能仅依赖于场点到原点的距离的势场；换句话说，势能是各向同性的。
系统的拉格朗日量可以写成
L = 1 2 m x → ˙ 2 − V ( r ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V(r)}
由于势能具有球对称性，因此用球坐标表示拉格朗日量是有意义的。
x → ˙ 2 = ( d d t ( r sin ϕ sin θ , r cos ϕ sin θ , r cos θ ) ) 2 {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}\left(r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi \sin \theta ,r\cos \theta \right)\right)^{2}}
然后可以计算得到
x → ˙ 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 sin 2 θ {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta }
因此，拉格朗日量的方程为
L = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 sin 2 θ ) − V ( r ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)-V(r)}
然后可以使用欧拉-拉格朗日公式从拉格朗日量中提取三个运动定律
d d t ( ∂ L ∂ r ˙ ) = ∂ L ∂ r {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}} 代入 L {\textstyle {\mathcal {L}}} ： d d t ( m r ˙ ) = ( m r θ ˙ 2 + m r ϕ ˙ 2 sin 2 θ − ∂ V ∂ r ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(m{\dot {r}}\right)=\left(mr{\dot {\theta }}^{2}+mr{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta -{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)} 计算导数： m d 2 r d t 2 = m r θ ˙ 2 + m r ϕ ˙ 2 sin 2 θ − ∂ V ∂ r {\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+mr{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta -{\frac {\partial V}{\partial r}}}
这看起来很乱，但当我们查看 ϕ {\displaystyle \phi } 的欧拉-拉格朗日关系时，我们得到
d d t ( m r 2 ϕ ˙ sin 2 θ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(mr^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta \right)=0}
因此， m r 2 ϕ ˙ sin 2 θ {\displaystyle mr^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta } 在整个运动过程中是一个常数。
代入 
：
计算导数：
的欧拉-拉格朗日关系时，我们得到
在整个运动过程中是一个常数。
