经典力学/微分方程

微分方程简要介绍

如果您能轻松解决以下微分方程，可以跳过本介绍并进入下一页

{\frac {dx(t)}{dt}}=4x+8t,\quad x(0)=0

{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+15x(t)=10,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=0

{\frac {dx(t)}{dt}}=3t{\sqrt {x}},\quad x(0)=1

积分

积分是微分的逆运算。这个运算在理论物理学中非常重要，您应该熟悉如何计算积分。

定积分写成如下形式： $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 。（实际上并没有“不定积分”的概念。记号 $\int f(x)dx$ 只是 $\int \limits _{x_{0}}^{x}f(x')dx'$ 的简写形式，其中 $x_{0}$ 在后面的计算中没有使用，或者以某种自然的方式选择，方便计算。）

一些基本积分

\int f(ax)dx={\frac {1}{a}}\int f(x)dx;\quad \int t^{n}dt={\frac {t^{n+1}}{n+1}};\quad \int e^{x}dx=e^{x};\quad \int \cos(x)dx=\sin(x);

\int {\frac {dx}{x}}=\ln(x);\quad \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\arctan(x);\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin(x)

变量替换：引入 $x=g(z)$ ，其中 $g(z)$ 是一个函数

\int f(x)dx=\int f(g(z)){\frac {dg(z)}{dz}}dz

例子

\int {\frac {dx}{1+x}}=\ln(1+x)

\int {\frac {dx}{x^{2}}}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)=\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)

分部积分法

\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(x)g(x){\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx

例如，（这里我们不写积分的上下限）

\int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\ln '(x)dx=x\ln(x)-x

注意：三角函数有时更方便地用复指数表示（使用欧拉公式）

\cos(x)={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}};\quad \sin(x)={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2i}};\quad e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)

练习

计算以下不定积分。

$\int e^{2x}\sin(x)dx=$
$\int t^{2}\sin(t)dt=$
$\int \sin ^{2}(x)dx=$
$\int {\frac {dx}{\sqrt {2x+1}}}=$
$\int x{\sqrt {3x+1}}dx=$

自测一下！

$\int {\sqrt {\tan(x)}}dx=$

通解和特解

在本节中，微分方程针对未知函数 $x(t)$ 写出。导数用点表示： ${\dot {x}}\equiv {\frac {dx}{dt}}$ ， ${\ddot {x}}\equiv {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ 等等。

通解是指一个解方程的函数，并包含任意常数。对于一阶导数方程（一阶方程），只有一个常数；对于二阶方程，有两个常数，等等。

例子

求方程 ${\dot {x}}(t)=0$ 的通解。答案： $x(t)=A$ ，

其中 $A$ 是一个任意常数。

求 ${\dot {x}}=2$ 的通解。答案： $x(t)=A+2t$ 。
求解 ${\dot {x}}=4t+\cos(2t)$ 的通解。答案： $x(t)=A+2t^{2}+{\frac {1}{2}}\sin 2t$ 。
求解 ${\dot {x}}+x=0$ 的通解。答案： $x(t)=Ae^{-t}$ 。
求解二阶微分方程 ${\ddot {x}}=0$ 的通解。答案： $x(t)=A+Bt$ 。
求解 ${\ddot {x}}+7x=0$ 的通解。答案： $x(t)=A\cos(t{\sqrt {7}})+B\sin(t{\sqrt {7}})$ 。
求解 ${\ddot {x}}-7x=0$ 的通解。答案： $x(t)=Ae^{t{\sqrt {7}}}+Be^{-t{\sqrt {7}}}$ 。
求解 ${\ddot {x}}+5{\dot {x}}+4x=0$ 的通解。解：我们寻找 $x(t)=Ae^{\lambda t}$ 。那么 $\lambda$ 必须满足 $\lambda ^{2}+5\lambda +4=0$ 。

这有两个解， $\lambda =-1$ 和 $\lambda =-4$ 。所以一般解是 $x(t)=Ae^{-t}+Be^{-4t}$ 。

习题

求以下方程的一般解。

${\dot {x}}=2x$
${\ddot {x}}=3t+e^{-t}$
${\ddot {x}}={\dot {x}}$
${\ddot {x}}=-10x$
${\ddot {x}}=-2006{\dot {x}}+2006x$

特解是从一般解中根据条件（如初始条件）选取的。

{\ddot {x}}=1,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=2.\quad (1)

${\ddot {x}}=1$ 的一般解是 $x(t)=A+Bt+{\frac {t^{2}}{2}}$ 。条件 $x(0)=1$ , ${\dot {x}}(0)=2$ 仅当 $A=1$ , $B=2$ 时满足。因此，方程 (1) 的特解是 $x(t)=1+2t+{\frac {t^{2}}{2}}$ 。

要找到特解，我们首先用任意常数求一般解，然后用初始条件确定这些常数的值。

习题

解以下带初始条件的方程。绘制得到的函数 $x(t)$ 。

${\dot {x}}+3x=0,\quad x(0)=2$
${\dot {x}}-x=0,\quad x(2)=1$
${\ddot {x}}-4x=0,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=1$
${\ddot {x}}-4t=0,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=1$

边值问题是微分方程，其条件是在不同点指定的。注意：通常有无限多个函数可以满足一个微分方程。通解用包含任意常数的公式表示所有这些函数。特解是通过条件选择的，需要与未知常数一样多的条件。因此，例如，对于二阶微分方程，有两个任意常数，需要两个条件才能指定一个唯一解。与在同一时间指定两个条件（例如 $x(0)={\dot {x}}(0)=0$ ）不同，可以指定两个不同时间的条件，例如 $x(0)=1,x(1)=2$ 。这些条件被称为边界条件。

习题

求解以下边值问题。

$3{\ddot {x}}+4x=0,\quad x(0)=0,\quad x(2)=5$
${\ddot {x}}=4e^{-t},\quad x(0)=1,\quad x(1)=0$
${\ddot {x}}+4x=0,\quad x(0)=0,\quad x(\pi )=\pi$
${\ddot {x}}+x=0,\quad x(0)=2\pi ,\quad x(2\pi )=2\pi$

提示：最后两个方程具有棘手的边界条件！

一些简单的非齐次方程

形式为 ${\dot {x}}=Bx$ 的方程的一般解为 $x(t)=Ae^{Bt}$ 。那么 ${\dot {x}}=Bx+10$ 呢？一般解为 $x(t)=Ae^{Bx}+{\frac {10}{B}}$ 。怎么猜？写 $x(t)=Ae^{Bt}+C$ 并代入；然后找到 $C$ 的正确值。

习题

解以下方程。

${\dot {x}}+3x=2,\quad x(0)=1$
${\ddot {x}}+5{\dot {x}}+4x=8,\quad x(0)=2,\quad {\dot {x}}(0)=0$
$2{\ddot {x}}+18x=-1,\quad x(1)=1,\quad {\dot {x}}(1)=0$
${\ddot {x}}+9{\dot {x}}=-2,\quad x(0)=0,\quad {\dot {x}}(0)=3$

提示：在最后一个方程中，用未知函数 $v(t)$ 替换 ${\dot {x}}(t)$ 。

类似地， ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0$ 的通解为 $x(t)=A_{1}\cos(\omega t)+A_{2}\sin(\omega t)$ 。那么 ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=A+Bt$ 呢？写出 $x(t)=C_{1}+C_{2}t$ 并找到 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的正确值，然后加上通解。结果是 $x(t)=(A+Bt)\omega ^{-2}+A_{1}\cos(\omega t)+A_{2}\sin(\omega t)$ 。

注意，在每种情况下，没有右手边的方程（**齐次方程**）的通解都加上了有右手边的方程（**非齐次方程**）的猜测解。这是处理这类方程的通用原则。

习题

求解以下方程

${\ddot {x}}+2x=3t-1,\quad x(0)={\dot {x}}(0)=0$
${\ddot {x}}-4x=t^{2}-4t,\quad x(0)={\dot {x}}(0)=0$
${\ddot {x}}+{\dot {x}}+x=t^{3}+t^{2}+t,\quad x(0)={\dot {x}}(0)=0$

“常数变异法”

如果 ${\dot {x}}=Bx+f(t)$ ，其中 $f(t)$ 是一个更复杂的函数呢？这些可以用 **常数变易法** 解决。解决方案的形式为 $x(t)=A(t)e^{Bt}$ ，其中 $A(t)$ 是一个未知函数。代入 ${\dot {x}}=Bx+f(t)$ ，我们有

{\dot {A}}e^{Bt}+BAe^{Bt}=BAe^{Bt}+f(t)

因此函数 $A(t)$ 满足方程 ${\dot {A}}=e^{-Bt}f(t)$ 。它的通解是

A(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}e^{-Bt_{1}}f(t_{1})dt_{1}

其中 $t_{0}$ 是一个任意常数。因此，对于 $x(t)$ 的通解是

x(t)=e^{Bt}\int \limits _{t_{0}}^{t}e^{-Bt_{1}}f(t_{1})dt_{1}

也可以改写为

x(t)=Ae^{Bt}+e^{Bt}\int \limits _{0}^{t}e^{-Bt_{1}}f(t_{1})dt_{1}=Ae^{Bt}+\int \limits _{0}^{t}e^{B(t-t_{1})}f(t_{1})dt_{1}

其中现在 $A$ 是一个任意常数。

例子

解方程 ${\dot {x}}+x=t$ 。解： $x(t)=A(t)e^{-t}$ ; 函数 $A(t)$ 可以从 ${\dot {A}}=te^{t}$ 中找到，所以 $A(t)=\int te^{t}dt=te^{t}-e^{t}+C$ 。所以通解是 $x(t)=Ae^{-t}=t-1+Ce^{-t}$ 。我们可以通过代入 $x(t)=C_{1}t+C_{2}+Ae^{-t}$ 并找到正确的取值 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 来猜出这个解。

习题

解以下带有初始条件或边界条件的方程。

${\dot {x}}-2x=3t^{2}-2t,\quad x(0)=1$
${\dot {x}}+2x=e^{-t}\quad x(0)=1$
${\dot {x}}+x=e^{-t}\quad x(0)=1$

更一般的方程

{\dot {x}}-f(t)x=0\quad \Rightarrow \quad x=Ae^{\int f(t)dt}

例如： ${\dot {x}}+2tx=0$ 的通解是 $x(t)=Ae^{-t^{2}}$ 。

习题

求以下方程的一般解。

${\dot {x}}+t^{2}x=0$
${\dot {x}}+e^{t}x=e^{t}$

另一个通式是

{\dot {x}}-f(t)x=g(t)\quad \Rightarrow \quad x=Ae^{\int \limits _{0}^{t}f(t_{1})dt_{1}}\int \limits _{0}^{t}g(t_{1})e^{-\int \limits _{0}^{t_{1}}f(t_{2})dt_{2}}dt_{1}

这个公式可以通过在解 $Ae^{\int f(t)dt}$ 中使用“常数变异法”得到。

“分离变量法”

另一种有用的方法适用于以下形式的微分方程

{\dot {x}}=f(x)g(t)

例如，微分方程 ${\dot {x}}=x^{2}t^{2}$ 和 ${\sqrt {x}}{\dot {x}}=\cos(t)$ 就是这种形式。为了解这些方程，我们使用一种名为“分离变量法”的技巧。我们寻找形如 $F(x)=G(t)$ 的解，其中 $F$ 和 $G$ 是某些函数。如果解是这种形式，则 ${\frac {d}{dt}}F(x)={\frac {d}{dt}}G(t)$ ，这与 $(dF/dx){\dot {x}}=dG/dt$ 相同。这应该等价于原始微分方程 ${\dot {x}}=f(x)g(t)$ 。因此，

{\frac {dF(x)}{dx}}={\frac {1}{f(x)}},\quad {\frac {dG(t)}{dt}}=g(t)

这些方程很容易求解

F(x)=\int {\frac {dx}{f(x)}},\quad G(t)=\int g(t)dt

我们可以计算这些函数，并找到原始方程的以下隐式形式的一般解

\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {dx}{f(x)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}g(t)dt

这里， $x_{0}$ 和 $t_{0}$ 是积分的任意常数。此解满足初始条件 $x(t_{0})=x_{0}$ 。

例子

考虑方程 ${\dot {x}}=x^{2}t^{2}$ 。我们写

{\frac {\dot {x}}{x^{2}}}=t^{2}\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x^{2}}}=\int t^{2}dt\quad \Rightarrow \quad -{\frac {1}{x}}+C={\frac {t^{3}}{3}}\quad \Rightarrow \quad x(t)={\frac {1}{C-{\frac {t^{3}}{3}}}}

请注意，尽管存在两个“不定积分”，但只需要一个积分常数。

习题

求以下方程的一般解。

${\dot {x}}={\frac {x}{t}}$
${\frac {dy(x)}{dx}}={\frac {1+y}{1+x}}$
${\sqrt {x(t){\frac {dx(t)}{dt}}}}={\frac {1}{5t}}$

猜测解的杂项情况

一种情况是具有“源”（即右手边具有非零函数）的二阶方程。我们需要猜测非齐次方程的解。我们通过编写具有未知系数的安萨兹来猜测解。以下是一些示例

{\ddot {x}}+x=\cos(2t)\Rightarrow x(t)=C_{1}\cos(2t),\quad {\textrm {then~find~}}C_{1}

${\ddot {x}}+4{\dot {x}}+3x=\sin(t)\Rightarrow x(t)=C_{1}\sin(t)+C_{2}\cos(t),\quad {\textrm {then~find~}}C_{1,2}$

{\ddot {x}}+x=\sin(t)\Rightarrow x(t)=C_{1}t\cos(t),\quad {\textrm {then~find~}}C_{1}

注意：在最后一个例子中，我们需要一个项 $t\cos t$ 因为 $\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 已经是齐次方程的解了！

另一个例子

{\ddot {x}}+2{\dot {x}}+x=0

我们寻找形式为 $x(t)=e^{\lambda t}$ 的解，发现 $\lambda ^{2}+2\lambda +1=0$ 只有一个根 $\lambda =-1$ 。然后我们使用一个特殊的技巧：一般解不是 $Ce^{-t}$ 而是 $x(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}te^{-t}$ 。