经典力学/导论

物理学 - 经典力学

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概述：什么是经典力学

作为这门课程的前奏，让我描述一下经典力学是关于什么的。

经典力学是物理学的一部分，它处理质点（非常小的物体）和刚体（可以整体旋转但不能改变形状的大的物体）的运动。这在实践中非常有用，因为现实生活中许多物体在大多数情况下都可以近似地认为是质点或刚体。

经典力学中解决的典型问题是

找到以已知初速度抛向空中的石头的轨迹。(石头被认为是质点)。
预测宇宙飞船以已知距离行星的初始位置和速度接近某个行星的运动。(宇宙飞船被认为是质点)。
如果我们知道驱动旋转的发动机的强度，找出圆盘每分钟旋转多少圈。(圆盘被认为是整体旋转的刚体)。
找出将一个小物体加速到给定速度所需的能量和时间。(质点)。
找出由弹簧连接的质点系统中的振荡频率。

当然，人们也可以考虑比这些更复杂的问题。例如

一个轻质旋转的陀螺以一定角度立在可以沿水平面滚动而不滑动的重圆柱体表面上。确定陀螺不会从圆柱体上掉下来的条件。(圆柱体和陀螺都被认为是刚体)。
从地球发射的宇宙飞船需要在一定时间内到达火星表面。预测这次任务最合适的年份，并确定最少的火箭燃料需求。(宇宙飞船被认为是在太阳、地球和火星的引力场中运动的质点)。

使用的数学方法

经典力学使用常微分方程 (ODE) 来数学描述物体的性质。因此，坐标、角度等是依赖于时间的数字，例如 $x(t),y(t),z(t),\phi (t),\theta (t)$ ，并满足某些 (系统) ODE。

可以使用多种数学方法来求解这些方程。在某些情况下，可以找到精确解，例如： ${\ddot {x}}(t)+x(t)=0$ 的通解是 $A\sin(t)+B\cos(t)$ 。在其他情况下，解决方案仅以无法以封闭形式计算的积分形式给出。有时，可以使用摄动理论等方法近似求解方程。最后，任何 ODE 都可以以一定的精度通过数值方法 (使用计算机程序) 求解。

力学专业的学生需要学习某些标准微分方程的求解方法，这些方法可以精确求解，例如：多维谐振子、一维力场中的运动、三维中心力场中的运动。数值求解 ODE 的方法在实践中很重要，但通常不作为经典力学的一部分进行学习，因为这些方法不是特定于力学的，而是同样适用于所有微分方程。求解各种方程的数值方法最好在专门的课程中学习，这些课程涉及动手计算机编程。

牛顿力学

第一个成功的经典力学理论包含在牛顿的力学三定律中，该定律控制着质点的运动

存在这样的参考系，其中不受其他物体作用的质点将以恒定速度沿相同方向运动。(如果在某个参考系中不成立，那么该参考系不是惯性系。进一步的定律是在惯性系中制定的)。
与其他物体相互作用的质点以加速度 ${\vec {a}}$ 运动，该加速度由 ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ 确定，其中 ${\vec {F}}$ 是作用于物体的所有力的合力， $m$ 是物体的质量， ${\vec {a}}$ 是加速度，即位置矢量 ${\vec {r}}$ 对时间的二阶导数。
所有力都是由其他质点引起的，当质点 1 对质点 2 施加力 ${\vec {F}}$ 时，质点 2 也对质点 1 施加力 $-{\vec {F}}$ 。

所有质点的运动都由微分方程描述，只要所有相关的力都能被预测或测量，这些方程就可以直接求解。我假设在你开始学习理论力学之前，你已经熟悉这些定律以及它们适用的典型情况（例如，在地球附近以一定角度抛出的物体的运动）。

在牛顿力学中，刚体只是一组由“刚性棒”连接的质点。这些“刚性棒”之所以“刚性”，是因为它们始终产生恰好保持所有点之间距离恒定的力，无论存在其他任何力或运动。因此，刚体的运动可以在不引入任何其他特殊规则的情况下进行描述。人们可以推导出角动量、力矩等的概念，而无需任何额外的假设。

从牛顿力学到“理论”力学

如果需要描述液体和气体，考虑质点是十分不方便的，因此为此目的发展了一个具有自身形式体系的力学分支，即连续介质力学（连续介质的力学）。连续介质力学的形式体系被推广到场论，其中基本对象不是质点，而是场，即存在于空间所有点并同时对其所有点产生影响的某种抽象“物质”。（例如：引力场、电场和磁场。）这种物质可以用空间和时间的函数来描述，例如，矢量场 ${\vec {E}}(t,{\vec {r}})$ 描述电场。场的行为通常由偏微分方程控制；例如，电场 ${\vec {E}}(t,{\vec {x}})$ 和磁场 ${\vec {B}}(t,{\vec {x}})$ 满足麦克斯韦方程。

随着越来越复杂的问题需要解决，各种数学工具被开发出来，以简化和推广力学的数学描述。最终，人们发现了拉格朗日和哈密顿力学表述。这两种表述仍然是经典力学和场论以及爱因斯坦相对论的基石，因此间接地也是所有现代理论物理学的基石。这些力学表述并不基于“力”的假设，同样适用于质点、刚体、场和连续介质。理论力学（有时也称为“分析力学”）的主要内容是研究这些更精细、更普遍的经典力学数学表述。

概述：什么是这个“最低标准课程”

许多理论物理学都基于理论力学的概念，例如作用量的变分、对称变换或哈密顿量。本课程的目的是介绍学习理论物理学需要牢固掌握的绝对必要内容。

在本文中，我没有像数学文本那样使用“定义”、“定理”或“证明”等词语。但是，相同的结构仍然存在。我在定义新概念的句子中使用粗体来突出显示它们。

先决条件

你可以解简单的代数方程，例如 $x-{\frac {2}{x}}-1=0$ 。
您可以解决简单的微分方程，例如 ${\ddot {x}}(t)+2x(t)=3$ ，以及初始条件，例如 $x(0)=1,{\dot {x}}(0)=2$ 。
您可以操作三维向量，计算向量和、标量积、向量（叉）积、轴上的投影、直线之间的夹角。
您熟悉基本线性代数（矩阵、矩阵乘法、特征向量、矩阵对角化）。
您可以计算（或快速查找）基本积分，例如 $\int \limits _{3}^{4}{\sqrt {5x^{2}+8}}~dx$ 。
您熟悉多元微积分，可以计算偏导数，例如 $\partial _{y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。
您熟悉（欧洲）中学水平的力学，包括牛顿定律、静止状态下的力、直线和圆周运动，以及关于刚体旋转和扭矩的基本概念。

核心内容

理论力学的最小标准课程包括

对拉格朗日和哈密顿形式主义的初步研究。
- 可以使用变分原理（也称为作用原理）实现适用于所有系统的力学的一般公式。关于特定力学系统的全部信息都包含在它的拉格朗日中，拉格朗日是一个函数 $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ 。我们推导出一般情况下任意力学系统的运动方程。
- 您已经知道如何使用力、扭矩等基本方法来解决简单的力学问题，现在您将看到如何使用拉格朗日重新制定这些问题。您将看到用拉格朗日找到特定系统的拉格朗日相当直接。然后就会发现，使用这些公式解决许多问题要容易得多。
- 您需要获得一些经验，才能用拉格朗日公式来表达各种力学问题。基本上，您应该能够处理涉及点质量、弹簧、棍子、绳索、无摩擦轨道、摆、沿着圆柱体滚动的球沿着平面滚动的任何实际情况。您需要学习如何最好地选择坐标或如何在这样的系统中发现守恒定律。这只有通过解决实践问题才能获得经验。
- 刚体的旋转由于复杂的几何形状而带来了额外的困难。您需要学习一些方法来有效地处理这些情况（惯性张量、欧拉角、旋转参考系）。
- 哈密顿力学是根据拉格朗日力学推导出来的。（对于解决实际问题，哈密顿形式主义不如拉格朗日形式主义有用，尽管它在数学上更加优雅。然而，哈密顿形式主义在理论物理学中具有如此重要的意义，以至于通常在理论力学课程中早期就对其进行了研究。）
- 通常使用四维向量的形式主义在此时引入狭义相对论。在拉格朗日形式主义中，这是一种非常普通的力学理论，它有一个有点不寻常的拉格朗日。您需要对各种相对论效应培养一些物理直觉，并熟悉世界作为时空的四维描述。没有狭义相对论和对世界的四维视角，通往许多理论物理学道路实际上是封闭的。
研究实际解决实际问题所需的数学方法。
- 您需要学习如何解决各种微分方程和这类方程的系统。典型的方程是带驱动力的谐振子方程， ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)$ 。通常，您需要能够找到一般解以及给定初始条件的特定解。在这一点上，我们只研究可以精确求解的方程。
- 您需要获得分析各种类型方程解的行为的经验：线性系统、振荡和共振，以及一些简单的可解非线性方程，如开普勒问题。这些是非常古老的问题，在物理学中反复出现，因此您应该非常熟悉它们的解的定性特征。
- 您需要学习变分法的一些基本概念。特别是，您需要了解泛函的概念，并学习计算泛函导数（即泛函的“变分”）。否则，您就不能真正理解变分原理的使用，而变分原理在所有理论物理学中都非常重要。

您通常需要针对每种数学方法解决多个实践问题，以便您能够看到这些方法是如何工作的，并积累经验。

额外材料

上述主题被认为是标准的，因为如果没有掌握它们，就无法继续学习理论物理学。还有一些更高级的主题，这些主题建立在标准主题的基础上，并通往其他物理学领域

摄动理论、非线性振荡、参数共振、绝热不变量的方法（对天体力学、混沌和其他事物很有用）。
使用四元数而不是欧拉角来描述刚体的方位（对导弹运动的数值模拟很有用）。
散射理论的要素：弹性/非弹性散射；中心势中的截面（为粒子物理学做准备）。
对“对称性”的一般定义以及守恒定律的推导（诺特定理）。这实际上是规范场论的准备，规范场论是粒子物理学的基础。
对称性和多维系统中的振荡（例如分子的振荡）。
作用角变量和可积性问题（为混沌理论做准备）。
正则变换、哈密顿-雅可比方程——发现可积系统的工具。（主要用于数学物理学。）
积分不变量、辛结构（发现守恒定律并更深入地解释理论结构的工具；在场论中有用）。
处理受约束的退化系统（为规范理论做准备）。
连续介质力学的基本要素包括：连续性方程、应力-能量张量、欧拉方程。(广泛应用于流体力学、介质电动力学、动力学等领域)

一些主题通常包含在理论力学课程中，具体内容取决于讲师的偏好。理论力学史通常不会被学习，学生主要学习的是当代简化且系统化的力学理论。