交换环理论/可除性和主理想

定义（主理想）:

令 $R$ 为交换环。主理想 是 $R$ 的 左主理想。等价地，它是 $R$ 的右主理想或双边主理想。

命题（主理想的可除性特征）:

令 $R$ 为交换环，令 $a,b\in R$。则 $a|b\Leftrightarrow \langle a\rangle \geq \langle b\rangle$.

证明：这两个断言都等价于存在一个 $c\in R$ 使得 $b=ac$。 $\Box$

定义（相似性）:

令 $R$ 为交换环。两个元素 $a,b\in R$ 被称为相似当且仅当存在一个单位 $u\in R$ 使得 $a=ub$.

命题（相似性是等价关系）:

给定一个环 $R$，相似关系在 $R$ 的元素上定义了一个等价关系。

证明：对于自反性，使用恒等式，对于对称性，使用逆元。假设 $a=ub$ 且 $b=vc$，其中 $u,v\in R^{\times }$。那么 $a=uvc$，当然 $uv\in R^{\times }$。 $\Box$

命题（在一个整环中，主理想的生成元在相似性意义下是唯一的）:

设 $R$ 是一个整环，并且设 $\langle a\rangle \leq R$ 是 $R$ 的一个主理想。那么如果 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 对于某个元素 $b\in R$ 成立，则对于某个 $u\in R^{\times }$ 有 $a=ub$。

证明：等式 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 意味着存在某些 $x,y\in R$，使得 $a=xb$ 且 $b=ya$。因此，$a=xya$。根据消去律（因为 $R$ 是一个整环），$xy=1$，因此 $x$ 是一个单位元，所以 $a$ 和 $b$ 是相似的。$\Box$