交换环理论/主理想整环

定义（主理想整环）:

一个主理想整环是一个整环 $R$，其每个理想都是 主理想。

命题（Bézout 整环是主理想整环当且仅当它满足 Noetherian 条件或对主理想满足升链条件）:

设 $R$ 为一个 Bézout 整环。那么以下等价：

1. $R$ 是一个主理想整环
2. $R$ 是 Noetherian 的
3. $R$ 的主理想满足升链条件

（关于依赖选择公理的条件。）

证明： 蕴涵 “1. $\Rightarrow$ 2.” 是显而易见的。假设 3. 成立，并令 $I\leq R$ 为任意理想。如果 $I$ 不是主理想，那么无论何时 $a\in I$，我们都能找到一个 $b\in I$ 使得 $b\notin \langle a\rangle$。因此，从任意 $a_{1}\in I$ 开始，并应用依赖选择公理（应用于具有适当关系的有限元组集）产生一个序列 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $I$ 中，使得 $a_{n+1}\notin \langle \gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})\rangle$；事实上，$\gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})\in I$，因为 $R$ 是 Bézout 整环。如果我们定义

$b_{n}:=\gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})$，我们有 $\langle b_{1}\rangle \supsetneq \langle b_{2}\rangle \supsetneq \cdots$；

因此，我们定义了一个 $R$ 的主理想上升链，它不稳定。最后，每一个主理想整环都必须是诺特环，因为诺特环等价于所有理想都是有限生成的。 $\Box$