交换环理论/可除性和主理想

定义（主理想）:

令 $R$ 为一个交换环。一个主理想是 $R$ 的一个 左主理想。等价地，它是一个 $R$ 的右主理想或一个双边主理想。

命题（由主理想的可除性特征）:

令 $R$ 为一个交换环，令 $a,b\in R$。则 $a|b\Leftrightarrow \langle a\rangle \geq \langle b\rangle$.

证明：这两个断言都等价于存在一个 $c\in R$ 使得 $b=ac$。 $\Box$

定义（相似性）:

令 $R$ 为一个交换环。两个元素 $a,b\in R$ 被称为相似当且仅当存在一个单位 $u\in R$ 使得 $a=ub$.

命题（相似性是一个等价关系）:

给定一个环 $R$，相似性关系定义了 $R$ 元素上的一个等价关系。

证明：对于自反性，使用单位元，对于对称性，使用逆元。假设 $a=ub$ 且 $b=vc$，其中 $u,v\in R^{\times }$。则 $a=uvc$，当然 $uv\in R^{\times }$。 $\Box$

命题（在一个整环中，主理想的生成元在相似性下是唯一的）:

设 $R$ 为一个整环，设 $\langle a\rangle \leq R$ 为 $R$ 的一个主理想。那么，如果对于某个元素 $b\in R$，有 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$，则有 $a=ub$，其中 $u\in R^{\times }$。

证明：等式 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 意味着 $a=xb$ 且 $b=ya$，其中 $x,y\in R$。因此，$a=xya$。根据消去律（由于 $R$ 是整环，消去律成立），有 $xy=1$，因此 $x$ 是一个单位，因此 $a$ 和 $b$ 相似。$\Box$