复变函数论/复函数/解析函数

从我们对复数导数的考察中，我们现在来考察解析函数、柯西-黎曼方程和调和函数。

2.4.1 全纯函数

注意：全纯函数有时被称为解析函数。这种等价性将在后面证明，但在此之前这两个术语可以互换使用。

定义：复值函数 $f(z)$ 在开集 $G$ 上是全纯的，如果它在 $G$ 中的每个点都有导数。

这里，全纯性是在开集上定义的，然而，可微性可能只存在于一个点。如果 f(z) 在整个复平面上是全纯的，那么我们说 f 是整函数。例如，z 的所有多项式函数都是整函数。（证明）

2.4.2 柯西-黎曼方程

全纯的定义表明所述函数的实部和虚部之间存在关系。假设 $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ 在 $z_{0}=x_{0}+y_{0}i$ 可微。那么极限

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$

可以通过让 $\Delta z_{0}(=\Delta x_{0}+\Delta y_{0}i)$ 从 $\mathbb {C}$ 中的任何方向趋近于零来确定。

如果它水平趋近，我们有 $f'(z_{0})={\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$ 。类似地，如果它垂直趋近，我们有 $f'(z_{0})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{0},y_{0})-i{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ 。通过将这两个等式的实部和虚部相等，我们得到

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$

这些方程被称为柯西-黎曼方程，并由此引出一个重要的定理。

定理: 设函数 $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ 定义在包含点 $z_{0}$ 的开集 $G$ 上。如果 $u,v$ 的一阶偏导数在 $G$ 上存在，并且在 $z_{0}$ 处连续，并且满足柯西-黎曼方程，则 f 在 $z_{0}$ 处可微。此外，如果上述条件满足，则 $f$ 在 $G$ 上是解析函数。(证明).

2.4.3 调和函数

现在我们来讨论调和函数。回想一下拉普拉斯方程，$\nabla ^{2}(\phi ):={\frac {\partial ^{2}(\phi )}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(\phi )}{\partial y^{2}}}=0$

定义: 实值函数 $\phi (x,y)$ 在区域 $D$ 内是 **调和** 的，如果它所有二阶偏导数在 $D$ 内连续，并且在 $D$ 中的每个点，$\phi$ 在区域 $D$ 内是解析的，那么 $u(x,y),v(x,y)$ 在 $D$ 内也是调和的。(证明)

接下来