从我们对复数导数的考察中,我们现在来考察解析函数、柯西-黎曼方程和调和函数。
- 2.4.1 全纯函数
注意:全纯函数有时被称为解析函数。这种等价性将在后面证明,但在此之前这两个术语可以互换使用。
定义:复值函数
在开集
上是全纯的,如果它在
中的每个点都有导数。
这里,全纯性是在开集上定义的,然而,可微性可能只存在于一个点。如果 f(z) 在整个复平面上是全纯的,那么我们说 f 是整函数。例如,z 的所有多项式函数都是整函数。(证明)
- 2.4.2 柯西-黎曼方程
全纯的定义表明所述函数的实部和虚部之间存在关系。假设
在
可微。那么极限

可以通过让
从
中的任何方向趋近于零来确定。
如果它水平趋近,我们有
。类似地,如果它垂直趋近,我们有
。通过将这两个等式的实部和虚部相等,我们得到

这些方程被称为柯西-黎曼方程,并由此引出一个重要的定理。
定理: 设函数
定义在包含点
的开集
上。如果
的一阶偏导数在
上存在,并且在
处连续,并且满足柯西-黎曼方程,则 f 在
处可微。此外,如果上述条件满足,则
在
上是解析函数。(证明).
- 2.4.3 调和函数
现在我们来讨论调和函数。回想一下拉普拉斯方程,
定义: 实值函数
在区域
内是 **调和** 的,如果它所有二阶偏导数在
内连续,并且在
中的每个点,
在区域
内是解析的,那么
在
内也是调和的。(证明)
接下来