复分析/复函数/复导数

复可微性

现在让我们定义复可微性。

定义 2.3.1:

令 $S\subseteq \mathbb {C}$ , 令 $f:S\to \mathbb {C}$ 为一个函数，并令 $z_{0}\in S$ . $f$ 称为在 $z_{0}$ **复可微** 当且仅当存在一个 $w\in \mathbb {C}$ 使得

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=w$

例 2.3.2

函数

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z)={\bar {z}}$

在任何地方都不可微。

证明

令 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 为任意值。假设 $f$ 在 $z_{0}$ 复可微，即

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in \mathbb {C} }{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}$

存在。

我们选择

${\begin{aligned}A:=\{z\in \mathbb {C} |\Re z=\Re z_{0}\}\\B:=\{z\in \mathbb {C} |\Im z=\Im z_{0}\}\end{aligned}}$

根据引理 2.2.3，由于$\mathbb {C}$ 是开放的，所以有

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in \mathbb {C} }{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}$

但是

${\begin{aligned}&\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}{\frac {\Re (z-z_{0})-i\Im (z-z_{0})}{\Re (z-z_{0})+i\Im (z-z_{0})}}=-1\\\\&\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}{\frac {\Re (z-z_{0})-i\Im (z-z_{0})}{\Re (z-z_{0})+i\Im (z-z_{0})}}=1\end{aligned}}$

矛盾。$\Box$

柯西-黎曼方程

我们可以定义一个从 $\mathbb {C}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的自然双射函数，如下所示

$\Phi (x+yi):=(x,y)$

事实上，$\Phi$ 是 $\mathbb {C} ^{1}$ 和 $\mathbb {R} ^{2}$ 之间的向量空间同构。

$\Phi$ 的逆由下式给出

$\Phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} ,\Phi ^{-1}(x,y)=x+yi$

定理和定义 2.3.3:

设 $O\subseteq \mathbb {C}$ 为开集，设 $f:O\to \mathbb {C}$ 为一个函数，并设 $z_{0}=x_{0}+y_{0}i\in O$ 。如果 $f$ 在 $z_{0}$ 处复可微，则函数

${\begin{aligned}&u:\Phi (O)\to \mathbb {R} ,u(x,y)=\Re f(x+yi)\\&v:\Phi (O)\to \mathbb {R} ,v(x,y)=\Im f(x+yi)\end{aligned}}$

是定义明确的，在$(x_{0},y_{0})$处可微，并满足以下方程

${\begin{aligned}&\partial _{x}u(x_{0},y_{0})=\partial _{y}v(x_{0},y_{0})\\&\partial _{y}u(x_{0},y_{0})=-\partial _{x}v(x_{0},y_{0})\end{aligned}}$

这些方程称为柯西-黎曼方程。

证明

1. 我们证明$u,v$ 的定义明确性。

令$(x,y)\in \Phi (O)$。我们在两边应用逆函数得到

$x+yi\in \Phi ^{-1}(\Phi (O))=O$

其中最后一个等式成立是因为$\Phi$是双射的（对于任何双射$f:S_{1}\to S_{2}$，我们有$f^{-1}{\bigl (}f(S_{3}){\bigr )}=f{\bigl (}f^{-1}(S_{3}){\bigr )}=S_{3}$如果$S_{3}\subseteq S_{1}$；参见练习 1）。

3. 我们证明$u$和$v$的可微性以及柯西-黎曼方程。

我们定义

${\begin{aligned}S_{1}:=\{z\in \mathbb {C} :\Re (z)=\Re (z_{0})\}\cap O\\S_{2}:=\{z\in \mathbb {C} :\Im (z)=\Im (z_{0})\}\cap O\end{aligned}}$

然后我们有

${\begin{aligned}\partial _{x}u(x_{0},y_{0})&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {u(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}}&\\&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\Re {\bigl (}f(x+y_{0}i){\bigr )}-\Re {\bigl (}f(x_{0}+y_{0}i){\bigr )}}{x-x_{0}}}&\\&=\Re \left(\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x+y_{0}i)-f(x_{0}+y_{0}i)}{x-x_{0}}}\right)&{\text{continuity of }}\Re \\&=\Re \left(\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S_{2}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\right)&\\&=\Re \left(\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S_{1}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\right)&{\text{lemma 2.2.3}}\\&=\Re \left(\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0}+yi)-f(x_{0}+y_{0}i)}{yi-y_{0}i}}\right)&\\&=\Re \left((-i)\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0}+yi)-f(x_{0}+y_{0}i)}{y-y_{0}}}\right)&i^{-1}=-i\\&=\Im \left(\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0}+yi)-f(x_{0}+y_{0}i)}{y-y_{0}}}\right)&\\&=\partial _{y}v(x_{0},y_{0})\end{aligned}}$

从这些方程中可以得出$\partial _{x}u(x_{0},y_{0}),\partial _{y}v(x_{0},y_{0})$ 的存在，例如

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S_{2}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

根据引理 2.2.3 存在。

对于

$\partial _{y}u(x_{0},y_{0})=-\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$

以及$\partial _{y}u(x_{0},y_{0}),\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$ 的存在性，我们留作练习 2。 $\Box$

全纯函数

定义 2.3.4:

令$S\subseteq \mathbb {C}$ 且令 $f:S\to \mathbb {C}$ 为一个函数。我们称$f$ 为 **全纯** 当且仅当对于所有$z_{0}\in S$ , $f$ 在$z_{0}$ 可微。在这种情况下，函数

$f':S\to \mathbb {C} ,f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

称为$f$的复导数。我们用$H(S)$表示定义在$S$上的全纯函数集。

练习

1. 令$S_{1},S_{2},S_{3}$是集合，使得$S_{3}\subseteq S_{1}$，并令$f:S_{1}\to S_{2}$是一个双射函数。证明$f^{-1}{\bigl (}f(S_{3}){\bigr )}=f{\bigl (}f^{-1}(S_{3}){\bigr )}=S_{3}$。
2. 令$O\subseteq \mathbb {C}$为开集，令$f:O\to \mathbb {C}$为一个函数，并令$z_{0}=x_{0}+y_{0}i\in O$。证明如果$f$在$z_{0}$处复可微，那么$\partial _{y}u(x_{0},y_{0})$和$\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$存在，并满足方程$\partial _{y}u(x_{0},y_{0})=-\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$。

接下来