复变函数论/复变函数/连续函数

在本节中，我们

• 介绍比实分析中已知的“更广义的极限”（即关于$\mathbb {C}$子集的极限），并
• 利用该“极限类”来刻画从复数子集映射到复数的函数的连续性。

关于原像子集的复变函数极限

我们现在将定义并处理以下形式的语句

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

对于$B\subseteq \mathbb {C} ,f:B\to \mathbb {C} ,B'\subseteq B,w\in \mathbb {C}$，并证明关于这些语句的两个引理。

定义 2.2.1:

令$B\subseteq \mathbb {C}$ 是一个集合，令$f:B\to \mathbb {C}$ 是一个函数，令$B'\subseteq B$，令$z_{0}\in B'$ 并且令$w\in \mathbb {C}$。如果

$\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:{\bigl (}z\in B'\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon {\bigr )}$

我们定义

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z):=w$

引理 2.2.2:

令$B\subseteq \mathbb {C}$ 是一个集合，令$f:B\to \mathbb {C}$ 是一个函数，令$B''\subseteq B'\subseteq B$，令$z_{0}\in B''$ 并且$w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

那么

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B''}f(z)=w$

证明：令 $\varepsilon >0$ 为任意数。由于

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

存在一个 $\delta >0$ 使得

$z\in B'\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon$

但由于 $B''\subseteq B'$，我们也有 $B''\cap B(z_{0},\delta )\subseteq B'\cap B(z_{0},\delta )$，因此

$z\in B''\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in B'\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon$

因此

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B''}f(z)=w$$\Box$

引理 2.2.3:

令 $B\subseteq \mathbb {C}$，$f:B\to \mathbb {C}$ 为一个函数，$O\subseteq B$ 为开集，$z_{0}\in O$ 且 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$

那么对于所有 $B'\subseteq B$ 使得 $z_{0}\in B'$ 

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

证明

令 $B'\subseteq B$ 使得 $z_{0}\in B'$。

首先，由于 $O$ 是开集，我们可以选择 $\delta _{1}>0$ 使得 $B(z_{0},\delta _{1})\subseteq O$。

现在令 $\varepsilon >0$ 为任意数。由于

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$

存在一个 $\delta _{2}>0$ 使得

$z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$

我们定义 $\delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 并得到

$z\in B(z_{0},\delta )\cap B'\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$$\Box$

复函数的连续性

我们回顾一下函数

$f:M\to M'$

其中 $M,M'$ 是度量空间，是连续的当且仅当

$x_{l}\to x,l\to \infty \Rightarrow f(x_{l})\to f(x)$

对于所有收敛序列 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 在 $M$ 中。

定理 2.2.4:

设 $B\subseteq \mathbb {C}$ 且 $f:B\to \mathbb {C}$ 为一个函数。那么 $f$ 连续当且仅当

$\forall z_{0}\in B:\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}f(z)=f(z_{0})$

证明

习题

1. 证明如果我们定义

   $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z)={\begin{cases}{\dfrac {z^{2}}{|z|^{2}}}&:z\neq 0\\1&:z=0\end{cases}}$

   那么 $f$ 在 $0$ 处不连续。提示：考虑穿过 $0$ 的不同直线的极限，并使用定理 2.2.4。

接下来