复分析/复函数的极限与连续性

在本节中，我们将

• 介绍一个比实分析中已知的“更广阔的极限类”（即相对于$\mathbb {C}$的子集的极限），并且
• 使用这个“极限类”来描述从复数子集到复数的映射函数的连续性。

复函数

定义 2.1:

令$S_{1},S_{2}$ 为集合，$f:S_{1}\to S_{2}$ 为一个函数。当且仅当$S_{1},S_{2}\subseteq \mathbb {C}$时，$f$ 是一个复函数。

例子 2.2:

函数

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z):=z^{2}$

是一个复函数。

复函数在原像子集上的极限

现在我们将定义并处理以下形式的语句：

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$

对于$S\subseteq \mathbb {C}$，$f:S\to \mathbb {C}$，$A\subseteq S$ 和$w\in \mathbb {C}$，并证明关于这些语句的两个引理。

定义 2.3:

设 $S\subseteq \mathbb {C}$ 为一个集合，设 $f:S\to \mathbb {C}$ 为一个函数，设 $A\subseteq S$，设 $z_{0}\in A$，设 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\forall \epsilon >0:\exists \delta >0:\left(z\in A\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon \right)$,

我们定义

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z):=w$.

引理 2.4:

设 $S\subseteq \mathbb {C}$ 为一个集合，设 $f:S\to \mathbb {C}$ 为一个函数，设 $B\subseteq A\subseteq S$，设 $z_{0}\in B$ 和 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$,

那么

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}f(z)=w$.

证明: 设 $\epsilon >0$ 为任意实数。由于

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$,

存在一个 $\delta >0$ 使得

$z\in A\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon$.

但由于 $B\subseteq A$，我们也有 $B\cap B(z_{0},\delta )\subseteq A\cap B(z_{0},\delta )$，因此

$z\in B\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in A\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon$,

因此

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}f(z)=w$.$\Box$

引理 2.5:

令 $S\subseteq \mathbb {C}$，$f:S\to \mathbb {C}$ 为一个函数，$O\subseteq S$ 为开集，$z_{0}\in O$ 且 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$,

那么对于所有满足 $z_{0}\in A$ 的 $A\subseteq S$

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$.

证明:

令 $A\subseteq S$ 满足 $z_{0}\in A$。

首先，由于 $O$ 是开集，我们可以选择 $\delta _{1}>0$ 使得 $B(z_{0},\delta _{1})\subseteq O$。

现在令 $\epsilon >0$ 为任意数。由于

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$,

存在一个$\delta _{2}>0$ 使得

$z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$.

我们定义$\delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 并得到

$z\in B(z_{0},\delta )\cap A\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$.$\Box$

复函数的连续性

定义 2.6:

设$S\subseteq \mathbb {C}$ 且$f:S\to \mathbb {C}$ 是一个函数。则$f$ 被定义为连续当且仅当

$\forall z_{0}\in S:\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S}f(z)=f(z_{0})$.

练习

1. 证明如果我们定义

   $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z)={\begin{cases}{\frac {z^{2}}{|z|^{2}}}&z\neq 0\\1&z=0\end{cases}}$,

   则$f$ 在$0$ 处不连续。提示：考虑经过$0$ 的不同直线的极限，并使用定理 2.2.4。

接下来