复分析/留数理论/部分分式

这可能是最基本的技术，不需要太多理论，主要只需要代数运算。但是，它确实有局限性，也就是说它实际上只适用于多项式。这更像是一种食谱方法：这里有食谱，按照步骤操作即可。

给定两个多项式函数 $P(z)$ 和 $Q(z)$，其中 Q 的次数大于 P 的次数，我们定义另一个函数为这两个多项式的商

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$

我们注意到，如果我们对 Q 进行因式分解，我们得到

$Q(z)=(z-z_{0})^{a_{0}}\cdot (z-z_{1})^{a_{1}}\cdot ...$

那么，根据 $(z-z_{0})^{a_{0}}$ 的形式，我们可以将函数简化为一系列简单的或 m 阶极点，如下所示

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {A_{0}(x)(+B_{0})}{(z-z_{0})^{a_{0}}}}+{\frac {A_{0}(x)(+B_{0})}{(z-z_{0})^{a_{0}-1}}}+...+{\frac {A_{1}(x)(+B_{1})}{(z-z_{1})^{a_{1}}}}+{\frac {A_{1}(x)(+B_{1})}{(z-z_{1})^{a_{1}-1}}}+...$

然后，系数 $A_{0},...,B_{0},...$ 可以求解，并且可以将函数表示为具有可读留数的显式形式。

当然，这通过示例和案例来解释会好得多。

情况 1，简单的一阶因子

我们从函数开始

$f(z)={\frac {1}{z^{2}+3z+2}}$

并注意到它可以这样因式分解

$f(z)={\frac {1}{z^{2}+3z+2}}={\frac {1}{(z+1)(z+2)}}$

对于这种情况，我们“猜”到的正确形式如下

${\frac {1}{(z+1)(z+2)}}={\frac {A_{0}}{z+1}}+{\frac {A_{1}}{z+2}}$

剩下的部分通过代数来完成，我们在两边都乘以 $(z+1)(z+2)$

$1=A_{0}z+2A_{0}+A_{1}z+A_{1}$

这给了我们两个方程

$0=A_{0}z+A_{1}z$

$1=2A_{0}+A_{1}$

因此

$A_{0}=1$ 以及 $A_{1}=-1$

我们的函数可以改写为

$f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z+2}}$

本节的其余部分讨论了有助于分离的几个分数形式，因为实际方法和理论仍然适用。

其他两种情况

情况 1，不可分解项。在我们的通用表达式中，有一个 A(x)+B 项，但实际上应该包含一个额外的多项式来表示可能的“不可分解”项（即，那些不能仅使用实数分解的项，尽管如果使用虚数正确分解这些项，该方法仍然有效）。为了解决这个问题，“猜”到的分数中要包含这些额外的项。例如，

$f(z)={\frac {1}{(z^{2}+4)(z-1)}}={\frac {A_{0}x+B_{0}}{z^{2}+4}}+{\frac {A_{1}}{z-1}}$

需要求解 $A_{0}$，$B_{0}$ 和 $A_{1}$。

情况 2，项被乘方。正确的“猜”将包含因子递减幂的一系列尾随项。例如，

$f(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}(z-1)}}={\frac {A_{0}}{(z+1)^{2}}}+{\frac {A_{1}}{z+1}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}$

备注

同样，部分分式分解只适用于多项式，对于大型分母来说可能非常麻烦。下一节将探讨一种更通用的方法来确定留数。