复变函数/留数理论/一些推论

简化积分

给定以下积分

$\int _{a}^{b}{\frac {1}{x^{2}-1}}dx$

现在使用部分分式（或留数定理），我们可以将其分解成一系列单极点项，这将允许我们使用替换法并得到对数解

$\int _{a}^{b}{\frac {\frac {1}{2}}{x-1}}dx+\int _{a}^{b}{\frac {-{\frac {1}{2}}}{x+1}}dx$

${\frac {1}{2}}\ln(x-1)|_{a}^{b}-{\frac {1}{2}}\ln(x+1)|_{a}^{b}$

柯西留数定理

柯西留数定理是一个非常重要的结果，它在复变函数论中产生了诸多其他结果，但对我们来说更重要的是，它允许我们仅使用留数来计算积分，也就是说，我们可以不进行实际的“积分”就能直接计算积分。注意：它的推导在复变函数中，复变函数被列为这些更高级技巧的先决条件。

这是实际的（一般的）定理

设Γ是一个简单闭合正向曲线。如果f在包含Γ的某个单连通域D内是解析的，并且$z_{0}$是Γ内部的任意一点，则

$f^{n}(z_{0})={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\gamma )}{(\gamma -z)^{n+1}}}dz$

乍一看，这与留数完全没有关系，但数学家是非常抽象和狡猾的人。

取一个一般函数，记为$g(z)$，这样我们不会将其与柯西积分公式中的函数混淆。$g(z)$可以展开成洛朗级数

$g(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

现在，我们沿曲线Γ对$g(z)$进行积分，并记住$g(z)$已经被“洛朗化”了

$\int _{\Gamma }\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}dz$

根据复分析，级数中那些解析且为零的部分被舍弃了（这实际上是柯西的另一个结果），剩下的就是包含底数幂的积分的和。现在，通过对$g(z)$进行微分并应用柯西积分公式（证明过程很繁琐，但你可以自己用洛朗级数进行验证），你将得到柯西留数定理（柯西确实做了很多这方面的工作，在复分析课程中，一个经常出现的玩笑是，“难道不是每个证明都是柯西做的吗？”）。

$\int _{\Gamma }g(z)=2\pi i\sum _{j=1}^{n}\mathrm {Res} (z_{j})$

仔细阅读这个公式几次，确保你真正理解它的含义。要进行积分，你只需要计算留数。你是否觉得它没有用，因为你只关注实数轴？你的思维还不够开阔。取一条线积分，其中一部分在实数轴上，另一部分在复平面上，并且易于计算，作为一个通用的例子。

$\int _{\Gamma }g(z)=\int _{\text{Real Line}}g(z)+\int _{\text{A simple line that closes the loop}}g(z)=2\pi i\sum _{j=1}^{n}\mathrm {Res(z_{j})}$

不幸的是，这也很接近复分析书籍的内容，因为这些“简单的线”在书中都有讨论。但为了不让你悬而未决，这里给出一个典型的简单例子，以便你可以在不自己进行积分的情况下尝试积分。

如果$f(z)$是两个多项式的商，并且分母多项式的次数至少比分子多项式高2，那么$\lim _{\rho \rightarrow \infty }\int _{C_{\rho ^{+}}}f(z)dz=0$。

其中$C_{\rho ^{+}}$是平面上的半圆。这允许你闭合由实数轴上的积分形成的一些回路，并自己尝试这种方法。

这就是我们结束的地方！