复分析/留数理论/基础

什么是留数？

当我们说我们想要一个函数在某个点的留数时，意味着我们想要该函数在该点展开后的简单极点（分母为零）项的系数。例如，函数

$f(x)={\frac {3}{x+1}}$

在$-1$处的留数为3。

类似地，对于

$f(x)={\frac {3}{x+1}}+{\frac {3}{x+2}}$

它的留数也是3，因为第二项在 -1 处没有极点。

当然，我们会遇到的函数将比这复杂得多，有些可能在分母中包含二次项，有些可能像$\sin({\frac {1}{z}})$一样没有定义良好；根据函数类型，我们会遇到不同类型的孤立奇点。当然，在继续之前，这些东西需要被明确定义，以包含可能出现的冲突。此外，我们的求留数方法会随着奇点类型的不同而变化！这可能是本章最重要的内容。

孤立奇点

有三种类型

1) 可去奇点

2) m阶极点

3) 本性奇点

我们将在下面逐一详细介绍。

可去奇点

严格定义是，当$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=k$时，该函数称为可去奇点，其中$k$ 是某个常数值（你可能需要使用洛必达法则才能得到这个结论）。

通俗地说，这是一个函数，它在分子和分母上有相同的项可以被约去。

例如，下面的函数

$f(x)={\frac {3(x+1)}{x+1}}$

在$z_{0}=-1$处有一个可去奇点。

至于这与留数有什么关系，根据严格定义，这意味着该函数在该点的留数被认为是 0。如果约去之后还留下了相同的项，例如在下面的函数中

$f(x)={\frac {3(x+1)}{(x+1)^{2}}}$

m阶极点

同样，严格定义是，如果函数 f 在$z_{0}$处有极点，则$\lim _{z\rightarrow z_{0}}||f(z)||=\infty$，我们通过劳伦级数中极点的最高阶数（通俗地说，约去后剩余的幂的次数）来分类m阶。换句话说

在 $z_{0}$ 处的极点阶数是指满足 $\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{m}f(z)$ 有界的最小的整数 m。

示例

$f(x)={\frac {3}{x+1}}+{\frac {3}{(x+1)^{2}}}$

关于 $-1$ 具有二阶极点。这是因为：$(x+1)^{2}f(x)=3(x+1)+3$ 当 $x$ 不等于 $-1$ 时，因此 $\lim _{x\to -1}(x+1)^{2}f(x)=3<\infty$

本性奇点

严格的定义是，一个函数，使得 $\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)$ 既不有界也不为无穷，例如极限为未定义。此类函数的一个典型示例是来自一阶微积分课的典型示例

$f(z)=\sin(1/z)$

关于 $0$ 存在本性奇点。

这些函数通常会发生的情况是，当检查 Laurent（或针对上面函数的 Taylor）级数时，发现阶数 *m* 为无穷大（存在无穷多个极点）。沿用我们的示例，如果我们执行 Taylor 级数展开，我们得到

$f(z)=\sin(1/z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}n!}{z^{n}}}$

这显示了我们有无穷多个极点。

这是唯一一种孤立奇点类型，其中确定留数（1/z 项的幂）的唯一已知方法是手动创建 Laurent 级数并读出系数。

此外，超出了本书的范围，还有一个关于具有本性奇点的函数的有趣定理，称为 Picard 定理，该定理指出，具有本性奇点的函数在奇点周围的邻域中逼近除可能一个之外的所有值。