圆锥曲线/识别圆锥曲线

识别圆锥曲线

如果圆锥曲线以标准形式给出，那么它们很容易绘制。不幸的是，情况往往并非如此。圆锥曲线可以用以下形式的多项式表示：$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$，为了绘制这些曲线，需要将它们转换回标准形式。但是，在你这样做之前，公式：$B^{2}-4AC$可以用来在开始绘制之前确定原始方程的圆锥曲线类型

• $B^{2}-4AC=0$: 抛物线
• $B^{2}-4AC<0$: 椭圆
• $B^{2}-4AC>0$: 双曲线

首先，如果 B 不为零，则图形表示旋转的圆锥曲线。按照轴旋转中给出的说明确定如何将其转换为非旋转形式。然后将此转换为本节后面详细介绍的圆锥曲线的标准形式，并在与 x 轴和 y 轴成适当角度的坐标系中绘制图形。

如果 B 等于零，则使用配方法和代数操作来获得圆锥曲线的标准形式。

示例

示例 1: (椭圆) ${\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{25}}y^{2}-{\frac {2}{3}}x-{\frac {8}{25}}y+{\frac {16}{25}}=0$

首先需要对 x 和 y 项进行配方法。首先我们从 x 开始。虽然在这种情况下 b 看起来是 $-{\frac {2}{3}}$，但必须记住 $x^{2}$的系数必须等于 1。因此：${\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {2}{3}}x$
$={\frac {1}{9}}[x^{2}-6x]$
现在，b = -6。 $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {-6}{2}}\right)^{2}=9$。因此
$={\frac {1}{9}}[x^{2}-6x+9-9]$
$={\frac {1}{9}}[(x-3)^{2}-9]$
$={\frac {1}{9}}(x-3)^{2}-1$
对 y 做同样操作： ${\frac {1}{25}}y^{2}-{\frac {8}{25}}y$
$={\frac {1}{25}}[y^{2}-8y]$
现在，b = -8。 $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {-8}{2}}\right)^{2}=16$。所以
$={\frac {1}{25}}[y^{2}-8y+16-16]$
$={\frac {1}{25}}[(y-4)^{2}-16]$
$={\frac {1}{25}}(y-4)^{2}-{\frac {16}{25}}$
然后，将这些代回原始方程： $\left({\frac {1}{9}}(x-3)^{2}-1\right)+\left({\frac {1}{25}}(y-4)^{2}-{\frac {16}{25}}\right)+{\frac {16}{25}}=0$
简化为 ${\frac {(x-3)^{2}}{9}}+{\frac {(y-4)^{2}}{25}}=1$ 这是椭圆的标准形式。为了验证我们的答案，我们可以使用公式 $B^{2}-4AC$ 从原始方程中获得值。代入后得到： $(0)^{2}-4\left({\frac {1}{9}}\right)\left({\frac {1}{25}}\right)=-{\frac {4}{225}}$ 小于零。因此，该圆锥曲线是椭圆，这证实了我们之前的答案。

示例 5： (旋转的椭圆) $6x^{2}+{\sqrt {3}}xy+7y^{2}-36=0$

它包含一个xy项意味着这是一个旋转的圆锥曲线。它的旋转角度由下式给出：$tan2\theta ={\frac {B}{A-C}}={\frac {({\sqrt {3}})}{(6)-(7)}}$
所以 $2\theta =atan\left({\frac {({\sqrt {3}})}{(6)-(7)}}\right)$
$2\theta =atan(-{\sqrt {3}})$
$2\theta ={\frac {-\pi }{3}}$
$\theta ={\frac {-\pi }{6}}$
这告诉我们这个圆锥曲线已经旋转了 $-{\frac {\pi }{6}}$ 弧度，即 -30° 逆时针方向，这也等于 ${\frac {\pi }{6}}$ 弧度或 30° 顺时针方向绕原点旋转。
然后你可以进行以下替换，以获得相同但未旋转的圆锥曲线的表达式

• $x=Xcos\theta -Ysin\theta$
• $y=Xsin\theta +Ycos\theta$
  

在本例中，$\theta$ 为 $-{\frac {\pi }{6}}$。请确保您不会混淆符号，因为这将使进一步的计算无效。使用的角度值始终是逆时针方向的数量。因此，将 $\theta =-{\frac {\pi }{6}}$ 代入前面的公式将得到

• $x=Xcos{\frac {-\pi }{6}}-Ysin{\frac {-\pi }{6}}$
• $y=Xsin{\frac {-\pi }{6}}+Ycos{\frac {-\pi }{6}}$
  

简化为

• $x={\frac {\sqrt {3}}{2}}X-{\frac {1}{2}}Y$
• $y=-{\frac {1}{2}}X+{\frac {\sqrt {3}}{2}}Y$
  

将这些代入旋转后的方程，得到
$6\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}X-{\frac {1}{2}}Y\right)^{2}+{\sqrt {3}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}X-{\frac {1}{2}}Y\right)\left(-{\frac {1}{2}}X+{\frac {\sqrt {3}}{2}}Y\right)+7\left(-{\frac {1}{2}}X+{\frac {\sqrt {3}}{2}}Y\right)^{2}-36=0$
展开括号得到
$6\left({\frac {3}{4}}X^{2}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}XY+{\frac {1}{4}}Y^{2}\right)+{\sqrt {3}}\left(-{\frac {\sqrt {3}}{4}}X^{2}+{\frac {1}{2}}XY+{\frac {\sqrt {3}}{4}}Y\right)+7\left({\frac {1}{4}}X^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}XY+{\frac {3}{4}}Y^{2}\right)-36=0$
展开括号并合并同类项，最终得到
$\left(6\times {\frac {3}{4}}+{\sqrt {3}}\times {\frac {-{\sqrt {3}}}{4}}+7\times {\frac {1}{4}}\right)X^{2}+\left(6\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}\times {\frac {1}{2}}+7\times {\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right)XY+\left(6\times {\frac {1}{4}}+{\sqrt {3}}\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}+7\times {\frac {3}{4}}\right)Y^{2}-36=0$
简化为
${\frac {11}{2}}X^{2}+0XY+{\frac {15}{2}}Y^{2}-36=0$
由于现在没有 XY 项，这意味着这是一个非旋转圆锥曲线方程。现在剩下的只是一些代数操作，使其变成标准形式。
${\frac {11}{2}}X^{2}+{\frac {15}{2}}Y^{2}=36$
${\frac {X^{2}}{\frac {2}{11}}}+{\frac {Y^{2}}{\frac {2}{15}}}=36$
${\frac {X^{2}}{{\frac {2}{11}}\times 36}}+{\frac {Y^{2}}{{\frac {2}{15}}\times 36}}=1$
${\frac {X^{2}}{\frac {72}{11}}}+{\frac {Y^{2}}{\frac {24}{5}}}=1$
这是椭圆的标准形式，你可以用它来找到轴长、偏心率、焦点以及其他任何东西。但是请记住，这必须以之前找到的相对于 x 轴的 ${\frac {-\pi }{6}}$ 角进行绘图。你可以使用上面相同的公式来找到非旋转椭圆上点的旋转位置。
当点 (x, y) 绕原点旋转 $\theta$ 角时，变为 (X, Y)，其中

• $X=xcos\theta +ysin\theta$
• $Y=-xsin\theta +ycos\theta$